- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [H] của hàm số
\[y = {{x + 4} \over {x + 2}}\]
Lời giải chi tiết:
+] TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\]
+] Chiều biến thiên:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1\] nên TCN \[y = 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left[ { - 2} \right]}^ - }} y = - \infty \] nên TCĐ \[x = - 2\]
Ta có:
\[y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ { - 2; + \infty } \right]\] nên không có cực trị.
BBT:
+] Đồ thị:
LG b
Chứng minh rằng parabol [P] có phương trình\[y = {x^2} + 2\]tiếp xúc với đường cong [H]. Xác đinh tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của [H] và [C] tại điểm đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = \frac{{x + 4}}{{x + 2}} \Rightarrow f'\left[ x \right] = \frac{{ - 2}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}}\\g\left[ x \right] = {x^2} + 2 \Rightarrow g'\left[ x \right] = 2x\end{array}\]
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} = {x^2} + 2\,\,\,\,\left[ 1 \right]\\\frac{{ - 2}}{{{{\left[ {x + 2} \right]}^2}}} = 2x\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}\left[ 1 \right] \Leftrightarrow x + 4 = \left[ {{x^2} + 2} \right]\left[ {x + 2} \right]\\ \Leftrightarrow x + 4 = {x^3} + 2{x^2} + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x{\left[ {x + 1} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\]
Thay \[x = 0\] vào [2] không thỏa mãn.
Thay \[x = - 1\] vào [2] thỏa mãn phương trình nên hệ có nghiệm duy nhất \[x = - 1\].
Do đó [P] tiếp xúc [C ] tại điểm \[A\left[ { - 1;3} \right]\].
Có \[f'\left[ { - 1} \right] = g'\left[ { - 1} \right] = - 2\] nên phương trình tiếp tuyến:
\[y = - 2\left[ {x + 1} \right] + 3\] hay \[y = - 2x + 1\].
LG c
Xét vị trí tương đối của [P] và [H] [tức là xác định mỗi khoảng trên đó [P] nằm phía trên hay phía dưới [H].
Lời giải chi tiết:
Ta thấy:
\[\begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} \ge {x^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le \frac{{x + 4}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow - 2 < x \le 0\end{array}\]
Do đó
+] Trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ; - 2} \right]\] và \[\left[ {0; + \infty } \right]\], [P] nằm phía trên [H]
+] Trên khoảng \[\left[ { - 2;0} \right]\], [P] nằm phía dưới [H].
Loigiahay.com