Giải bất phương trình \[{\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^{x - 1}} \ge {\left[ {\sqrt 5 - 2} \right]^{ - {x^2} + 3}}.\]
Lời giải:
Ta có: \[\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]\left[ {\sqrt 5 - 2} \right] = 1 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 2 = \frac{1}{{\sqrt 5 + 2}} = {\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^{ - 1}}\]
Vậy: \[{\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^{x - 1}} \ge {\left[ {\sqrt 5 - 2} \right]^{ - {x^2} + 3}}\] \[\Leftrightarrow {\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^{x - 1}} \ge {\left[ {\sqrt 5 + 2} \right]^{{x^2} - 3}} \Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - 3\]
\[\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2\]
Vậy BPT có tập nghiệm \[S = \left[ { - 1;2} \right]\]
Ví dụ 2:
Giải bất phương trình \[{2^{{x^2} - 4}} \ge {5^{x - 2}}.\]
Lời giải:
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của bất phương trình đã cho ta có:
\[{\log _2}\left[ {{2^{{x^2} - 4}}} \right] \ge {\log _2}\left[ {{5^{x - 2}}} \right] \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge \left[ {x - 2} \right]{\log _2}5\]
\[\Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2 - {{\log }_2}5} \right] \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \ge 2\\ x \le {\log _2}5 - 2 \end{array} \right.\]
Vậy BPT có tập nghiệm \[S = \left[ { - \infty ;{{\log }_2}5 - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right].\]
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình \[{{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0\].
Lời giải:
\[{{\rm{3}}^{{\rm{2x + 1}}}} - {10.3^x} + 3 \le 0{\rm{ }}\] \[\Leftrightarrow 3.{\left[ {{3^x}} \right]^2} - {10.3^x} + 3 \le 0\][1]
Đặt \[t = {3^x} > 0\].
Ta có: [1] \[\Leftrightarrow 3{t^2} - 10t + 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le t \le 3\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{3} \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow {3^{ - 1}} \le {3^x} \le {3^1} \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\]
Vậy bất phương trình có nghiệm: \[S = \left[ { - 1;1} \right].\]
Ví dụ 4:
Giải bất phương trình \[{3^x} + {4^x} > {5^x}.\]
Lời giải:
Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
\[{3^x} + {4^x} > {5^x} \Leftrightarrow {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x} > 1.\]
Xét hàm số: \[f[x] = {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x} + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x},\] TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]
\[f'[x] = {\left[ {\frac{3}{5}} \right]^x}.\ln \left[ {\frac{3}{5}} \right] + {\left[ {\frac{4}{5}} \right]^x}.\ln \left[ {\frac{4}{5}} \right] < 0,\forall x \in\mathbb{R}\]
Suy ra hàm số f[x] nghịch biến trên R.
Mặt khác: \[f[2] = 1 \Rightarrow f[x] > 1 \Leftrightarrow x < 2\]
Vậy BPT có tập nghiệm là \[S = \left[ { - \infty ;2} \right].\]
2. Bất phương trình lôgarit
Ví dụ 5:
Giải bất phương trình \[{\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right] \le 2 - {\log _2}5.\]
Lời giải:
\[{\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right] \le 2 - {\log _2}5 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right] \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{1}{4} + {\log _{\frac{1}{2}}}5\]
\[\Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}\left[ {{x^2} - x - \frac{3}{4}} \right] \le {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{5}{4}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x - \frac{3}{4} \ge \frac{5}{4} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x \le - 1\\ x \ge 2 \end{array} \right. \end{array}\]
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \[S = \left[ { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right]\].
Ví dụ 6:
Giải bất phương trình \[{\log _2}\left[ {1 - {{\log }_9}x} \right] < 1.\]
Lời giải:
Điều kiện: \[\left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ 1 - 2{\log _9}x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 > x > 0\]
Khi đó: \[{\log _2}[1 - 2{\log _9}x] < 1 \Leftrightarrow 1 - 2{\log _9}x < 2 \Leftrightarrow {\log _9}x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}\]
Kết hợp với điều kiện ta được \[S = \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\] là tập nghiệm của bất phương trình.
Ví dụ 7:
Giải bất phương trình \[\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0.\]
Lời giải:
Đặt \[t = {\log _2}x,\] khi đó phương trình trở thành:
\[\begin{array}{l} {t^2} - 5t - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow [t + 1][t - 6] \le 0\\ \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6 \end{array}\]
Do đó ta có:
\[\begin{array}{l} - 1 \le {\log _2}x \le 6\\ \Rightarrow {\log _2}\frac{1}{2} \le {\log _2}x \le {\log _2}64\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64 \end{array}\]
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \[S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right].\]
Ví dụ 8:
Giải bất phương trình \[x + {\log _3}\left[ {x + 1} \right] > 3.\]
Lời giải:
ĐK: \[x>1\]
Xét hàm số \[f[x] = x + {\log _3}[x + 1]\] trên \[\left[ { - 1; + \infty } \right].\]
Ta có \[f'[x] = 1 + \frac{1}{{[x + 1]\ln 3}} > 0\]
\[\Rightarrow f[x]\] đồng biến trên \[\left[ { - 1; + \infty } \right].\]
Mặt khác \[f[2] = 3\]
Do đó: \[f[x] > 3 \Rightarrow f[x] > f[2] \Rightarrow x > 2\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[S = \left[ {2; + \infty } \right].\]
Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit là 2 lý thuyết cơ bản mà các em cần nắm vững vì các kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi đại học. Vậy cụ thể bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit lý thuyết gồm những gì và các dạng bài tập nào? Các em hãy cùng Marathon Education tìm hiểu ngay trong bài viết sau.
