ddDDFFHHCCAAEEMMBBOVũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPChuyên đề: MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH A/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:* Trong chương trình hình học lớp 9, có một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định. Những bài toán hình học chứng minh đi qua điểm cố định là những bài toán khó. Các bài toán dạng này thường được để bồi dưỡng thi học sinh giỏi. * Trong các bài toán chứng minh đi qua điểm cố định, dựa vào kiến thức của tứ giác nội tiếp đường tròn để giải.* Kiến thức về tứ giác nội tiếp đường tròn là kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 9. * Chuyên đề được sử dụng cho học sinh lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy vậy đối với học sinh khá cũng có thể tiếp cận và làm được.B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI:I/ CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐI QUA ĐIỂMCỐ ĐỊNH.+ Bước 1: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết.+ Bước 2: Xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định.+ Bước 3: Chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định.II/ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.Bài 1. Cho đường tròn [O] bán kính R và một đường thẳng d cắt [O] tại C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài đường tròn [O]. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB [A, B là tiếp điểm]. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định.Giải: Gọi H là trung điểm CD và giao điểm của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Có tam giác OBM vuông tại B, đường cao BESuy ra OE. OM = OB2 = R2 [1]Có 0FHM FEM 90= =Suy ra tứ giác MEHF nội tiếpCó hai tam giác vuông OHM và OEF đồng dạngSuy ra OH OM OE.OMOFOE OF OH= =� [2]Từ [1] và [2] suy ra 2ROFOH=Do đường tròn [O], đường thẳng d cho trước, nên OH không đổi. Suy ra OF không đổi, điểm F cố định.Do đó đường thẳng AB đi qua điểm F cố định.Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPTrang 1HO2O1ONFEDCBAMMOOPPQQIICCBBKKDDA* Nhận xét: + Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán AB cắt OH tại điểm cố định+ Vận dụng tứ giác nội tiếp để khẳng định đường thẳng đi qua 1 điểm cố định+ Vận dụng hệ thức luợng trong tam giác vuông để giải.+ Bài toán vẫn đúng trong trường hợp điểm M nằm trên tia đối của tia CD. Khi đó đường thẳng AB vẫn đi qua điểm F cố định. Bài 2. Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn [O] thay đổi luôn đi qua A và B. Gọi PQ là đường kính của đường tròn [O], PQ vuông góc AB, [P thuộc cung lớn AB]. Gọi CP cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn [O] thay đổi. Giải: Gọi IQ cắt AB tại K. Ta có tứ giác PDKI nội tiếp Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDPSuy ra CI CKCI.CP CD.CKCD CP= =� [1]Có hai tam giác CIB và CAP đồng dạngSuy ra CI CACI.CP CA.CBCB CP= =� [2]Từ [1] và [2] suy ra CK.CD CA.CB=CA.CBCKCD=�Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD không đổi [D là trung điểm AB]Khi đó độ dài CK không đổi; nên K cố định. Suy ra IQ luôn đi qua điểm K cố định.* Nhận xét:+ Do điểm A, B, C cố định, nên dự đoán đường thẳng IQ cắt AB tại điểm cố định+ Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng ta chứng minh đường thẳng đã cho đi qua 1 điểm cố định.Bài 3. Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó [AB không phải là đường kính]. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ kAB.Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt và không nằm trên đường tròn. Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F khác M 1] Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn. 2] Gọi O1, O2 tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF. Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO1 và BO2 luôn cắt nhau tại một điểm cố định.Giải: 1] Xét trường hợp C nằm giữa A và DCó C1MCB2=[sđ [MB +sđ sAE].]1MFE2=[sđ [MA + sđ AE] Mà sđ MMB = sđ MAMMMMCB MFE=Có CMCB = BCE = 1800 Suy ra SBCE+ +MFE = 1800 Có CBCE, ,MFE là 2 góc đối của tứ giác CDFE Trang 2Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPSSOODDCCOO22EEOO11BBASuy ra tứ giác CDFE nội tiếp * Xét trường hợp D nằm giữa A và C. Ta cũng chứng minh được C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn.Vậy C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn. 2] Hạ O1H⊥AC , có O1A = O1C C∆O1AC cân tại O1 O1H vừa là tia phân giác H1AO CAA1AO C = 2. 1AO HMà M1AO C = 2. AEC[góc ở tâm và góc nội tiếp.......][[1AO H = AEC. Mà .AEC = MAB[........] Suy ra [1AO H = MABXét ∆AO1H vuông tại H HH1AO H + 1HAO = 90000MAB + 1HAO = 900 1MAO = 900Do đó MA là tiếp tuyến của [O1]. Kéo dài AO1 cắt [O] tại NSuy ra SMON = 2. MAN = 2. 900 = 18000M, O, N thẳng hàng, có MN ⊥AB. Suy ra N là điểm chính giữa cung lớn AABLập luận tương tự BO2 đi qua N là điểm chính giữa cung lớn đAB.Do đó AO1, BO2 đi qua N là điểm chính giữa cung lớn AB.Lập luận tương tự D nằm giữa A và C thì AO1 và BO2 cũng đi qua N Vậy AO1 , BO2 luôn đi qua 1 điểm cố định .* Nhận xét: + Đường tròn [O] cho trước, nên dự đoán AO1 đi qua điểm chính giữa cung lớn AB+ Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm cố định, là điểm chính giữa của một cung.Bài 4. Cho tam giác ABC và điểm D di chuyển trên cạnh BC [D khác B và C]Đường tròn [O1] đi qua D và tiếp xúc AB tại B. Đường tròn [O2] đi qua D và tiếp xúc AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của [O1] và [O2]a] Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố địnhb] Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngoài đoạn BC.Giải: a] Gọi [O] là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCCó CCCCABC BED; ACB CED= =. Suy ra 0BAC BED CED BAC ABC ACB 180+ + = + + =Do đó tứ giác ABEC nội tiếp Gọi DE cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai S.Từ TTABC BED;=nên hai cung AC và SB bằng nhauDo đó S là điểm cố định.b] Trường hợp điểm D nằm ngoài đoạn BC.Chẳng hạn D nằm trên tia đối tia CB.[trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự]. Ta chứng minh được bốn điểmA, B, C, E cùng nằm trên đường tròn [O]. Gọi DE cắt [O] tại điểm thứ hai STrang 3Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HPyySSOODDCCOO22EEOO11BBAAxxCCHHIINNMMyyBBAKẻ tia Cy là tia đối của tia CA.Khi đó trong đường tròn [O2] ta có]] ]]CED DCy; DCy ACB= =Suy ra SSCED ACB= [không đổi]Suy ra SS0SEC 180 CED= -[không đổi]Nên góc SEC không đổiVậy điểm S cố định.* Nhận xét:+ Chứng minh được A, B, C, E cùng nằm trên đường tròn+ Đường thẳng DE đi qua điểm cố định Svà S không là điểm chính giữa của một cung khác với bài toán 3Bài 5. Cho góc vuông xAy, điểm B cố định trên Ay, điểm C di chuyển trên Ax. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.Giải:Gọi H là giao điểm của AI với MN.Từ CM = CN, nên tam giác CMNcân tại C. Suy ra SS01CNM 90 .C2= -Do đó DD01BNH 90 .C2= +Do I là giao điểm các đường phângiác trong của tam giác ABC,nên nn01BIA 90 .C2= +Do đó DDBIA BNH=. Suy ra tứ giác BIHN nội tiếp.Lại có L L0 0BNI 90 BHI 90= =�. Do đó tam giác ABH vuông tại H,lại có l0BAH 45=. Suy ra tam giác ABH vuông cân tại HDo A, B cố định, nên điểm H cố định.Vậy MN luôn đi qua điểm H cố định.* Nhận xét:+ Chứng minh tứ giác BIHN nội tiếp, dựa vào tứ giác nội tiếp để chứng minh MN đi qua điểm cố định+ Trường hợp tổng quát +xAy = a thì tam giác ABH vuông tại H, AB cho trước, BAH2a=. Suy ra điểm H cố định.Bài 6. Cho đường tròn tâm O, dây AB. Điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Các đường cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA, MB theo thứ tự ở C, D. a] Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.Trang 4Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP11xxHHFFEEDDCCKKBBOOAAMM11111111IIOONNDDHHMMCCKKEEFFBBAb] Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H và vuông góc