1. Chứng minh rằng "ịx + 'Ịx 1 - X + 1 xác định với mọi xẽR. 4.16. Để chứng minh x[l - jc] < Ị

   4 với mọi X, bạn An đã làm như sau :

   Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai sốx và 1 - X, ta có sí^ĩ - -] < X + 1 - X Ị_ 2 Do đó X[ 1 -] 4 ab ; b] [a + b + c][ab + bc + ca] > 9abc. 4.18. Cho ba sô dương a , b , c, chứng minh rằng : 'ì 8. [ a] í, , 0 1 + , 1 + - 1 4- b ] ơ ] 4.19. Chứng minh rầng : Nếu 0 < a < b thì a < < vữi b < —r— < b. a b 4.20. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
2. f[x] = X 2 + — ; b] g[x] = -ị + — với 0 < X < 1. Jt 2 X 1 - X 4.21. Cho a > 0, hãy tìm giá trị lớn nhất của y = x[ơ - 2xý với 0 < X < li/ 4.22. Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm X 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp [không nắp] có thể tích lớn nhất. 4.23. Chứng minh rằng
3. Nếu X 2 + y 2 = 1 thì X + 2y\< \Í5 ;
4. Nếu 3x + 4y = 1 thì X 2 + y 2 > 4.24. Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị- nhỏ nhất của a b c A — ——-—- + ——-—— + ————■ b + c c + a a + b 4.25. Trên mật phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường tròn tâm o có bán kính R [R > 0]. Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy haì điểm A và B sao cho đường thẳng AẼ luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định toạ độ của A và B [ĩểệỊPỊ^gịịyỌAB có diện tích nhỏ nhất. 105 §2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 4.26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai, vì sao ?
5. 2 là một nghiệm của bất phương trình X 2 + X + 1 > 0.
6. -3 không là nghiệm của bất phương trình X 3 - 3x - 1 < 0.
7. a là một nghiệm của bất phương trình X 2 + [1 + a]x - a + 2 < 0. 4.27. Các cặp bất phương trình sau có tương đương không, vì sao ?
8. 2x - I > 0 và 2x - 1 + ——— > —ỉ— ; X — 2 X - 2
9. 2x - 1 > 0 và 2x - 1 H-—— > ——— ; X + 2 X + 2
10. X - 3 < 0 và x 2 [x - 3] < 0 ; đ] X - 3 > 0 và x 2 [x - 3] > 0 ;
11. X - 2 > 0 và [x - 2] 2 > 0 ; g] X - 5 > 0 và [x - 5][x 2 - 2x + 2] > 0. 4.28. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phươig trình sau :
12. \ỊX — 2 > \Ì2 - X ; b] V2x - 3 < 1 + yj2x - 3 ;
13. X 3 /x - 3 JX — 3
14. 3x + 1 X - 2 2 + X - 2 4.29. Không giải bất phương trình hãy giải thích tại sao các bất phương trình sau vô nghiệm :
15. \Ịx -2 + 1 < 0 ;
16. [x - l] 2 + X 2 < -3 ;
17. X + [x — 3] + 2 > [x — 3] 2 + X + 5 \
18. yjì +2[x+ l] 2 + VlO - 6x + X 2 < 2 . 4.30. Không giải bất phương trình, hãy giải thích tại sao các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi X :
19. X 4 + X 2 + 1 > 0 ; b] — > 0 ; X 2 + 1
20. X + [x — 1]2 + X' 1 . 2 Ị — > X +t[ooktoan.com 106 4.31. Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau : V 1 1 - , . yfx +T 1 1
21. -— 1 — r + ——Ị-> 2 ; b] ' + ———TT > —-7- [jt + l] 2 - 3 Vx-1 c - 2][x - 3] X - 4 4.32. Để giải bâ'1 phương trình Jx — 2 > V2x - 3 []], bạn Nam đã làm như sau : Do hai vế của bất phương trình [1] luôn không âm nên [1] tương đương với [yjx - 2] 2 > [yj2x - 3] 2 hay X - 2 > 2x - 3. Do đó X < 1. Vậy tập nghiệm của [1] là [-CO, 1]. Theo em, bạn Nam giải đã đúng chưa, vì sao ? 4.33. Bạn Minh giải bất phương trình , < —í— [1] như sau : V X 2 - 2x - 3 x + 5 [1] x + 5 < \jx 2 - 2x - 3 o[x + 5] 2 < X 2 - 2x - 3 7 12x + 28 < 0 X < Ý

    Theo em, bạn Minh giải đúng hay sai, vì sao ? §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT Ẩn

    +
22. Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : x „ v X + 3
23. 2[x - 1] + X > ——- 1- 3 ;
24. [x + 72 Ý < [X - síĩ] 1 + 2 ;
25. x[7 - x] + 6[x - 1] < x[2 - x]; ,, x + 2 X - 2 X - 1
26. — -- + ——— + —-— > 3 + 4.35. Giải các bất phương trình
27. [x + 2] 7x + 3a/x + 4 < 0 ;
28. [x + 2]7[x + 3][x + 4] < 0 ;
29. Ậx - 1 ] 2 [x - 2] > 0 ; d] 72x - 8 - V4x - 21 > 0. booktoan.com 107 to 4.36. Giải các hệ bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : 3jc 4- < A + 2 6x - 3 < 2x + 1 ; 4x + 5 6 < X - 3 2.V + 3 > 7*-4 3 4.37. Giải và biện luận các bất phương trình [ẩn Jt]:
30. m[x - m] > 0 ; , X — ab x - ac X - bc
31. ——- + - + , < a + b + c ; a + b a + c b.+ c 4.38. Bạn Nam đã giải bất phương trình yỊx 2 - 1 - yỊx + 1 > X + 1
32. [x - 1 ]m > x + 2 ;
33. bx + b < a - ax. như sau : Điều kiện : X 1 - 1 > 0 JC -H 1 > 0 Ux - 1 ]U + 1 ] > 0
34. 1 > 0
35. 1 > 0 Jt- + 1 > 0 >!.

    Khi đó bất phương trình [1] có dạng

    JĨx~ĩ][xĩ] - V-t + 1 > X + 1 . Chia hai vế cho y/x + 1 > 0, ta có \lx - 1 - 1 > y/x + 1 . Vì > 1 nên yfx - 1 < yfx + 1 , do đó V-t - 1 - 1 < Vjc + 1 . Vậy bắt phương trình [1] vô nghiệm. Theo em, bạn Nam giải đúng hay sai, vì sao ? 4.39. Tìm các giá trị cùa m để hệ bất phương trình sau có nghiệm : 1»: + 4m < 2mx + 1 3x + 2 > 2x - 1. V 4.40. Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : mx + 9 < 3x + m 2 ọé»ktd>aEfi.-c©rti6. 108 §4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 4.41. Xét dấu của các biểu thức sau bằng cách lập bảng :
36. [3x - l][x + 2];
37. 2 - 3x 5 - 1
38. [-X + l][x + 2][3x + 1] ;
39. 2- 2 + X 3x — 2 4.42. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử rồi xét dấu mỗi đa thức ấy :
40. 9x - 1 ;
41. JC 3 + X 2 - 5x + 3 ; 4.43. Xét dấu các biểu thức sau :
42. -Jt + Ix - 6 ;
43. X 2 - X - 2a/2
44. rb"3TT ;
45. X 2 - 6x + 8 X 1 + - 9
46. X 2 + 4x + 4 X 4 - 2x 2
47. X + ì -1 X + X + 1 4.44. Giải các bất phương trình sau :
48. [— J2x + 2][jc + l][2x: - 3] > 0 ; 4.45. Giải các phương trình sau :
49. 5 + Jt| + X - 3j = 8 ;
50. \2x - l| = X + 2 ; 4.46. Giải các bất phương trình sau :
51. 3 jc - 5 < 2 ; b >^TT s -3 3x + 1
52. X 2 - Sx + 6 = X 2 - 5x + 6 ;
53. \x + 2| + X l| — 5
54. 2 - X X + 1 2 ;
55. u - 2| > 2x - 3 ; . d] u + ll < UI - X + 2. booktoan.com 109 §5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÊ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÂC NHẤT HAI Ẩn 4.47. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau [x, y là hai ẩn]
56. 2[x + y+ l]>x + 2; b] 2[y + je] < 3[x + 1] + 1 ;
57. y + 0> 5 ; d] 0.;y + X < 3. 4.48. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau :
58. X -2y -2 \
59. Jt > 0 y < 3. 4.49. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau : y > 0
60. X - 3y < 0 X + 2y > -3 y + X < 2 ; , . X y 1
61. , + 4 + 1 < ’ 1 2 3 2 X V . - + £ < 1 . 3 2 4.50. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình Ị\x - 1 | < 1 \y + >1 s 2' 4.51. a] Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình 0 < JC < 5 0 < y < 10 , X y _ , 'ị + 4 > 1 ^ + 4>1 L 2 2
62. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = 2x - 2y + 3 trên miền nghiêm ở càu a, biết rằng miền nghiệm dó là miền đa giác và T có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác đó. 4.52. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và //. Một tấn sản phẩm / lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm II lãi 1,6 triệu đổng. Muốn sản booktoan.com 110 xuất 1 tấn sản phẩm / phải dùng máy Mị trong 3 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm II phải dùng máy M ] trong 1 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Biết rằng một máy khỏng thể dùng để sản xuất đổng thời hai loại sản phẩm ; máy Mị làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M 2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Giả sử xí nghiệp sản xuất trong một ngày được X [tấn] sản phẩm / và y [tấn] sản phẩm II.
63. Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm [S] của hệ đó.
64. Gọi T [triệu dồng] là số tiền lãi mỗi ngày của xí nghiệp. Hãy biểu diễn T theo X, y.
65. Ở câu a] ta thấy [S] là một miển đa giác. Biết rằng T có giá trị lớn nhất tại [x 0 ; y 0 ] vói [x 0 ; y 0 ] là toạ độ của một trong các đỉnh của [5]. Hãy đặt kế hoạch sản xuất của xí nghiệp sao cho tổng số tiền lãi cao nhất. §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 4.53. Xét dấu của các tam thức bậc hai :
66. 2x 2 + 2x + 5 ;
67. 2x 2 4- 2x\Ỉ2 + 1 Ị e]V3x 2 + [V3 + l]x + 1 ;
68. -0,3x 2 + X - 1,5 ;
69. -X 2 + 5x - 6 ;
70. -4x 2 - 4x + 1 ; f]x 2 + [ựs-l]x- ự5 ; h]x 2 - [V7- 1 ]x + \íĩ. 4.54. Xét dấu của các biểu thức :
71. — -— ; 4x 2 - 19x + 12 . 1 Ix + 3 b > — T, -“ -x 2 + 5x-l . 3x - 2
72. X 2 +4x- 12 \Í6x 2 + 3x 4- yỉĩ X 2 - 5x + 4 x X 2 - 3x - 2
73. “TT77T -X + X - 1 X booktoan.com X 4 - 4x 3 + 8x - 5 111 4.55. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m : 2 1 ọ
74. X + [m + l]x + m-ị = 0 ; b] X' - 2[m - l]x + m - 3 = 0 ;
75. X + [ỉịi + 2]x + — m + Ỷ = 0 ; d] [m - l]x + [3 m - 2]x + 3 - 2m = 0. 4.56. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm dù m lấy bất kì giá trị nào:
76. [2 m 2 + l]x 2 - 4mx + 2 = 0;
77. --x 2 + [m + l]x + m + m + 1 = 0 ;
78. X 2 + 2 [m - 3]x + 2m 2 -Im + 10 = 0;
79. X 2 -[ \ỉĩ m - l]x + m 2 — yỈ3 m + 2 = 0. 4.57. Tìm các giá ưị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương : 2 - 2 / -V -
80. X - 4x + /w - 5 ; b] X - [m + 2]x + 8 m + 1 ;
81. X 2 + 4x + [m - 2 ] 2 ; d] [3/n + l]x 2 - [3 m + l]x + m + 4. 4.58. Tìm các giá ưị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm :
82. [m — 4]x 2 + [m + 1 ]x + 2 m -1 ; b] [m + 2]x 2 + 5x - 4 ;
83. mx 2 - 12x - 5 ;’ d] -X 2 + 4 [m + l]x + 1 - m 2 §7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 4.59. Giải các bất phương trình :
84. 2x 2 - 7x- 15 > 0 ; b] 12x 2 -17x - 105 < 0 ;
85. x[x + 5] < 2[x 2 + 2]; d] 2[x + 2 ] 2 - 3,5 > 2x ; 1 2 *
86. -rx - 3x + 6 < 0. ta/ 4.60. Giải các bất phương trình :
88. 2x - 5 X 2 - 6 x - 7 2 X 2 - X + 1 < 1 X - 3 x 2 -5x + 6 x + 1 X 2 + 5x + 6 x 1 2x -1 2 , 1 1 X + 1 r 3 , ’ X - 1 X + 1 bboKtban.com 112 4.61. Tìm các giá trị nguyên không âm của X thoả mãn bất phương trình : X + 3 1 2x —— - -— — — — - — X 2 -4 X + 2 2x - x 2 y—x 2 4- X + 6 X + X + 6 4.62. Giải các bất phương trình : a][x- 1]V 2 - -2 >0 ; b] - " ' " ' - >

    2x + 5 X - 4 4.63. Giải các hệ bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số:

91. 2x - 3 > 0 X 2 - 1 ỉx + 28 > 0 ; 3jc - 4x + 1 > 0 3jc 2 - 5x + 2 < 0 ;
93. X 2 - ị >0 —2X 2 + 5x - 3 > 0 ; X L - 8x + 7 < 0 X 2 - 8* + 20 > 0. 4.64. Giải các hệ bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên truc SỐ:
94. X - < X — X 2x 4jc - 5 < 0 6x + 8 > 0 3 > 0;

95. X* -12x-64 0 3 13

    < X 0 \ mx > 3m + 1 4.67. Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm :
96. 2x + 2 [m + 2]x + 3 + 4m + m 2 = 0 ;
97. ịm — 1 ]x 2 — 2 [m + 3]x — m + 2 = 0. booktoan.com vô nghiệm. 8-BTĐS10.NC - A 113 4.68. Tìm các giá trị của tham sô m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng mọi giá trị X :
98. [m + l]x 2 - 2 [m - l]x + 3/72 - 3 > 0 ;
99. [m 2 + 4m - 5]x 2 - 2 [m - l]x + 2 < 0 ; , X 2 - 8 x + 20
100. —5—77—„-7-7 < 0 ; mx + 2 [m + l]x + 9m + 4 3x 2 - 5x + 4 d ] - — ị —-^=4 -- > 0 . [ m — 4]x + [1 + m]x + 2 m ' 1 4.69. Tìm các giá trị của m để phương trình :
101. X + 2[m + l]x + 9 m - 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt;
102. [m-2]x 2 - 2 mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. 4.70. Cho phương trình : [m - 2 ]x 4 - 2 [m + l]x 2 + 2 m -1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình trên có :
103. Một nghiệm ;
104. Hại nghiệm phân biệt;
105. Bốn nghiệm phân biệt. §8 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 4.71. Giải các phương trình :
106. 9x + V3x - 2 = 10 ;
107. Vx 2 - 2x - 3 = 2x + 3 ;
108. \/-x 2 + 2x + 4 = X - 2 ;
109. SỈ9 - 5x = y/ĩ - X + n/3^ 4.72. Giải các phương trình sau :
110. [X + l]Vl6x+ 17 = [x + l][8x - 23] ; 21
111. X — 4x + 10
112. X + 4x - 6 = 0 ; . 2x 13x c ] ~~2 —7-7 + t~2-7 - 6 ; 2x - 5x + 3 2x -bổơkầ>an.com 2.1 X
113. X + \2 X - ] = 1 114 8-BTĐSỈO.NC - B 4.73. Giải các phương trình sau : a]2* 2 -3-5\/2x 2 +3 = 0;
114. 2x 2 + 3x + 3 = 5 \Ỉ2x 2 + 3x + 9 ; c]9-V81-7 3 = ị 2 + 3 - \Ỉ2x* - 3x + 2 =
115. + 3 4.74. Tìm tất cả các giá trị X thoả mãn :
116. X 2 + X - l| = 2x - 1 và X < ;
117. X 2 + 2x - 4 + 2x + 6 = 0 và X + VĨ8 < 1 ;
118. u + 3| + X 2 + 3x = 0 ;
119. X 2 - 2Qx -9Ì = hx 2 + ỈOx + 2Ỉ 4.75. Giải các phương trình sau :
120. X 2 - \2x - l| = 0 ;
121. \2x - 3| = 1 X - l| ; 4.76. Giải các phương trình sau :
122. yjx + 3 - 4\Ịx - 1 + ì]x + 8 - 6^x - 1 = 1 ;
123. [x + -s/m X — 49 + \Jx — Wx — 49 = VĨ4 ;
124. X — 2x — 3 = X L 2x + 5 ;
125. |jc 2 - 2x - ị = 2 .
126. 2^2 UI - 1 -1=3;
127. X + Vl - Jt 2 = —' \Ỉ2[2x 2 - 1]. 4.77. Giải các bất phương trình sau :
128. yỊ-x 2 - 8 x - 12 > * + 4 ; V 2 — X + 4x — 3
129. 2 ;
130. -s/5 jc 2 + 61x < 4 jc + 2 ; d ■ 3[ ^- 9 ^2 x + 3. 4.78. Giải các bất phương trình sau :
131. \Ịx + ĩ < \ - x;
132. + 6 x - 5 >8-2 jc; /
133. 4 1 \

yịsx‘

c + d + ũ Q. + b + c + d

d + a + b a + b + c + d Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra a . b c d . , a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a a c c Lại có ———— < —-— ; ———— < —— a + b + c a + c c + d + a a + c nên a

• c a + b + c c + d + a < 1. Tương tự
• b + c + d d + a + b » a b < 1. Từ đó suy ra
• ú h c b + c d c d - ũ d ă b booktoan.com < 2 . 123 4.7. Nếu X > 0 thì x n + 1 > 1 > 0. Nếu -1 < X < 0 thì Ld < 1 suy ra Ixl" < 1 hay lx"| < 1. Từ đó ta có —x n < 1 [vì —x n < bc"l]. Vì vậy x n + 1 > 0. 4.8. a] Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có : Nếu a > b thì A > B ; Nếu a < b thì A < B ; Vì vậy luôn có [ a — b]{A — B] > 0, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b [A = B], tức là tam giác ABC cân tại c.
• • Theo câu a] ta có [a - b][A -B] + [b- c][B -C] + [c- a][C -A]> 0 aA + bB + cC - bA - aB + bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA > 0 3[aA + bB + cC ] — [a + b + c][i4 + B + C] > 0 aA + bB + cC A + B + c sr \0 a + b + c 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B = c, tức là tam giác ABC là tam giác đều. • Lại có a + b>c\b + c>a\c + a>b nên aA + bB + cC < [b + c]A + [c + à]B + [a + b]C 2 [ơA + bB + cC] < [A + B + C][ơ + b + c]. Từ đó suy ra -——-< 90 . a + b + c 4.9.
• Ta có : 1 = Tk = jr{ 1_l_ì [k + D-sĩl [k + l]k u k + ] 1 Y 1 lì 4k + ] ín 1 1 ] [ 1 ĩ ] 1 ta có : -+ k -+ < - TTĩ' - 7' yt 3 £ 2 [£- 1]£ k -1 £ ..1,1,1, 1 , , , 11 11 1 1 1
• “T + 77 + 7T + * + — < 1 + 1 — ” + — - — + — — — + ... + l 3 2 3 3 3 ^ 3 3 2 2 3 3 4 /1 — 1 ĩì n = 2 - - < 2 . n 4.11. a] f[x] = [x- a] + [x - b] = 2x 2 - 2[a + ồ] + ứ 2 + 6 : = 2 a + Í>Ỹ [a - ố] 2 +--—2- , — =—, V 2 J Ta có f[x ] > [a - b] với mọi a, b ; đẳng thức xảy ra khi / a+b X-TI V 2 \2
• 0, tức là X =

  a + b Vậy /[jc] đạt giá trị nhỏ nhất ỉà [a - by tại X =

  đ + b Chú ý. Tránh sai lầm khi suy luận rằng Ot - a ] 2 + [jc - b] 2 > 0 với mọi X nên giá trị nhỏ nhất của f[x] là 0.
• Hướng dẫn. Viết g[.r] dưới dạng a + b + c^ 2 u '' 2 ' /u -' 2 ' / - - a2 X - \
• [a - b ] + [b - c] +[c - a]‘ / 4.12. a] \a\ + \b\ = I a\ + -b\ >\a-b. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab < 0.
• Hướng dẫn. \a + b + c\ < \a + b\ + Id. 4.13. a - b\ + \b - c

a - b + b - c| = |ứ - c . booktoan.com 125 4.14. f[x] = \x- 20061 + u - 2007| >\x- 2006 - [x - 2007]1 Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi X = 2006. Vậy giá trị nhỏ nhất của f[x] là 1. 4.15. a] Với X > 0 thì hiển nhiên X + Ix! > 0. = 1. Với X < 0 thì X + UI = X - X = 0.

1. X + 4.16. Vậy X + - X + 1 xác định với mọi X. Bạn An giải như vậy là sai. Sai lầm của bạn An là không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân —-— > A Ịãb là a > 0, b > 0. Trong bài này X và 1 - X chỉ không âm khi X e [0 ; 1]. Lời giải đúng là : 1 , .1 , 1 r[l - r] < 7 o -X +r 0 4 4 4 / \ 1 x - 2 \2 0, bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với mọi X. 4.17. a] Với a > 0, b > 0 ta có a + b > 2yỊãb >0;ơb + l > 2-s íãb > 0. Từ đó suy ra [ a + b]{ab + 1] > 2yfãb.2yfãb = 4 ab. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b= 1.
2. Với a > 0, b > 0, c > 0, ta có

   a + b + c > 3 Vãbc > 0 ; ab + bc + ca > 3\Ja^b*c^ > 0. Từ đó suy ra [ữ + b + c][ab + bc + ca] > 3[ãbc ,3Vứ 2 è 2 c 2 = 9abc. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 126 booktoan.com 4*18. Với a > 0, b > 0, c > 0 thì \ + ị> 2 Jị > 0 ; 1 + ị> 2jị > 0 ; 1 +4 > 2 0 h V b c \ c a V a Từ đó suy ra / V 1 , a ỉ + b \/ i, ' r i + -l>2 3 Jfl^=8. b c a 1 + - c y V ứ / 4.19. Do 0 < a < b nên Y < 1 su y ra b / V