>>> Xem thêm: Dạng Bài Tập Và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10
Bất phương trình mũ và lôgarit lý thuyết
Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ có dạng cơ bản là ax > b [hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b]. Trong đó a, b là 2 số đã cho, với a > 0 và a ≠ 1.
Các em sẽ giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa và sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Ta xét bất phương trình dạng ax > b như sau:
- Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì ax > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.
- Nếu b > 0 thì bất phương trình sẽ tương đương với ax > alogab.
- Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > logab.
- Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < logab.
Bất phương trình lôgarit cơ bản
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng là logax > b [hoặc logax < b; logax ≥ b; logax ≤ b]. Trong đó ta có a, b là hai số đã cho và a > 0, a ≠ 1.
Ta giải bất phương trình lôgarit cơ bản theo cách mũ hóa dựa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Ta xét bất phương trình logax > b theo 2 trường hợp như sau:
- a > 1, ta có logax > b ⇔ x > ab
- 0 < a < 1, ta có logax > b ⇔ 0 < x < ab
Công Thức Tính Nguyên Hàm e Mũ u Và Các Hàm Số Đơn Giản
Lưu ý: Các bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit cơ bản trong trường hợp b = ax và b = logaa thì có thể sử dụng được tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải. Các em không cần mũ hóa hay lôgarit hóa.
- Nếu a > 1 thì ax > aa ⇔ x > a.
- Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaa ⇔ 0 < x < a.
>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất
Cách giải bài tập về bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
Sau khi tìm hiểu về lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố kiến thức hơn.
Cách giải bất phương trình mũ
- Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
a^{f[x]}>a^{g[x]} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a 1 \\ f[x]> g[x] \end{cases} \end{array} \right.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2-x2+3x < 4
\begin{aligned} &2^{-x^2+3x} 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\ & \text{Vậy S = }[-∞; 1] ∪ [2; +∞]. \end{aligned}
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:
\left[\frac79\right]^{2x^2-3x} \ge \frac79
\begin{aligned} &\left[\frac79\right]^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left[\frac79\right]^{2x^2-3x} \ge \left[\frac79\right]^1 \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\ &\text{Vậy S = }[12 ;1]. \end{aligned}
- Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
αa2f[x] + βaf[x] + λ = 0. Đặt t = af[x], [t > 0].
Ví dụ: Giải bất phương trình 4x – 3.2x + 2 > 0.
Đặt t = 2x [t > 0 ], ta được bất phương trình:
t2 – 3t + 2 > 0 ⇔ 0 < t < 1 hoặc t > 2 ⇔ 0 < 2x < 1 hoặc 2x > 2 ⇔ x < 0 hoặc x > 1.
Vậy S = [-∞; 0] Ս [1; +∞].
- Dạng 3: Phương pháp lôgarit hóa
\begin{aligned} &a^{f[x]}>b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a 1 \\ f[x]> log_ab \end{cases} \end{array} \right.\\ &a^{f[x]}>b^{g[x]} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a 1 \\ f[x]> g[x].log_ab \end{cases} \end{array} \right. \end{aligned}
Ví dụ: Giải bất phương trình 2x-1 > 3
2x-1 > 3 ⇔ log22x-1 > log23 ⇔ x – 1 > log23 ⇔ x > log23 + 1 ⇔ x > log26
Vậy S = [log26; +∞].
Cách giải bất phương trình lôgarit
- Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
log_af[x]>log_ag[x] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \begin{cases} 0< a 1 \\ f[x]> g[x] \end{cases} \end{array} \right.\\
Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log8[4 – 2x] ≥ 2.
Giải Bất Phương Trình Chứa Dấu Giá Trị Tuyệt Đối
log8[4 – 2x] ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 82 ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30.
Vậy S = [-∞; -30]
Ví dụ 2: Giải bất phương trình log0,5[3x – 5] > log0,5 [x + 1].
\begin{aligned} &log_{0,5}[3x - 5] > log_{0,5} [x + 1] \\ ⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ xlog_54\\ ⇔\ &log_5[5x - 4 ] = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\ ⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\ &\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1 \end{aligned}
Giải bài tập sách giáo khoa
Bài 6 trang 87 SGK Toán Giải tích 12
\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0
\begin{aligned} &\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\ & t+\frac{1}{t}-3