Có bao nhiêu số nguyên \[x\] thỏa mãn \[\left[ {\log _5^2x - {{\log }_5}{x^3} + 2} \right]\sqrt {6561 - {3^x}} \ge 0\]?
- \[8\].
- \[5\].
- \[6\].
- \[7\].
Đáp án C
Chọn C Ta có điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l} 6561 - {3^x} \ge 0\\ x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^x} \le 6561\\ x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le {\log _3}6561\\ x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \le 8\]. [*] Bất phương trình thỏa mãn theo hai trường hợp: Trường hợp \[1\]: \[\sqrt {6561 - {3^x}} = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}6561 \Leftrightarrow x = 8\]. Trường hợp \[2\]: \[\log _5^2x - {\log _5}{x^3} + 2 \ge 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\log _5^2x - 3{\log _5}x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _5}x \le 1\\ {\log _5}x \ge 2 \end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le 5\\ x \ge 25 \end{array} \right.\]. Đối chiếu điều kiện [*] ta có tập nghiệm bất phương trình là \[\left[ {0;5} \right]\]. Vậy tập nghiệm nguyên của bất phương trình là \[\left\{ {1;2;3;4;5;8} \right\}\], số nghiệm nguyên là \[6\].
* Đáp án
A
* Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x> 0.
Lấy logarit cơ số của hai vế phương trình, ta được log5[x+3]= log2x
Do nên để phương trình có nghiệm thì x > 2
Lấy logarit cơ số của hai vế phương trình, ta được log5[x + 3] = log2x.
Đặt
Chia hai vế phương trình cho 5t, ta được . Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 1 [hàm hằng] và đồ thị hàm số [hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến].
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy t = 1 thỏa mãn phương trình. Với t = 1 thì x = 2 [thỏa mãn].
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.
Đặt \[t={{\log }_{5}}\left[ x+3 \right]\]\[\Rightarrow x={{5}^{t}}-3\], phương trình đã cho trở thành
\[{{2}{t}}={{5}{t}}-3\]\[\Leftrightarrow {{2}{t}}+3={{5}{t}}\]\[\Leftrightarrow {{\left[ \frac{2}{5} \right]}{t}}+3.{{\left[ \frac{1}{5} \right]}{t}}=1\] [1]
Dễ thấy hàm số \[f\left[ t \right]={{\left[ \frac{2}{5} \right]}{t}}+3.{{\left[ \frac{1}{5} \right]}{t}}\] nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] và \[f\left[ 1 \right]=1\] nên phương trình [1] có nghiệm duy nhất \[t=1\]. Với \[t=1\], ta có \[{{\log }_{5}}\left[ x+3 \right]=1\]\[\Leftrightarrow x=2\]. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \[x=2\].
Gói VIP thi online tại VietJack [chỉ 200k/1 năm học], luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.
Nâng cấp VIP
Gói VIP thi online tại VietJack [chỉ 200k/1 năm học], luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết.
Nâng cấp VIP