   1 ớ + ờ / = 1 + y- < 2 tức là ứ < - " b 1 1 [ 1 ] — + T ớ ơ T .X 1 . 1 - 1 2 Lại có — + > 2J-“- nên - - đủ V - 2pặ = 8. Đẳng thức xảy ra khi X - ±2. Vậy giá trị nhỏ nhất của f[x] là 8 khi X = ± 2. 11 — X 2
3. Do 0 < X < 1 nẽn 1 - X > 0. Ta có — =-1-1 ; ——— X X 1 - X 2x ỉ-x
4. 2 ; 1 2 1 - x 2 x _ „ í - X 2 x . /T . „
5. + —— = —— + + 3 > 2.1—+ 3 = 2V2 + 3. x ] - X x 1 - X V X 1 - Jt Đẳng thức xảy ra khi -—— = — và 0 < X < 1 tức 1 Vậy giá trị nhổ nhất của g[x] là 2\Ỉ2 + 3 khi X = -1 + yỈ2. và 0 < X < 1 tức là X =-l + yỊĨ .. 4.21. Do 0 < X < Ệ nên a - 2x > 0. Ta có Á* x[a - 2x] 2 = Ax.[a - 2x][a -2x] = | Học sinh tự giải tiếp. booktoan.com 128 4.25. [h. 4.2] Ta có S 0 AB = ịoi.AB=.AB\ AB = IA + IB > 2yllA.ỈB = 2y[ỡĩ AB = 2R y2R = R 2 . Vậy 5^43 nhỏ nhất bằng /? 2 khi ƠA = Ớ5 = 2 Khi đó toạ độ A[ấ 72 ; 0] và B[ 0; /?V2]. 4.26. a] Đúng, vì 2 2 + 2 + 1 > 0.
6. Sai, vì [3] 3 - 3.[-3] - 1 < 0 nên -3 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
7. Sai, vì a 2 + [1 + à]a - a + 2 = 2ứ 2 + 2 > 0. 4.27. a] Khồng tương đương, vì X = 2 là nghiệm của bất phương trình thứ nhất nhưng khống thuộc tập xác định của bất phương trình thứ hai.
8. Tương đương.
9. Không tương đương, vì X = 0 là nghiệm của bất phương trình thứ nhất nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ hai.
10. Tương đương, vì khi X 3 > 0 thì X > 0 nên X - 3 > 0 x 2 [x - 3] > 0.
11. Không tương đương vì X = -ỉ là nghiệm của bất phương trình thứ hai ■ J nhưng không là nghiêm của bất phương trình thứ nhất.
12. Tương dương, vì Jt 2 - 2x + 2 = [x - l] 2 + 1 > 0 với mọi x. 4.28. ả] Điều kiện : x = 2, tập nghiệm s = {2]. 3
13. Điều kiện : x >-ỵ, tập nghiệm s =
14. Điều kiện : JC > 3, tập nghiệm s = 0.
15. Điều kiện : X 2, tập nghiệm s = L ~ / booktoan.com r 2 u [2 ; + 00]. Ọ-BTOSIO.NC - A 129 4.29. a] Vế trái luôn dương với mọi x>2.
16. Vế trái không âm với mọi X.
17. Giản ước cả hai vế cho X 2 + [x - 3] 2 dẫn đến 2 > 5. Điểu này vô lí.
18. Do \jỉ + 2[x + l] 2 > 1 và a/ 10 - 6jf + X 2 = \jl + [x - 3] 2 > 1. 4.30. a] Vế trái luôn dương với mọi X.
19. Vê trái không âm với mọi X.
20. Giản ước cả hai vế cho X Vế trái của bất đọng thức mới nhận được luôn dương. 4.31. a] X -1 ; X 3.
21. > 1 ] X 2 ■, X 3 ] X 4. 4.32. Sai lầm cùa bạn Nam là không để ý đến diều kiện xác định của phương trinh D = [2 ; +oo]. Hai vế của [1] chỉ không âm khi X e D chứ không phải với mọi X € R. Vì vậy, khi tìm ra X < 1 cần phải đối chiếu với điều kiện X e [2 ; + 00 ] để kết luận bất phương trình [1] vồ nghiệm. 4.33. Sai lầm của bạn Minh là nghĩ rằng — < Y o b < a. Nhớ rằng 1 a - b ab > 0 ab < 0 hoặc < \ơ > b ■ a < b Nhận thấy nếu X + 5 < 0 thì [1] vô nghiệm, ngược lại ta có X + 5 > 0 X > -5 9 4 /////////////////////// 0 b ] s= -co ;
22. / 4 booktoan.com 130 9-BIĐSìO,NC - 8
23. 5 = / —00 : \ ’ n] 6 11 0
24. [5 ; +oo]. 0 4.35. a] s = [-3 ; -2]. Bất phương trình đã cho tương đương với hệ ;t + 3 > 0 X > -3 X + 4 > 0 tức là < X > -4 hay -3 < X < -2. . + 2 < 0 X < —2
25. s = [-00 ; -4] u [-3 ; -2].
26. V[x-1] 2 C-2] > 0. • Nếu X = 1 thì bất phương trình [1] được nghiệm dứng. • Nếu X 1 thì [1] tương đương với X - 2 >0, tức là X > 2. Vậy tập nghiệm của [1] là 5 = {1} u [2 ; +oo].
27. sÍ2x - 8 - \ỊAx - 21 > 0 yj2x - 8 > yỈ4x - 21. Điều kiện : X > , khi đó ta có 2x - 8 > 4x - 21, tức là X < [I] 21 13 Kết hợp với điều kiện trên dẫn đến < X 0 thì [ l] o X > m ; tập nghiệm s=[m; +co] Nếu m = 0 thì [1] 0. > 0 ; tập nghiêm iS = R. [ 1 ] Nếu m < 0 thì [1] m + 2. Nếu m > 1 thì [2] o X > m + 2 m - 1 tập nghiệm s = / V m + 2 m -1 ; +00 Nếu m = 1 thì [2] ó Ojc > 3, tập nghiệm s = 0. : Nếu m < 1 thì [2] X < m + 2 m-\ / \ . tập nghiệm s = m + 2 -°° i ír~T V ’ m - 1 /
28. Biến đổi về dạng / 1
29. 1
30. 1 ũ + h b + c c + a í [ 2 ] .X < [ab + bc + ca] J 1
31. 1
32. 1 \ V a + b b + c c + a / Nếu —2— + , + ——- > 0 thì tập nghiệm s = [-00 ;ab + bc + ca], a + b b + c c + a Nếu , + —— + ——— = 0 thì tập nghiệm s = R. a + b b + c c + a r 6 Nếu — + 7 + ——— < 0 thì tập nghiệm s = [ab + bc + ca; +oo]. a+bb+cc+a r
33. Biến đổi về dạng x[a + b] < a - b. / Nếu a + b > 0 thì s = Nếu a + b < 0 thì s = \ a - b
34. 00 ’ 7TT I V a + bj / V a - b a + b ; +00 J 132 booktoan.com Nếu a + b - 0 và a > b thì s = R. Nếu a + b = 0 và a < b thì s — 0. 4.38. Nhận thấy rằng X = -1 là nghiệm của bất phương trình [1]. Do đó bạn Nam giải sai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ : Từ [I] c - 1 > 0 X + 1 > 0 [II] [thấy ngay X = -1 là nghiệm của [I] nhưng không là nghiệm của [II]]. Suy luận đúng là 4.39. Ta có AB >0 A >0 A = 0 hoặc 'B > 0 A >0 X + 4m 2 < 2mx + 1 3x + 2 > 2x - 1 [1 - 2 m]x < 1 - 4 m 2 X > -3. [ 1 ] [ 2 ] Nếu m -2. Kết hợp với điếu kiện m < —, ta có -2 < m < -Ị Ẩmt Á Nếu m= y thì [1] có dạng 0.JC < 0 [luôn đúng với mọi X e R], nên hệ [I] luôn có nghiệm X > -3. Nếu m > thì [1] X > 1 + 2 m, nên hệ [I] luôn có nghiệm Á X > 1 + 2m. Vậy khi m > -2 thì hộ [I] luôn có nghiệm. 4.40. Hệ vô nghiệm khi -2 < m < 3. '4.41. a] Học sinh tự lập bảng xét dấu [3x - 1 ][x + 2] > 0 khi X < -2 hoặc X > -ị ; [3x - 1 ][x + 2] < 0 khi -2 < X < 2 - 3x - ,, . 1 2 2 - 3x 1 2 bi 4— —r > 0 khi < X < — tt. , < 0 khi X < -r hoặc X > — ■ ’ 5x -1 .5 3 Bo&ktoỉn.com 5 3 133
35. Lập bảng sau : X 1 —00 0 — 1 +00 3 -X + 1
38. 0 - x + 2
39. 0 +
41. 3x + 1 —
42. 0 +
43. [-X + IX* + 2][3* + 1]
44. 0 - 0 + 0 - Vậy [-X + l][jt + 2X3* + 1] < 0 khi -2 1 ; [— X + 1 + 2][3jc + 1] > 0 khi X < —2 hoặc —< < L
45. Ta có 2 - 2 + x = I • Lập bảng sau : 3* - 2 3x - 2 X 2 6 —00 — — +00 3 5 5x - 6 —
46. 0 4- 3*-2 0 +
47. 5 - 6 3-2
48. 0 1
49. \TA.. 'ì 2 + X 2 6- 2 + x 2 , 6 Vậy 2- 0 khi < “ hoặc X >
50. -X 3 + 7x - 6 = - [x - 1][ - 2][x + 3]. Học sinh tự lập bảng xét dấu và nhận được -X 3 + lx - 6 < 0 khi -3 < < I hoặc > 2 ; -X 5 + 7x J b ePẵteỉ°< m -3 hoặc 1 < X < 2. 134
51. X 3 + X 2 - 5x + 3 = [x - 1 ] 2 [x + 3]. X 2 + X 2 - 5x + 3 < 0 khi X < -3 ; X 2 + X 2 - 5x + 3 > 0 khi X > -3 và X 1. \ 2 2 - rr 1 — -\jỉ + &\fĩ X L - X - 2v2 < 0 khi -— - -< 2 rz 1 - yjl + 8>/2 X - X - 2v2 > 0 khi X < -+- X — 1 + 1 + 8V2 \ 1 + V1 + 8V2 hoạc X > 1 + 1 4- 8/2 4.43. a] Biến đổi biểu thức về dạng—-4 t- Học sinh tự lập bảng xét 6 [3 - x][3 + x] • ■ ' F 6 dấu. Kết quả được biểu thức dương khi X < -3 hoặc 0 < X < 3 ; biểu thức âm khi -3 < X < 0 hoặc X > 3. ,. X 2 - 6 x + 8 [x - 2][x - 4] _ , , . , .
52. —— -= —-2-—. Lập bảng xét dấu sau : } 2 + % x _ 9 [x - l][x + 9] X —00 —9 1 2 4 +00 X - 2 — — 0 +
53. X - 4 — — —
54. 0 + X - 1 —
55. 0 +
57. X + 9
58. 0 +
61. [X - 2][x - 4] [x - l][x + 9]
62. 1 - 1
63. 0 - 0 + Vậy “T— ã + < 0 khi X e [-9 ; 1] u [2 ; 4] ; X + 8x - 9 — ã + 8 > 0 khi X e [-00 ; -9] u [1 ; 2] u [4 ; +co]. X 2 + 8x - 9 ix +
64. Biến đổi biểu thức về dạng— - —T—-— Từ đó, biểu thức đã cho sẽ x 2 [x 2 - 2] dương khi X e [-CO ; -2] u [-2 ; -ypĩ ] u [V 2 ; + 00 ] và sẽ âm khi X e [-V2 ; 0] u [0 ; V2]. booktoan.com 135
65. Ta có X + l| - 1 X + X + 1 X + X + 1 —X - 2 .X 2 + X + 1 khi X > -1 khi X < -1 Dấu của biểu thức trên hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của tử thức [vì X + X + 1 > 0 với mọi x]. Vì vậy : X + 1 -1 X Z + X + 1 < 0 khi X e [-2 ; 0] và X + 1 -1 X + X + 1 0 khi X € [-00 ; -2] u [0 ; +oo] 4.44. a] Tập nghiệm s = [-00 ; -1] u / V / 5x + 4
66. Biến dổi bất phương trình về dạng . < 0. 3x + 1 Tập nghiệm s = 4 1 N 5 ’ 3 4.45. a] Dựa vào tính chất Iđl + lối = \a - b\ o ab < 0, và để ý rằng [5 + x] - [x - 3] = 8 ta có 15 + xl + Ix - 31 = 8 o [5 + x][x — 3] < 0 -5 < X < 3 . Chú ý. Học sinh có thể giải bằng cách chia thành các khoảng để phá dấu giá trị tuyệt đối nhưng lời giải sẽ dài hơn.
67. Dựa vào tính chất \a\ = a a > 0, ta có 2 X - 5x + 6 = X 2 - 5x + 6 X 2 -5x + 6> 0 X < 2 hoặc X > 3.
68. Ta có |2x - lỊ 2x - 1 khi x - 2 1 - 2x khi X < booktoan.com 136 Nếu X > Ậ thì |2x - l| = X + 2 o 2x - 1 = X + 2 o X = 3 [thoả mãn điều kiện X > 4]- 2 Nếu X < 4 thì |2x - l| = X + 2 o 1 - 2x = X + 2 o X = điều kiện X < -ỉ]. 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là s 5= Ị--; 3j
69. Tập nghiệm s = {-3 ; 2}. 7 4 . 46 . a ] | 3 jc - 5 | < 2 o -2 < 3x - 5 < 2 o 1 < X < 4 .
70. —4 > 2 o —4 .2 hoặc ^4 < -2. --ị [thoả mãn o V 3 , , • Trường hợp ——4 2 o —ầ 0 o -1 < X < 0 . 6 *x + 1 X + 1 2 — JC 4 H- 7t • Trường hợp 7 < -2 o 7 < 0 o -4 < X < -1. 6 Yí x +1 X + 1 Vậy tập nghiệm 5 = [-4 ; -1] u [-1 ; 0].
71. Phân chia hai trường hợp X ầ. 2 và X < 2 . .. [ 57 Tập nghiệm s = -00 ; 4 .
72. Ta có X khi X > 0 -X khi X < 0. Gọi bất phương trình đã cho là [1]. • Nếu X < -1 thì [1]0 —X — 1 < -X - X + 2 o X < 3. Kết hợp với điều kiện X < -1, ta được X < -1. • Nếu -1 < X < 0 thì [1]0 x + l -1 li = , „; . , X - 1 khi X < -1; 137 • Nếu X > 0 thì [1]0 x + \ 0 , ta được 0 < X < 1 . Vậy tập nghiệm của [1] là s = [-00 ; 1]. 4.47. a] 2[x + y+ l]>j; + 2ojí + 2y>0. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng [phần không bị gạch, không kể bờ] trong hình 4.3. Hình 4.3 Hình 4.4
73. 2[y + ;t] < 3[x + 1] + 1 JC - 2y + 4 > 0. Miền nghiệm của bất phương trình tà nửa mặt phẳng [phần khỏng bị gạch kể cả bờ] trong hình 4.4.
74. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng [phần không bị gạch, không kể bờ] trong hình 4.5. Hình 4.5 Hình 4.6
75. Miển nghiệm là nửa mặt phăng [phần không bị gạch kể cả bờ] trong hình 4.6. 138 booktoan.com 4.48. a] Miền nghiệm là phần không bị gạch [không kể biên] trong hình 4.7. Hình 4.7 y* i A 3 y = 3 0 X Hình 4.8
76. Miền nghiêm là phần không bị gạch trong hình 4.8 [khồng kể tia At ] 4.49. a] Miền nghiệm là phần khống bị gạch [không kể biên] trong hình 4.9.
77. Miền nghiệm là miền tam giác ABC [không kể hai cạnh AB, BC ] trong hình 4.10. Hình 4.9 4.50. Ta có \x - l| < 1 -1 < X - 1 < 1 < o ‘ |, + 1| 0. Miền nghiệm [ s ] của hệ [I] là miền tứ giác OABC [h.4.13].
78. SỐ tiền lãi của xí nghiệp mỗi ngày là T = 2x+l,6y [triệu đồng] Hình 4.13
79. T = 2x + l,6y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Dùng phép thử trực tiếp, ta thấy T = 2x + 1,6y đạt giá trị lớn nhất khí X — 1 ; y = 3 [điểm B]. 4 Vậy để số tiền lãi lớn nhất [6,8 triệu dồng], xí nghiệp cần sản xuất mỗi ngày 1 tấn sản phẩm I và 3 tấn sản phẩm II. 4.53. a] Tam thức đã cho có a = 2 > 0 và biệt thức A = 1 - 10 = - 9 < 0, nên tam thức luôn dương.
80. Tam thức đã cho có a = - 1 và biệt thức A = 1 > 0, và có hai nghiệm x l = 2, x 2 = 3. Suy ra tam thức dương trong khoảng [2 ; 3] và âm trong các khoảng [-00 ; 2] và [3 ; +oo].
81. Tam thức đã cho có a = 2, biệt thức A = 0 nên tam thức dương với mọi & booktoan.com 141
82. Tam thức đã cho có a = -4, biệt thức À' = 8 > 0 và có hai nghiệm 1 + 72 72 — 1 ,, 1 —T—-. nên tam thức dương trong khoang Xị = / x 2 = I + SỈĨ . 72-1' 2 ; 2 J / và âm trong các khoảng 1 + 72 —00 : — V / và : +00 2 72-1 V 2 ]
83. Tam thức dã cho có a = /3 và biệt thức A = [73 + l] 2 - 473 = [73 - l] 2 > 0, tam thức có hai nghiệm XỊ = -í, x 2 = u y ra tam / thức dương trong các khoảng [- 00 ; -1], V -1 73’ \ : +00 và âm trong khoảng r s, Chú ý : Nhận xét a - b + c = 0 nên tam thức cổ hai nghiệm , c 1 Xị =.- ỉ,x 2 = = j=. «73 Từ đó áp dụng dịnh ỉí về dấu tam thức.
84. Tam thức cóa=lvầa + b+c = ồ , nên tam thức có hai nghiệm Xị = -75, x 2 = ì. Suy ra tam thức luôn dương trong các khoảng [- 00 ; -75], [1 ; + 00 ] và âm trong khoảng [-75 ; 1].
85. Tam thức đã cho có a = -0,3 < 0, biệt thức A = -0,8 < 0, nên tam thức luôn âm với mọi X.
86. Tam thức đã cho có a = 1, A =[T7-1] 2 -4T3 =8-277 -473 = 2[2-77]+ 4[1 -73] 0 trong các khoảng / -1-VĨ7 V ;1-V5 ' ',.-lWĨ7 1; —+— \ / V và [1 + Vó ; +oo]. F[x] < 0 trong các khoảng —00 :
87. 1 - VĨ7 \ V , [1 -Vó ; 1] , / -1+VĨ7 ; 1 + Vó \ / 4.55. a] Ta có biệt thức À = [m + l] 2 - 4 1 \ x m ĩ, V 2-7 = m - 2 m + —. Xét tam thức/[/n] = m - 2m + có a = lvà biệt thức À’ = - 0 với mọi /n. Vậy phương trình luôn có nghiệm. Chú ý : Ta có thể xét À = [m + l] 2 - 4 1 \ / \ 3/ 2 4 ^ 4 = 0
88. X €

    0; X + 4 < 0 1 hoác 4 -X 2 - 8x - 12 > [x + 4] 2 X + 4 > 0. 11 u [4 ; + 00 ]. Hướng dẩn. Bất phương trình tương đương với: 4x + 2 > 0 5x 2 + 61x > 0

    5x 2 + 61x < [4x + 2] 2 . booktoan.com 156 c]jcẽ [-00 ; 0] u [1 ; 2]. Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với: ịx 5Ể 0 x[\Ỉ2 — X + 2x - 3] > 0. . Hướng dẫn. Bất phương trình tương dương với: 3jc 2 - 3 > 0 [2x + 3][3[2jc - 3] - y/ĩx 2 - 3] < 0. 4.78. a] Bất phương trình tương dương với hệ : 3 f 3" X € -X ; - 1 u 1 ; L 2 J 2 x + 3 >0 1 - X > 0 X + 3 < [1 - xý
89. 3 > 0 X < 1 X 2 - 3x — 2 > 0. Từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình là 5 = -3; 3 - yfỮ7 \
90. 3 < X < 5. Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với hộ : -X + 6x - 5 > [8 - 2xý 8 - 2x > 0 hoặc -X 2 + 6x - 5 > 0 8 - 2x < 0.
91. s = vói hệ : I 1 N | _ x 0; — u [4 ; + 00 ]. Hướng dân. Bất phương trình tương đương ^ ] [4x + 2Ý > 5x 2 + 61 5x 2 + 6ÌX > 0 4x + 2 > 0.
92. 5 = M. Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với:
93. 1 X X - 2 < X 2 - X > X — 2 hoăc [ A X 2 - X > 0 X - X 2 > X - 2 X 2 - X < 0. booktoan.com 157 4.79. a] Nếu -5 < X < 0 bất phương trình luôn luôn đúng. Xét X > 0. Nếu 3 < y[x + 5 tức là X > 4, bất phương trình đã cho tương đương với Vjc + 5 > X + 3. Khồng có X thoả mãn bất phượng trình này. Nếu 3 > 7* 4- 5 tức là X < 4, bất phương trình dã cho tương đương với 3 - X > -s lx + 5 o x < 3 X < 3 9 -6x + X 2 > X + 5 \jc 2 - Ix + 4 > 0 X < 7-733 rr., ... , , ^ . 7-733 Kết hợp ta có : -5 < X < - Y -
94. X £ [-9 ; 16].
95. Bất phương trình đã cho tương đương với

    24 - 676 — Jt > —X - 13. [ 1 ] Điều kiện của bất phương trình là X < 6.

    Nếu -X -13 < 0 tức là X > -13, bất phương trình luôn luồn nghiệm đúng.

    Vậy mọi X e [-13 ; 6] là nghiệm của bất phương trình.

    Với X < -13, ta có 76 - X > 7Ĩ6 = 4 nên 24 - 676 - X < 0. Do đó [1] 676 - X - 24 > —X - 13 676 - X > -X + 11 36[6 - x] > X 2 - TLx + 121 o X 2 + Ì4x - 95 < 0 -19 < X < 5. Vậy trong trường hợp đang xét, mọi X £ [-19 ; -13] là nghiệm của bất phương trình. Kết luận : Tập nghiệm là s = [-13 ; 6] u [-19 ; -13] = [-19 ; 6].
96. X > ị- . Hướng dẫn. Bất phương trình được viết thành : ÁđF u + 3| - u - 3| > 1. booktoan.com 158 4.80. a] Đặt t = X 2 + X + 2, t> Ồ. Khi đó bất phương trình trở thành : [/-1]0+ 1] > 15 o / 2 > 16. [] Do / > 0 nên nghiệm của bất phương trình [] là t > 4. Suy ra x 2 +x + 2>4x 2 + x~2>0o > 1 hoặc X < -2. Vậy tập nghiêm của bất phương trình đã cho là s = [-00 ; -2 } u [1 ; +oo]. / b]S = -7;- 5+VĨ7 V u sỉĩĩ-5 \ ;2 Hướng dẫn. Đặt / = X 2 +5x+2 >0.
97. s = [-00 ; -2] u [6 ; +oo]. Hướng dẫn. Đặt / = \Ì2x 2 - 8jc + 12 > 0. 4.81. a] Bất phương trình tương đương với [x - 3] 'V X 2 + 4 - [x + 3] < 0. Từ đó tập nghiệm cần tìm là hợp các tập nghiệm của hai hệ bất phương trình sau : [I] Jt - 3 > 0 X L + 4 < x + 3 [II] X — 3 < 0 1 Jx 2 + 4 > X + 3.[] Giải hệ [I]: [I] o 3 • X 2 + 4 < X 2 + 6x + 9 o X > 3 5 x>-ị 6 [ 1 ] Giải hệ [II]: Ta xét hai trường hợp :
98. Trường hợp X < -3 : Dễ thấy mọi JC < —3 là nghiệm.
99. Trường hợp X > -3 : Ta có [] o X 1 + 4 > X 2 + 6x + 9 X < Vậy trong trường hợp này, hệ [II] 6 có nghiệm là -3 < X < “ . Do đó [II] < - 2 -. 0 Từ [1] và [2] suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là [ 2 ] s = / V 5 °° ; 6 _ boolctoan.com u [3 ; +oo]. 159
100. s = 2 1 ''i [ 1 5^1 -; - -yj yj -j ; 2 ■ Hướng dẫn. Bất phương trình tương đương với hệ 9x 2 - 4 < [3x + 2]15x 2 - 1 5X 2 - 1 > 0. 4.82. Với m < 0 : Phương trình vô nghiệm. Với m = 0 : Phương trình có ba nghiệm X = 0 ; X = ±2. Với m > 0 : Phương trình tương đương với -2\x\ + m 2 = 0. Xét phương trình y 2 — 2ỵ + m 2 =0 [ 1 ] [ 2 ] có A' = 1 - m
101. Nếu m > 1 thỉ [2] vỏ nghiệm nên [1] vô nghiệm.
102. Nếu m = 1 thì [2] có nghiệm ỵ = 1 nên [1] có hai nghiêm X = ±1.
103. Nếu 0 < m < 1 thì [2] có hai nghiệm dương

     ỵj = 1 + Vl - m 2 ,>>2 = 1- \lĩ- m 2 , suy ra [1] có bốn nghiệm phân biột Xị 2 = ±[1 + Vl - m 2 ] x 3,4 = - Vl - m 2 ]. 4.83. a] Do 11 < VĨ23 < 12 và 6 < V 37 < 7 nên -12 < - Vĩ23 < -11 và

     „ /rr - - 9 3 - VĨ 23 . 5 2 - V 37 4 -7 < -V37 < -6. Suy ra ị 3^flV.64 = 12ứV ' 6 ,9 Vậy ứ 6 + ố 9 + 64 > 12flV hay a + > 3ứV - 16. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = \/4
104. Bất dẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành : [ứ - b] 2 + [b - yfã Ý + [a - 4b Ỷ > 0. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0 hoặc a = b = l Điều này luôn luôn đúng. 4.86. a] Ta có A = [a — l] 2 + [b — 1 Ỷ + ab - a - b + 2004 = [a- 1 Ỷ + [b- 1 ] 2 + [a- 1] [è - 1] + 2003 [a - 1 ] + b- 1 -|2
105. ị[b - l] 2 + 2003 > 2003 4 Dấu bằng xảy ra khi . b - 1 a - 1 + - = 0 2 o d- 1 = 0 a = 1 = 1 Vậy A nhỏ nhất bằng 2003 khi a = b = 1.
106. B = [ứ - 6 + l] 2 + [b - 1] 2 -14 > -14. Vậy B nhỏ nhất bằng -14 khi a = 0 , b = 1. 4.87. a] Do a, b, c > 0 nên a + b + c > 3 ìỊabc và a 2 + b 2 + c 2 > 3 \/ỡ 2 ỉ> 2 c 2 Suy ra [a + b + c][a 2 + b 2 + c 2 ] > 9 \Ja 2 b 2 c 2 = 9 abc. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. booktoan.com 11-BTĐS10.NC • A 161
107. Ap dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có

     Qb bc ac ab bc ac^-

     + —->2 b\ - 7 - + £ 2 a ; — + - 7 1 > 2 c, nên ca b c ab bc ac ab H—:—I—— > a + b + c a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
108. a' b + c b + c H--— > a ; b 2 a + c c - 2
109. —— > b ; a + c Do đó a

4 a + b + c a + b a + b^

• - 7 - > c . b + c a + c a + b 2 2 Mặt khác từ bất dẳng thức [jt + y] > Axy và X, y > 0 ta suy ra : 2 ab < a + b 2 bc b + c < — 2 ca c + a a + b 2 ỉ> + c 2 c ũ 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được ữở bc ca a + ố + c
• ——— + ——— < ứ+6 ò+c c+đ - 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c. 4.88. a] Ta có thể viết p = ịx + l| + \2x + 5| + |l8 - 3 jc| > [x + 1] + [2x + 5] + [18 - 3*]| [Áp dụng bất dẳng thức |ữ| + lỏl + |c| > a + b + c ]. = 24 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [I] 18 - 3x > 0 Hệ [I] có nghiệm -1 < X < 6 ; Hệ [II] vô nghiệm. Vậy giá trị nhỏ nhất của p là 24 khi -1 < X < 6.
• Áp dụng bất đẳng thức \a - b\ > |a| - |ử| ta dược \x - l| > \x - 1, X + 1>0 Íx + 1 0 hoặc [II] < 2x + 5 < 0 18 - 3jc < 0. |y^2| > |y| - 2, |z - 3| > z - 3. booktoan.com 162 11-BTDS10.NC - B Do đó Q >
• 4-
• 6 = 2006 - 6 = 2000. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X - 1 > 0 ; y - 2 > 0 ; 2-3 > 0 và X + y + z = 2006. Chẳng hạn X = 2000 ; y = z = 3 thì X - 1 = 1999; |y - 2 = 1; Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2000.
• 3| = 0. 4.89. a] s = »00 : 5^3-1 ’ 3[Vã -1] / b ] s = -19 13 ; +00 /
• Bất phương trình được đưa về dưới dạng [1 +V3]X [X + V5] 2 - [x - Jĩ ] 2 o X < V5 V ’ 2 4.90. a] Với m = 3, tập nghiệm của bất phương trình là 0 Với m < 3, tập nghiệm của bất phương trình là Với m > 3, tập nghiệm của bất phương trình là 1 + m 2 \ —00 : 1 + m m - 3 2 : + 00 V m - 3
• Với m~0 hoặc m = 2, tập nghiệm bất phương trình là R. / Với m < 0 hoạc m > 2, tập nghiệm của bất phương trình là 1 ' — ; + 00 m Với 0 < m < 2, tập nghiệm của bất phương trình là / 1 —CO : V m /
• Nếu m < 10 thì tập nghiệm của bất phương trình là m - 7 -00 ;-— V m - 10/ Nếu ra > 10 thì tập nghiệm của bất phương trình là Nếu ra = 10 thì bất phương / f-Ị \ ra - 7 ' ; +00 tn - 10 / 163
• Nếu me [-00 ; -\Í5] u ; +co] thì tập nghiệm của bất phương trình là [-00 ; -m -yjm 2 - 5 ] u [ -m + yịm 1 - 5 ; +co]. Nếu me [-y[5 ; 4s ] thì tập nghiệm của bất phương trình là R.
• Nếu m = 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là

  1

  °° ’ ~ 4

  . Nếu m > 4 thì bất phương trình vô nghiệm. Nếu 0 < m < 4 thì tập nghiệm của bất phương trình là •2 - \Ịa - m -2 + [Ã —

  m m m Nếu m < 0 thì tâp nghiệm của bất phương trình là / —00 : -2 — V4 - m m V u -2 + yỈ4~- \ m m ; +00 /
• Nếu m - 3 thì tập nghiệm của bất phương trình là Nếu m < 3 thì tập nghiệm của bất phương trình là \ 8 : + 0 ° / m + — 00 : 1 - V 3 m 2 — Im + 10 m - 3 V VJ m + 1 + V 3 m 2 — Im + 10 m — 3 ; +00 Nếu m > 3 thì tập nghiệm của bất phương trình là m + 1 - \fĩm — Im + 10 m + 1 + slsm 1 - Im + 10 m - 3 ’ m - 3 4.91. a] {4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11}.'
• Không có nghiệm nguyên. 64 4.92. a] m e 33 ’ : +00
• me R. booktoan.com 164 4.93. a] Vô nghiệm,
• s- [0 ; + 00 ].
• 5 = [-00 ; -3] u [-1 ; 4] VJ / V 7 + 757
• 00 4.94. a] X € [-00 ; - 4 ] u [ -2; -1 ] u [1; +oo]. Hướng dẫn. Đặt t = X + 3x - 1 .
• X e [-2 ; -1] u [2 ; 3]. Hướng dẫn. Đặt t = x 2 - X - 4
• x ~3 phượng trình có hai nghiệm phân biệt. Với /71 < -3 phương trình có bốn nghiệm phân biệt. 4.98. a] Nếu đặt f[x] = 5—4 - 2 thì 8x H- 5 /00 > 0 X € / 14 \ V 9 ; 8 / / /00 jt6 14 —co : — \ / 5 u V y \ “ẽ ; + G0 ồ y
• Nếu đặt g[x] = 5 — — - - thì X ■+■ 5x + 4 g[x] < 0 X e [- 4 ; -1] u [1 ; 4], g[x] > 0 o X 6 [-00 ; - 4] u [-1 ; 1] u [4 ; +oo].
• Nếu đặt h[x] = 15x z - lx-2 6x 2 - X + 5 thì A[x] >0ore / V / 1 —CO : —- / [2 ] u T » +c0 v3 / /ỉ 00 < 0 X 6 I l' 5 ; 3 l 5’3j' booktoan.com 166
• Nếu đặt p[x ] =—— -r—— — — ão thì p{x] > 0 khi và chỉ khi

  x[x 2 - 8 jc + 5]

  e [-7Ĩ2,->/5 ]u[0;4-VĨT]u[V5 ;VĨ2]u[4+VĨT ;+oo]. p[x] < 0 khi và chỉ khi [-oo;-VĨ2]u[-V5;0]u[ 4-VĨT ;V5] u [VĨ2 ; 4 +VĨT]. 4.99. a] X e [5 ; +oo];
• X e [-00 ; yfĩ] u {$2 ; + oo]. Hướng dẫn. V* 6 - 4x 3 + 4 = x-ìíĩ\ [x 2 + Ipũ + ỰỊ].
• X e [- 2 ; - 1] u 2 1 ' 3 : 3, 4.100. a] X e 3; 6 + yỉŨ \ . Hướng dẫn. Phương trình viết thành yjx - 1 > \jx — 2 + \ịx — 3 Với điều kiện X > 3, bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương X - ĩ > 2x - 5 + 2 n /[x - 2][x — 3] 4 - > 2 -yịự - 2][x - 3] 4 - .V > 0 [[4 - x] 2 > 4[x - 2][x - 3].
• X e [- 00 , 0] u [1, +oo] . Hướng dẫn. Đặt t = yjx 2 - x + 1 > 0. Bất phương trình trở thành 2 1 2 - t -1 > 0.
• X > ì.
• Viết bất phương trình vé dạng : 0 - 1 ][ + 1 ]

x-1 X X - ỉ X Điều kiện : -1 < X < 0 hoặc X > 1 .

• Nếu -1 < X < 0 thì 7x + 1 < 1 suy ra bất phương trình khồng có nghiệm trong nửa khoảng [-1 ; 0].
• Với X > 1, bình phương hai vế của [] ta đi đến : [X - 1] + ị > 2 !■ X V X Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có , 1 . X - 1 [x - 1 ] + — 2 . 1 ——— X V X 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X — 1 = — tức là khi và chỉ khi X = 1 + 75 ... , . , 1 - /x -1 1 + 75 Vậy [x - 1] + j- > 2^-— o 1 < X ^ 2 Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là , . 1 + 75 1; 7 I u / 1 + 75 , ' , 9 ; + °° V l 4.101. a] X e [-CO ; - Tó] u [0 ; \ỊĨ] KJ [2 + 272, + co].
• X e

  [ 5

  ; + co k 4
• X 6 [3 ; 4] u [4, + co].
• X e [1 ; 3]. 4.102. a] X < -2-.
• X e [-1 ; 74]. booktoan.com 168
• Điểu kiện X -4.
• 3|^1 o X + 3 & ỉ và X + 3 -l hay X — 2 và Nếu X < -3, bất phương trình đã cho tương đương với 3 > -X - 2 — —r < X + 2 o —r - [x + 2] < 0 —JC — 3 — 1 X + 4 X + 4 3 - [x 2 + 6x + 8] - -X 1 - 6x - 5 n X 2 + 6x + 5 - —- < 0 -» —-—7-< 0 o-—-> 0

  X + 4 X + 4 X + 4 •o X G [-5 ; -4].

  Nếu -3 < X < -2 , bất phương trình đã cho tương đương với 3 > -X - 2 o —2— + X + 2 > 0 o 3 + [ + 2 ] 2 > 0 «. X > X + 2 X + 2 x + 2 Không có X thoả mãn yẽu cầu điều kiện -3 < X < -2.
• Nếu X > -2, bất phương trình đã cho tương dương với -- 3 V > X + 2 -4— - [x + 2] > 0 o 3 - [x + 2] 2 > 0 X + 2 X + 2 o [ylỉ - X - 2][\Ỉ3 + X + 2] > 0 -2- \Ỉ3 < X < 2 — -J3 Vậy -2 < X 0 o 5 - X 2 + 4x 2 - X 0 o X < -1 Nếu 2 < X < 5 bắt phương trình đã cho tương đương với 5 - X - 3 X - 2 o 9 + 2 - J > 0 o - + .9 ~ — > 0. 2 - X 2 - X Vậy 2 < X < 5 . Nếu X > 5 bất phương trình đã cho tương đương với 9 9 . 9 X - 5 - 3 X - 2 X - 8 x-2 X -8
• [x - 2] > 0 9 - [x 2 - lOx + 16] -X + lOx - 7 X 2 - lOx + 7 - -—=-> 0 -——;-> 0 o T-—-< 0. X - 8 booktỗanx om X -8 169 Vậy 8 < X < 5 + VĨ8. Kết luận X e [-00 ; - 1] u [2 ; 5] u [8 ; 5 + VĨ8]. 4.103. a] Với m = y/s phương trình trở thành -3\Ỉ5x + y/s +1=0, có nghiệm X = Với m \Ỉ5 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A = 9m 2 — 4[m + 1 ][m —SỈ5] > 0 o 5tn 2 —4[1 —[5]m + 4 V 5 > 0, bất phương trình này nghiệm đúng với mọi m [vì A' m = 4[1 -V5] 2 -20 s < 0]. Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m.
• m e[-l ; \fs ]. 4.104. m < 0 : phương trình vô nghiệm m — 0 : phương trình có hai nghiệm 0 < m < 4 : phương trình có bốn nghiệm m = 4 : phương trình có ba nghiệm m > 4 : phương trình có hai nghiệm. 4.105. Khi m - 0, dễ thấy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất X = 0. Giả sử m ^ 0 . Đặt í = 1 — mx , ta có X — -—- và ta được phương trình m lA 3^5 ra t[ — t + [2/75 — 3]í + 2 — Wỉ. [1] Hiển nhiên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi [1] có một nghiệm duy nhất. Ta có phương trình [1] tương đương với 't >0 t 2 + [m - 3]t + 2 - m = 0 hoặc [II] ịt< 0 í 2 + [3 m - 3]t + 2 - m - 0. Ta xét các trường hợp sau • Trường hợp m > 2. Lúc này mỗi phương trình bậc hai ương hệ [I] và [II] đều có hai nghiệm trái dấu, suy ra mỗi hệ [I] và [II] đều có một nghiệm, nghĩa là phương trình [1] có hai nghiệm [trái dấu]. Vậy m >2 khồng thoả mãn điều kiện của bài toán. DooKtoan.com 170 • Trường hợp m 0. Vậy nếu tỵ t 2 , tức là m & 1 thì hệ [I] có hai nghiệm phân biệt, tức là [1] có ít nhất hai nghiệm phân biệt, không thoả mãn yêu cầu của bài toán. Cuối cùng, khi m = 1, dễ tháy hệ [I] có một nghiệm duy nhất t = 1, hệ [II] vô nghiệm nên phương trình [1] có một nghiệm duy nhất. Tóm lại, các giá trị của m thoả mãn yêu cầu đế bài là m e {0 ; 1}. 4.106. a] Đúng.
• , c], d], e], f], g], h], i], k] sai. Học sinh tự lấy phản ví dụ. 4.107. Phương án [B]. 4.108. Phương án [B]. 4.109. Phương án [A]. 4.110. Phương án [D]. 4.111. Phương án [BX 4.112. Phương án [B]. 4.113. Phương án [C]. 4.114. Phương án [B]. 4.115. a] [4] Ị b] [1] ỉ c] [3] í d] [2]. 4.Ì16. a] m [1 2 ■ booktoan.com 171 THỐNG KÊ
• NHỮNG KIẾN THỬC CẦN NHỚ • Một dấu hiệu là một vấn đề nào đó mà người điều tra quan tâm. Mỗi đối tượng điều ưa gọi là một đơn vị điều tra. Mỗi đơn vị điều ưa tương ứng với một số liệu gọi là giá trị của dấu hiệu trên đơn vị điều tra đó. • Một tập con hữu hạn các đơn vị điều ưa gọi là một mẫu. Tập hợp các số liệu thu được sau khi điều tra trên mẫu gọi là một mẫu sô'liệu. • Bảng phân bố tần số gồm hai dòng [hoặc hai cột]. Dòng [cột] đầu ghi các giá ưị khác nhau của mẫu số liệu. Dòng [cột] thứ hai ghi tần số [số lần xuất hiện của mỗi glá trị trong mẫu số liệu] tương ứng. Nếu bổ sung một dòng [cột] thứ ba ghi tần suất [tỉ số % giữa tần số và kích thước mẫu] thì ta có bảng phân bố tần số - tần suất. • Khi sô liệu được ghép thành lớp, mỗi lớp gồm các sô liệu, nằm ưong một đoạn [hay nửa khoảng] nào đó, ta có bảng phân bố tần số [tần số - tần suất] ghép lớp. • SỐ trung bình được tính bởi công thức X • Phương sai được tính bởi công thức s 2 s 2 - lft 12 + 12 = 24nên a + b~3$-{c + đ] 12-7 = 5. Mẫu SỐ liệu {7 ; 7 ; 12 ; 12 ; 12} có số trung bình là 10 và số trung vị là 12 với biên độ 5. Đó chính là mẫu số liệu có biên độ bé nhất trong số các mẫu số liệu kích thước 5 với số trung bình 10 và số trung vị 12. 5.24. a] Bảng phân bố tần số ghép lớp Lớp Giá trị đại diện Tần SỐ [90 ; 100] 95 1 [100 ; 110] 105 5 [110 ; 120] 115 12 [120; 130] 125 13 [130 ; 140] 135 10 [140 ; 150] 145 4 N -45 190 booktoan.com
• Từ đó tính được số trung bình [tính theo bảng phân bố gbép lớp] là 123,44 líí. Nếu tính đúng trên mẫu số liệu [khi không ghép lớp] thì số trung bình là 123,11 lít,
• Để tính số trung vị, ta sắp xếp các số liệu ứên theo thứ tự tăng đần như sau : 97 104 105 106 107 109 110 111 112 113 114 115 115 115 116 118 118 119 121 121 121 122 123 125 126 127 128 128 128 129 129 130 130 131 132 132 132 134 138 138 139 142 142 144
• Từ đó số trung vị M e = 123. 5.25. [C]. 5.26. [B]. 5.27. [D]. 5.28. [D]. 5.29. [A]. 5.30. [A]. 5.31 [B]. Hướng dẫn ; Số liêu
• có giá trị 0 và 4 có tần số 12 5 N là N ,0’ = „ 100 8 Do 4Ó, N phải chia hết cho
• Số liêu có giá ưị

  2 có tần số là N. ,v! = 100

  N = 2 và số liệu có giá trị 3 là N 25 = N 100 4 Do đó, N phải chia hết cho 8 ; 4 ; 2, tức là phải chia hết cho BCNN [bôi chung nhỏ nhất] của 8 ; 4 ; 2. Mà BCNN của 8 ; 4 ; 2 là 8 . Do đó, N phải chia hết cho 8 . Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 8. 5.32. [D]. Hướng, dẫn : Kí hiệu n,m\ầk tương ứng là kích thước của mẫu X Y và z ; S[X ], S[Y] và S[Z] tương ứng là tổng tất cả các giá trị của sô' liệu trong mẫu X Y và
• Theo bài ra ta có S[X] = 37«, 5[10 = 23m, 5[Z] = 41* và 5[X + 5[T] = [n + m] 29. Suy ra 37« + 23 m = 29« + 29 m. Từ đó 8« = 6m hay « = 0,75m. Tương tự, vì S[Y] + 5[Z] = [m + Ắ:]33 nên suy ra 23m + 41Ẩ: = 33m + 33X Từ đó 8Ẵ: = 10«ỉ hay k = 1,25 m. booktoan.com 191 Tổng tất cả các giá trị của số liệu trong mẫu Xu Tu z là S[X] + S[Y] + S[Z] = 37 n + 23 /22 + 41 k = 37.0,75/22 + 23 /22 + 41. l,25m = 102/22. Kích thược của mẫu X u Y u z là n + /22 + k = 0,75 /22 + /22 + 1,25 /22 = 3m 102m Vậy số trung bình của mẫu X u y u z là -r— = 34. 3n? 5.33. [C]. Hướng dẫn : Gọi số học sinh lớp 12 là n. Theo bài ra, số học sinh lớp 11 sẽ là 1,5 n. Gọi điểm trung bình của học sinh lớp 11 là ứ. Theo bài ra, điểm trung bình của học sinh lớp 12 là l,5ứ. Tổng số điểm của học sinh lóp 11 là s - a. 1,5/2 = 1 ,5an. Tổng số điểm của học sinh lóp 12 là T = [l,5ứ] n = l,5an. Vậy tổng số điểm của học sinh lớp 11 và 12 là 1 ,5aự + 1,5 an = 3 an. Mặt khác, ta có tổng số học sinh lớp 11 và 12 là n + 1,5/2 = 2,5/2 và điểm trung bình của lóp 11 và 12 là 10. Do đó, tổng số điểm của học sinh lớp 11 và 12 là 10.[2, 5 / 2 ] = 25/2. Từ đó ta có 3[2/2 = 25/2 hay a = 25 Vậy điểm trung bình của học sinh lóp 12 là l,5ỡ = 192 booktoan.com & ?hương VI GÓC LƯỢNG GIẤC VÀ CÔNG THỨC LƯƠNG GIÁC
• NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ
• Cung tròn. Quan hệ giữa độ và rađian Cung tròn bán kính R có số đo rađian a [0 < a < 2n], có số đo a ữ [0 < a < 360], có độ dài / thì : a a — = TZK - 1 = R a- n 180
• Công thức lượng giác cơ bản sin[ a + kin] = sin a tan a - sữia: coso: cos[ a + k2ĩi] = cos a cos a 1 cotớr = sin a tan a tan[ứf + kn] = tan a 2 2 cos a + sin a = 1 cot[a+ kn] = cotứ: 1 + tan 2 a = 1 cos 2 a 1 _.2 1 1 + cot a = - sin 2 a
• Giá trị lượng giác của các góc [cung] có liên quan đặc biệt sin [-a] = -sin a cos [-a] - cos a tan [-a] = - tan a sin[ít + á] = -sina cos[ĩĩ + á] = -cosa tan[7t + a] = tan ớ" sin[jĩ -à] = sina cos[tc - a] = -cos a tan[ - a] = - tan# sin / _ \ K -r — a = cos« cos / n \2 / = sin a booktoan.com tan ,0~ ữ \2 = cot a 13-8TĐS10.NC - A 193
• Một sô' công thức lượng giác

