CHO TAM GIÁC ABC, CÓ GÓC A LÀ GÓC TÙ, KẺ DA VUỐNG GÓC VỚI AB VA DA = AB, TIA AD NẰM GIỮA 2 TIA AB VÀ AC, KẺ AE VUÔNG GÓC VỚI AC, EA = AC, TIA AE NẰM GIỮA HAI TIA AB VÀ AC, KẺ AH VUÔNG GÓC VỚI VUÔNG GÓC VỚI BC VÀ KÉO DÀI CẮT DE Ở M CM : MD = ME[mình chưa học bài tam giác cân nên các bạn đừng giải theo định lí của bài tam giác cân và các bài sau của sách toán hình lớp 7 nha !!! ]
Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Vẽ cung tròn tâm A có bán kính 9cm. Cung đó có cắt đường thẳng BC hay không, có cắt cạnh BC hay không? Vì sao?
Lời giải:
Kẻ AH ⊥ AB.
Xét hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có:
∠AHB = ∠AHC = 90°
AB = AC [gt]
AH cạnh chung
Suy ra: ΔAHB = ΔAHC
[cạnh huyền - cạnh góc vuông]
Suy ra: HB = HC [hai cạnh tương ứng]
Ta có: HB = HC = BC/2 = 6 [cm]
Trong tam giác vuông AHB có ∠AHB = 90°
Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:
AB2 = AH2 + HB2 ⇒ AH2 = AB2 - HB2 = 102 - 62 = 64
⇒ AH = 8 [cm]
Do bán kính cung tròn 9[cm] > 8[cm] nên cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt đường thẳng BC.
Gọi D là giao điểm của cung tròn tâm A bán kính 9 cm với BC.
Vì đường xiên AD < AC nên hình chiếu HD < HC.
Do đó D nằm giữa H và C.
Vậy cung tròn tâm A bán kính 9 cm cắt cạnh BC.
Bài 14: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C [BD không vuông góc với AC]. Gọi E và F là chân đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.
Lời giải:
Trong ΔADE, ta có ∠[AED] = 90°
Suy ra: AE < AD [1]
Trong ΔCFD, ta có ∠[CFD] = 90°
Suy ra: CF < CD [2]
Cộng từng vế [1] và [2], ta có:
AE + DF < AD + CD
Vì D nằm giữa A và C nên AD + CD = AC
Vậy AE + CF < AC.
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng AB < [BE + BF] / 2 .
Lời giải:
Trong ΔABM, ta có ∠[BAM] = 90°
Suy ra: AB < BM
Mà BM = BE + EM = BF - MF
Suy ra: AB < BE + EM
AB < BF - FM
Suy ra:AB + AB < BE + ME + BF - MF [1]
Xét hai tam giác vuông AEM và CFM, ta có:
∠[AEM] = ∠[CFM] = 90°
AM = CM [gt]
∠[AME] = ∠[CMF] [đối đỉnh]
Suy ra: ΔAEM = ΔCFM [cạnh huyền - góc nhọn]
Suy ra: ME = MF [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AB + AB < BE + BF
Suy ra: 2AB < BE + BF
Vậy AB < [BE + BF] / 2 .
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC.
Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] có \[AB = AC = 10cm, BC = 12cm.\] Vẽ cung tròn tâm \[A\] có bán kính \[9cm.\] Cung đó có cắt đường thẳng \[BC\] hay không, có cắt cạnh \[BC\] hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Kẻ \[AH \bot BC\], tính \[AH\] theo định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
+] Sử dụng:
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Quảng cáo
Lời giải chi tiết
Kẻ \[AH \bot BC\]
Suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]
Và \[\displaystyle HB = HC = {{BC} \over 2} = 6\left[ {cm} \right]\] [do tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên đường cao \[AH\] cũng là đường trung tuyến]
Xét tam giác \[AHB\] vuông tại \[H,\] theo định lý Pytago ta có:
\[\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} \cr & A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} \cr & A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \cr & \Rightarrow AH = 8\left[ {cm} \right] \,[do\,AH > 0] \cr} \]
Do bán kính cung tròn \[9 cm > 8 cm\] nên cung tròn tâm \[A\] bán kính \[9 cm\] cắt đường thẳng \[BC.\]
Gọi \[D\] là giao điểm của cung tròn tâm \[A\] bán kính \[9 cm\] với \[BC\], ta có đường xiên \[AD < AC \,[9cm