Trung tâm Gia sư Nhân Tài xin giới thiệu chuyên đề bài giảng về phương pháp giải bài tập Giới hạn Vô định – Dạng \[ \infty -\infty \]. Kính mời các thầy cô và các em học sinh gân xa cùng đọc!
Phụ huynh – Học sinh có nhu cầu cần tìm gia sư dạy kèm toán lớp 11, vui lòng liên hệ: 094.625.1920 – Thầy Nhân [Zalo].
Giới hạn của hàm số – Các dạng giới hạn vô định: [Dạng \[ \infty -\infty \]]
Dạng tổng quát của dạng này là:
\[ \underset{\begin{smallmatrix} x\to \infty \\ \left[ x\to {{x}_{O}} \right]\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f[x]-g[x] \right] \] trong đó \[ \underset{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\\left[ x\to {{x}_{O}} \right]\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=\underset{\begin{smallmatrix} x\to \infty \\ \left[ x\to {{x}_{O}} \right]\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=\infty \]
Phương pháp: biến đổi chúng về dạng vô định \[ \frac{0}{0} \], \[ \frac{\infty }{\infty } \]bằng cách biến đổi, nhân liên hợp, thêm bớt, ….
Hằng đẳng thức | Liên hợp với a – b | Liên hợp với a + b |
\[ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left[ a-b \right]\left[ a+b \right] \] \[ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left[ a-b \right]\left[ {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\right]\] \[ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left[ a+b \right]\left[ {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right] \] | a + b | a – b |
\[ {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \] | \[ {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \] | |
A liên hợp với B thì B liên hợp với A |
Ví dụ 1. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right]\ \]
Phân tích: \[ \sqrt{{{\left[ +\infty \right]}^{2}}}-\sqrt{{{\left[ +\infty \right]}^{2}}}=\infty -\infty \] [ Dạng \[ \infty -\infty \]]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left[ a-b \right]\left[ a+b \right] \], ta có liên hợp:
\[ \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{\left[ \sqrt{A}-\sqrt{B} \right]\left[ \sqrt{A}+\sqrt{B} \right]}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right] \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ {{x}^{2}}-x+1 \right]-\left[ {{x}^{2}}+4x+1 \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1-{{x}^{2}}-4x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5x}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5x}{x\left[ \sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{-5}{\sqrt{1-0+0}+\sqrt{1+0+0}}=-\frac{5}{2} \\ \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right]=-\frac{5}{2} \]
Ví dụ 2. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right]\]
Phân tích: \[ 2\left[ +\infty \right]-\sqrt{4{{\left[ +\infty \right]}^{2}}}=\infty -\infty \] [Dạng \[ \infty -\infty \]]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left[ a-b \right]\left[ a+b \right] \], ta có:
Liên hợp \[ A-\sqrt{B}=\frac{\left[ A-\sqrt{B} \right]\left[ A+\sqrt{B} \right]}{A+\sqrt{B}}=\frac{{{A}^{2}}-B}{A+\sqrt{B}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right]\left[ 2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right]}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left[ 2x-1 \right]}^{2}}-{{\left[ \sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right]}^{2}}}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left[ 2x-1 \right]}^{2}}-\left[ 4{{x}^{2}}-4x-3 \right]}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}-4x+1-4{{x}^{2}}+4x+3}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x.\frac{4}{x}}{x\left[ 2-\frac{1}{x}+\sqrt{4-\frac{4}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}} \right]}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{4}{x}}{2-\frac{1}{x}+\sqrt{4-\frac{4}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}}} \\=\frac{0}{2-0+\sqrt{4-0-0}}=0 \\ \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right]=0\]
Ví dụ 3. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right]\]
Phân tích: nếu nhân phân phối \[ x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\left[ +\infty \right]\sqrt{{{\left[ +\infty \right]}^{2}}}-\left[ +\infty \right]\sqrt{{{\left[ +\infty \right]}^{2}}}=\infty -\infty \] [Dạng \[ \infty -\infty \]]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left[ a-b \right]\left[ a+b \right] \], ta có liên hợp:
\[ \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{\left[ \sqrt{A}-\sqrt{B} \right]\left[ \sqrt{A}+\sqrt{B} \right]}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left[ {{x}^{2}}+1 \right]-\left[ {{x}^{2}}-2 \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x}{x\left[ \sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\frac{3}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac{3}{2} \\ \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right]=\frac{3}{2} \]
Ví dụ 4. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right] \]
Hướng dẫn: tương tự nhân và chia biểu thức liên hợp tương ứng là: \[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \], ta được:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ {{x}^{2}}+x \right]-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x} \]
Vì \[ x\to +\infty \]nên chia cả tử và mẫu cho x ta được:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left[ \sqrt{1+\frac{1}{x}}+1 \right]} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \]
Vậy: \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right]=\frac{1}{2} \]
Ví dụ 5. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right] \]
Hướng dẫn giải: Nhân và chia cho biểu thức liên hợp \[ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right]\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right]}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ x+\sqrt{x} \right]-x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left[ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1 \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right]=\frac{1}{2} \]
Ví dụ 6. Tính \[ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right] \]
Trong ví dụ này cần lưu ý khi \[ x\to \infty \]cần xét hai trường hợp \[ x\to +\infty \]và \[ x\to -\infty \].