  Công thức cộng cos[a + /?] = cos[ớr - p] = sin[a + /?] = sìn[« - [3] = cos a cos Ị3 — sin a sin p cos a cos /3 + sin a sin Ị3 sin a cos Ị3 4- cos a sin Ị3 sinacos/? - cosasin/? tan[ũr+ p] = tan[a- P] = tana + tan /3 1 - tan a tan /3 tan a - tan Ị3 1 + tan a tan Ị3 Công thức nhản đôi cos2a = cos 2 a - sin 2 a - 2cos 2 ỚT - 1 = 1- 2sin a ; sin2ũ;= 2sin

  cosớ; ;

  tan2or = Công thức hạ bậc 2 1 + cos 2 a cos a =- 2tan« 1 - tan 2 a . 2 1 - cos2a ; sin a- -—- Công thức biến đổi tích thành tổng cosacos/ĩ= [cos[« + /3] + cos[a - /?]] sino:cos/? = [sin[« + /3] + sin[a - /?]]

  sin«sin/? = “ [cos[or + /3] - cos [a - /3]] Á* Công thức biến đổi tổng thành tích

  _ a ~ a + p a-Ị3

  ■ cos a + cos p - 2 cos — - — cos —— ỉ — 2 2

  a_ r,-a + P.a~/3 cosữ — cos /? = —2sin——--sin— 2 2 o r, . tt + Ị3 a - B sinor + sin /ơ = 2sin——cos - - 2 2 . „ . ữ 0 a + p.a-p SUI [X — sin Ị3 = 2cos—sin——— 194 booktoan.com 13-BTDSÌO.NC - 8
• ĐỀ BÀI §1. GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC §2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC [CUNG] LƯỢNG GIÁC 6.1. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?
• Góc lượng giác [ Ou , Ov ] có số đo dương thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối vói nó có số đo dương.
• Góc lượng giác [ Ou , Ov] có số đo dương thì mọi góc lượng giác [Ov, Ou] có số đo âm.
• Hai góc lượng giác [On, Ov] và [ Ou\ Ov'] có số do khác nhau thì các góc hình học uOv, u'Ov' không bằng nhau. llĩi .. 13tc "T~r—
• sđ[Ow, ớv] = --, sđ [Ou\ Ov] = thì uOv = u'Ov\ 6 6
• Hai góc lượng giác [ Ou , Ov] và [Ou\ Ov'] có số đo sai khác một bội nguyên của 2tt thì các góc hình học uOv, Ù0v' bằng nhau.
• Hai góc hình học uOv, ÙOV bằng nhau thì số đo của các góc lượng giác [Om, ớv] và [ Ou\ Ov'] sai khác nhau một bội nguyên của 2ru. 6.2. Đổi số đo rađian của cưng tròn sang số đo độ : ,3 ĩí , , 2n . 1 ỉn a 4 ’ b] 3 ; c] 6 ;
• y ; e] 2.3 ; f] 4,2 6.3. Đổi số đo độ của cung tròn sang số đo rađian :
• 45° ; b] 150° ; c] 72° ; d] 75° 6.4. Một dây curoa quấn quanh hai trục ữòn tâm I bán kính ldm và tâm J bán kính 5dm mà khoảng cách IJ là 8dm [h.6.1]. Hãy tính độ dài của dây cu-roa. Hình 6.1 6.5. ơ-ra-tơ-xten [Eratosthene], ở thế kỉ thứ n trước Công nguyên [Nguyên giám đốc thư viện nổi tiếng [Alexandrie]] đã tìm cách 195 6 . 6 . tính bán kính của Trái Đất bằng cách đo khoảng cách giữa hai thành phố A-lếch-xãng-đri và Xy-en [Syene] là 8004km [theo đon vị ngày nay ; thuở đó các đoàn lạc đà đi từ thành phố này đến thành phố kia mất 50 ngày đường]. Biết rằng, khi ở Xy-en tia sáng mặt ười chiếu thẳng đứng [nhìn thẳng xuống giếng sâu], thì ở A-lếch-xăng-đri, tia sáng mặt trời làm một góc [7,1]° Hình 6.2 với phương thẳng đứng. Hỏi làm sao ơ-ra-tơ-xten suy ra được bán kính của Trái Đất [xấp xỉ 6 400 km] [h. 6.2] ? Bánh xe máy có đường kính [kể cả lốp xe] 55 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng ? 6.7. Xét hình quạt tròn bán kính R, góc ở tâm a [R > 0, 0 < a < 2n]. [h. 6.3].
• Biết diện tích hình tròn bán kính R là nR và diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo góc ở tâm. Hãy tính diện tích hình quạt tròn nói trên. Hỏi a bằng bao nhiêu thì diện tích đó bằng R 1 ?
• Gọi chu vi hình quạt tròn là tổng độ dài hai bán kính và độ dài cung tròn của hình quạt đó. Trong các hình quạt có chu vi cho trước, tìm hình quạt có diện tích lớn nhất.
• Trong các hình quạt có diện tích cho trước, tìm hình 'quạt có chu vi nhỏ nhất. 6.8. Huyện lị Quảng Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quảng Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó ["Khoảng cách theo đường chim bay”], coi Trái Đất có bán kính 6378km. 6.9. Tìm số đo độ của các cung lượng giác có số đo rađian sau : Hình 6.3 -17n booktoan.com
• —1,72. 196 6.10. Dùng máy tính bỏ túi, đổi số đo độ ra số đo rađian chính xác đến số thập phân thứ ba:
• 20°; b] - 144°; c] 2003° ; d] «° 6.11. Cho góc lượng giác [Om, ớv] có số đo~ Hỏi trong các số ^; 1 Itc 31tc 14ĩi v s . v . , , - ., , ;- ; —— —— , những số nao là sô đo cua một góc lượng giác có ^ cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho ? 6.12. Hãy tìm số đo a của góc lượng giác [ỚM, Ov] vói 0 < Oí < 2«, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là : 29« 128« 2003« , —r~ ;-r— ;- —r— ; 18,5. 6.13. Hãy tìm số đo a° của góc lượng giác [ỚM, Ov], 0 < a < 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là : 395° ; - 1052° ; - 972° ; [20«]° 6.14. a] Trong các góc lượng giác có tia đầu Om, tia cuối ớv cho trước, chứng minh rằng, có một góc lượng giác duy nhất [ỚM, Ov] có số đo a ,
• « < a < Tí và chứng minh rằng \c là số đo rađian của góc hình học uOv.
• Tìm số đo của góc hình học uOv, biết góc lượng giác [Om, Ov] có số đo là : 9 71 5tc 106iĩ
• T ; ~T : 9
• 2003. • 220° ; - 235° ; 1945° ; -2003° 6.15. a] Chứng minh rằng nếu sđ[On, Ov] = a , sđ[On', Ov ] = p thì các góc hình học uOv, ùOv' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc P - a = k2n hoặc J3+ a- k2ĩi [ke Z].
• Hỏi trong các cặp góc lượng giác [Om, Ov] ; [ Ou\ Ov'] có số do như

  sau, cặp nào xác định cặp góc hình học uOv ; n’Ov’ bằng nhau ? 13ji lln —— và —— 6 6 1211« 8 “ 13« . 1 lrc ——— va —— 17« , 15« — và ——- 731« . 11« 2003«

  30 và - 30 8 và booktoan.com 197 6.16 . Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho s á AM = y ; sđAN = -2^-, [ke Z]. Tìm k e N để M trùng với N và tìm 6 /98 k e N để M và N đối xứng qua tâm đường tròn. 6.17. Trên một đường tròn định hướng cho ba điểm A, 'M, N sao cho sđ AM = -ị ; sđ A/V = -Ị- Gọi p là điểm thuộc đường tròn đó để tam rx giác MNP là tam giác cân. Hãy tìm số đo AP 6.18. Trên đường tròn lượng giác hãy tìm các điểm xác định bởi các sô':

  TT / 7 + i,[l€Z]; k^.[ke Z] ; k^,[ke Z].

  6.19. Tìm giá trị lượng giác sin, côsin, tang của các góc lượng giác có số đo sau [không dùng máy tính] : • 120° ; -30° ; -225° ; 750° ; 510° 5n In 5ĩt lOn 17tc 6.20. Cho số ^ >2