- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng phương trình:
LG a
\[{x^5} - 5x - 1 = 0\]có ít nhất ba nghiệm;
Phương pháp giải:
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định và liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Nếu \[f\left[ a \right].f\left[ b \right] < 0\] thì tồn tại ít nhất một số \[c \in \left[ {a;b} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = 0\].
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^5} - 5x - 1\]trên các đoạn \[\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\]
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] nên liên tục trên các khoảng \[\left[ { - 2; - 1} \right],\left[ { - 1;0} \right],\left[ {0;3} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ { - 2} \right] = - 23\\f\left[ { - 1} \right] = 3\\f\left[ 0 \right] = - 1\\f\left[ 3 \right] = 227\end{array}\]
Vì \[f\left[ { - 2} \right].f\left[ { - 1} \right] < 0\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ { - 2; - 1} \right]\]
\[f\left[ { - 1} \right].f\left[ 0 \right] < 0\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ { - 1;0} \right]\]
\[f\left[ 0 \right].f\left[ 3 \right] < 0\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ {0;3} \right]\]
Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất 3 nghiệm.
LG b
\[m{\left[ {x - 1} \right]^3}\left[ {{x^2} - 4} \right] + {x^4} - 3 = 0\]luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham sốm;
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = m{\left[ {x - 1} \right]^3}\left[ {{x^2} - 4} \right] + {x^4} - 3\]trên các đoạn \[\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] nên liên tục trên các khoảng \[\left[ { - 2;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}f\left[ { - 2} \right] = 13\\f\left[ 1 \right] = - 2\\f\left[ 2 \right] = 13\end{array}\]
Vì \[f\left[ { - 2} \right].f\left[ 1 \right] < 0\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ { - 2;1} \right]\]
\[f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] < 0\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ {1;2} \right]\]
Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất 2 nghiệm với mọi \[m\].
LG c
\[{x^3} - 3x = m\]có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của \[m \in \left[ { - 2;2} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3x - m\]trên các đoạn \[\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
Hàm số \[y = f\left[ x \right]\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] nên liên tục trên các khoảng \[\left[ { - 1;1} \right],\left[ {1;2} \right]\]
Ta có:
\[f\left[ { - 1} \right] = 2 - m > 0,\] \[\forall m \in \left[ { - 2;2} \right]\]
\[f\left[ 1 \right] = - 2 - m < 0,\] \[\forall m \in \left[ { - 2;2} \right]\]
\[f\left[ 2 \right] = 2 - m > 0,\] \[\forall m \in \left[ { - 2;2} \right]\]
Do đó:
\[f\left[ { - 1} \right].f\left[ 1 \right] < 0,\] \[\forall m \in \left[ { - 2;2} \right]\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ { - 1;1} \right]\]
\[f\left[ 1 \right].f\left[ 2 \right] < 0,\] \[\forall m \in \left[ { - 2;2} \right]\] nên phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất một nghiệm thuộc \[\left[ {1;2} \right]\]
Vậy phương trình \[f\left[ x \right] = 0\] có ít nhất 2 nghiệm với mọi \[m\].