với CD cũng đi qua một điểm cố định.Giải: a] Kẻ tiếp tuyến Mx với đường tròn [O]Ta có TT1M MAB= [góc nội tiếp và góc tạo bởi…]Có tứ giác ABEF nội tiếp đường trònđường kính AB, nên đđMEF MAB=Do đó DD1MEF M=, suy ra Mx//EF.Do đó OM^EFTa có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác MCD, HE ^ MD, nên E là trung điểm MDTương tự F là trung điểm MCSuy ra EF là đường trung bình tam giác MCDDo đó EF//CD, mà OM^EFSuy ra OM^ CD. Do đó điểm cố định là O.b] Gọi K là điểm đối xứng với O qua AB, ta có OK^AB, mà MH^ AB. Suy ra MH//OK. Lại có trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Do đó MH = OKVậy tứ giác MHKO là hình bình hành. Suy ra HK//OM, mà OM^ CD, nên HK^CD. Vậy đường thẳng kẻ từ H vuông góc CD đi qua điểm K.Do O, AB cho trước, nên K là điểm cố định.* Nhận xét:+ Trong phần a] dựa vào tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn, dự đoán đường thẳng đã cho đi qua điểm O cố định.+ Trong phần b] dựa vào tính chất trong tam giác khoảng cách từ trực tâm tam giác đến đỉnh bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh tương ứng. Bài 7. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì thuộc đường tròn [O] ngoại tiếp tam giác ấy. Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua BC. Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên đường tròn [O] thì DE luôn đi qua một điểm cố định. Giải:Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đườngvuông góc kẻ từ M đến AB, AC, BCTa có H, I, K thẳng hàng [đường thẳng Xim- xơn].Gọi N là trực tâm của tam giác ABC.AN cắt [O] tại F. Ta có AABCN BCF=, suy ra BC là trung trực NF, mà BC là trung trựccủa ME. Suy ra ...1 1E F N= =Có CC1 1F C=[góc nội tiếp]. Có [[1 1K C=[tứ giác MCKI nội tiếp]Suy ra SS1K E=, do đó NE//HKChứng minh tương tự có ND//HKTrang 5Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP
Ôn tập: Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định
Bài toán “Đường đi qua điểm cố định” đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định cộng với sự đầu tư suy nghĩ, tìm tòi nhưng đặc biệt phải có phương pháp làm bài.
Tìm hiểu nội dung bài toán
Dự đoán điểm cố định
Tìm tòi hướng giải
Trình bày lời giải
Tìm hiểu bài toán:
- Yếu tố cố định [điểm, đường…]
- Yếu tố chuyển động [điểm, đường…]
- Yếu tố không đổi [độ dài đoạn, độ lớn góc…]
- Quan hệ không đổi [Song song, vuông góc, thẳng hàng…]
Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng. Nó định hướng cho các thao tác tiếp theo. Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt. Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể đưa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìmhiểu tốt nội dung bài toán. Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó.
Dự đoán điểm cố định:
Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định. Thông thường ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác như tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng… để dự đoán điểm cố định.
Tìm tòi hướng giải
Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi. Thông thường để chứng tỏ một điểm là cố định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đường cố định, thuộc một đường cố định và thoả mãn một điều kiện [thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đường tròn và là mút của một cung không đổi …] thông thường lời giải của một bài toán thường được cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta thường có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
MỘT VÀI VÍ DỤ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH:
Ôn tập: Tính góc
Ôn tập: Chứng minh hệ thức hình học
Ôn tập: Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Ôn tập: Chứng minh hai đường thẳng song song
Ôn tập: Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Ôn tập: Phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Ôn tập: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng