Bài tập tính tổng chuỗi số có lời giải năm 2024
|
– Bước phân tích (bước này không cần thiết, nhưng có nó mình dễ suy đoán hơn): Sử dụng chương trình Maple, vẽ đồ thị cho tổng riêng Sn. Ta có: Dựa vào đồ thị ta nhận thấy,đồ thị hàm số của Sn dần tiệm cận đến giá trị 3/4. Vậy có khả năng chuỗi số sẽ hội tụ đến 3/4. – Bước khai triển tích toán: Ta khai triển số hạng thứ n thành thừa số và tính tổng Sn. Ta có: Từ tổng Sn, rõ ràng qua giới hạn ta có Sn dần tiến đến 3/4. Vậy chuỗi hội tụ và tổng của chuỗi bằng 3/4. Bài 3: Lời giải – Phân tích: Sử dụng chương trình Maple, vẽ đồ thị cho tổng riêng Sn. Ta có: Dựa vào đồ thị của tổng riêng Sn ta nhận thấy đồ thị có xu hướng đi lên. Vì vậy, nhiều khả năng chuỗi số đã cho phân kỳ. Bây giờ, ta tìm tổng riêng phần thứ n, bằng cách phân tích số hạng tổng quát: Phân tích số hạng thứ n ta có: . Vậy Vậy chuỗi đã cho hội tụ. Như vậy, bài toán này dựa vào phương pháp đồ thị trên ta đã đưa ra dự đoán sai lầm, nguyên do là ta đã vẽ tổng Sn với giá trị n khá bé nên không thấy được đồ thị tiệm cận đến 1. Chương 5. Chuỗi số và chuỗi hàm 5.1. Chuỗi số 5.1.1. Định nghĩa chuỗi hội tụ, các tính chất của chuỗi hội tụ, tiêu chuẩn Cauchy Xét dãy số vô hạn u1, u2, …, un, …, trong đó un \= f(n) với nN*. Biểu thức u1 + u2 + …+ un +… \= được gọi là chuỗi số (hay chuỗi), còn các số u1, u2, …, un, … được gọi là các số hạng của chuỗi; un \= f(n) được gọi là số hạng tổng quát. Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi ký hiệu là Sn và được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi: Sn \= u1 + u2 + … + un \= . Chuỗi được gọi là hội tụ, nếu tồn tại (S là số hữu hạn và được gọi là tổng của chuỗi); ngược lại, nếu không tồn tại hoặc tiến đến thì chuỗi được gọi là phân kỳ. Ví dụ 5.1.1. Khảo sát tính hội tụ/phân kỳ của chuỗi số với a ≠ 0 Bài giải Các số hạng un \= aqn-1 (nN*) của chuỗi ...aq...aqaqaaq 1n2 1n 1n +\= − \= − là các số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu là u1 \= a ≠ 0 và công bội q. - Nếu |q| ≠ 1 thì − \=\= − − \= − − \=\= → \= − 1qkhi 1qkhi q1 a SlimS q1 q1 a q1 q1 uaqSn n nn 1 n 1k 1k n - Nếu |q| \= 1 thì +\= \= \=−\= \= − →→ 1k2nkhia k2nkhi0 a)1(limSlim n 1k 1k n n n khi q \= –1, tức là giới hạn này không tồn tại; và \=\=\= → \= →→ nalimalimSlim n n 1k n n n khi q = 1. Tóm lại, chuỗi với a ≠ 0 hội tụ khi |q| < 1 và phân kỳ khi |q| 1. Kết quả này được sử dụng khi cần, mà không cần phải chứng minh. Ví dụ 5.1.2. Chứng minh rằng, chuỗi số hội tụ và tìm tổng của nó. Bài giải Biểu diễn số hạng tổng quát của chuỗi dưới dạng tổng của các phân số đơn giản bằng phương pháp hệ số bất định, ta được A \= 1/2, B \= -1 và C \= 1/2; do đó 4 1 Slim 2n 1 1n 1 2 1 2 1 uS 2n 1 1n 2 n 1 2 1 un n n 1k knn \= + + + −\=\= + + + −\= → \= . Nhận xét. Tổng riêng Sn của chuỗi chính là với m \= 2 ở Bài tập 0.12., do đó từ kết quả của Bài tập 0.12. ta suy ra được ngay 4 1 Slim )3n)(2n)(1n( 1 2 1 2 1 SS )mn)...(2n)(1n( 1 m 1 m 1 Sn n )2( nn )m( n\= +++ −\=\= +++ −\= → |
