Các bài toán về bất đẳng thức cosi lớp 10 năm 2024

1. Bất đẳng thức

Là một mệnh đề có một trong các dạng \(A > B, A < B, A \ge B, A\le B\), trong đó \(A, B\) là các biểu thức chứa các số và các phép toán.

Biểu thức \(A\) được gọi là vế trái, \(B\) là vế phải của bất đẳng thức.

Nếu mệnh đề: \("A < B => C < D"\) là mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức \(C < D\) là hệ quả của bất đẳng thức \(A < B\).

Nếu \("A < B => C < D"\) và \("C < D ⇒ A < B"\) là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức \(A < B\) và \(C < D\) tương đương, kí hiệu là \(A < B ⇔ C < D\).

2. Các tính chất của bất đẳng thức.

TC1. ( Tính chất bắc cầu)

\(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\)

TC2. (Quy tắc cộng): \(A < B ⇔ A + C < B + C\)

TC3. (Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều)

\(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\)

TC4. (Quy tắc nhân)

\(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\)

\(\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\)

TC5. (Quy tắc nhân hai bất đẳng thức)

\(\left\{ \matrix{ 0 < A < B \hfill \cr 0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\)

TC6. (Quy tắc lũy thừa, khai căn)

Với \(A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\) ta có:

\( A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\)

\(A < B \Leftrightarrow \root n \of A < \root n \of B \).

3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Côsi)

Ta gọi \({{a + b} \over 2}\) là trung bình cộng của hai số \(a, b\).

Tổng quát trung bình cộng của n số \({a_1},{a_2},...,{a_n}\) là \({{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\)

Trung bình nhân của hai số không âm \(a ≥ 0, b ≥ 0\) là \(\sqrt {ab} \)

Trung bình nhân của n số không âm \({a_1} \ge 0,{a_2} \ge 0,...,{a_n} \ge 0\) là

\(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \)

Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:

\(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) \(∀a, b ≥ 0\).

Dấu \("="\) chỉ xảy ra khi \(a = b\).

Người ta cũng có:

\(\root 3 \of {abc} \le {{a + b + c} \over 3}\) \(∀a, b, c ≥ 0\).

\(\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \le {{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\) \(∀ {a_1},{a_2},...,{a_n} \ge 0\)

Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.

4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ta có các bất đẳng thức sau:

\(\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\) \(∀a, b ∈\mathbb R\)

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

Tài liệu gồm 174 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tóm tắt lý thuyết, phân loại và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức – bất phương trình, giúp học sinh lớp 10 tham khảo khi học chương trình Đại số 10 chương 4 (Toán 10).

BÀI 1. BẤT ĐẲNG THỨC. Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa và tính chất. + Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. + Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh. Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá tri lớn nhất, nhỏ nhất. + Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. + Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. + Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa. + Loại 4: Kĩ thuật Côsi ngược dấu. Dạng 3: Đặt ẩn phụ trong bất đẳng thức. Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ.

BÀI 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. Dạng 1. Điều kiện xác định của bất phương trình. Dạng 2. Cặp bất phương trình tương đương. Dạng 3. Bất phương trình bậc nhất một ẩn. Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.

BÀI 3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT. Dạng 1. Xét dấu nhị thức bậc nhất. Dạng 2. Bất phương trình tích. Dạng 3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 4. Bất phương trình chứa trị tuyệt đối.

BÀI 4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Dạng 3. Bài toán tối ưu.

BÀI 5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI. Dạng 1. Xét dấu của tam thức bậc hai áp dụng vào giải bất phương trình bậc hai đơn giản. Dạng 2. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích. Dạng 3. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập xác định của hàm số. Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai vô nghiệm – có nghiệm – có hai nghiệm phân biệt. Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước. Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng. Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai.

• Bất Đẳng Thức Và Cực Trị
• Phương Trình - Hệ Phương Trình - Bất Phương Trình

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]