+ Khi \[ x\to +\infty \] thì:
\[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}x\to +\infty \Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x\to +\infty \]
Do đó, \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=+\infty \]
+ Khi \[ x\to -\infty \]thì:
\[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}x\to +\infty \Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x=\infty -\infty \\\]
\[ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ {{x}^{2}}-x+3 \right]-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left[ -1+\frac{3}{x} \right]}{\left| x \right|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-x} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left[ -1+\frac{3}{x} \right]}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left[ -1+\frac{3}{x} \right]}{x\left[ -\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-1 \right]} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-1}=\frac{-1+0}{-\sqrt{1-0+0}-1}=\frac{1}{2} \]
Chú ý: \[ \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right| \] mà \[ x\to -\infty \Rightarrow \left| x \right|=-x \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=+\ \]infty và \[ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=\frac{1}{2} \]
Ví dụ 7. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]\]
Phân tích: \[ \sqrt[3]{{{\left[ +\infty \right]}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left[ +\infty \right]}^{3}}}=\infty -\infty \]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left[ a-b \right]\left[ {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right] \], ta có liên hợp:
\[ \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\frac{\left[ \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B} \right]\left[ {{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}} \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}}}=\frac{A-B}{{{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]\left[ {{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]}^{2}} \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ {{x}^{3}}+5{{x}^{2}} \right]-\left[ {{x}^{3}}+8x \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}-8x}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{2}}-8x}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left[ 5-\frac{8}{x} \right]}{{{x}^{2}}\left[ {{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{5}{x}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{5}{x}}.\sqrt[3]{1+\frac{8}{x}}+{{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{8}{x}} \right]}^{2}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5-\frac{8}{x}}{{{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{5}{x}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{5}{x}}.\sqrt[3]{1+\frac{8}{x}}+{{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{8}{x}} \right]}^{2}}} \\=\frac{5-0}{{{\left[ \sqrt[3]{1+0} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}.\sqrt[3]{1+0}+{{\left[ \sqrt[3]{1+0} \right]}^{2}}}=\frac{5}{3} \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right]=\frac{5}{3}\]
Ví dụ 8. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right] \]
Phân tích: \[ \left[ +\infty \right]+\sqrt[3]{-{{\left[ +\infty \right]}^{3}}}=\infty -\infty \]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left[ a+b \right]\left[ {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right] \], ta có liên hợp:
\[ A+\sqrt[3]{B}=\frac{\left[ A+\sqrt[3]{B} \right]\left[ {{\left[ A \right]}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}} \right]}{{{\left[ A \right]}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}}}=\frac{{{A}^{3}}+B}{{{\left[ A \right]}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left[ \sqrt[3]{B} \right]}^{2}}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]\left[ {{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left[ \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]}^{2}} \right]}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left[ \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+\left[ 3{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right]}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left[ \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left[ \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ 1-\sqrt[3]{\frac{3}{x}-1}+{{\left[ \sqrt[3]{\frac{3}{x}-1} \right]}^{2}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{1-\sqrt[3]{\frac{3}{x}-1}+{{\left[ \sqrt[3]{\frac{3}{x}-1} \right]}^{2}}}=\frac{3}{1-\sqrt[3]{0-1}+{{\left[ \sqrt[3]{0-1} \right]}^{2}}}=1 \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right]=1 \]
Ví dụ 9.Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right] \]
Phân tích: Nếu nhân phân phối vào thì \[ {{x}^{2}}.\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right]={{x}^{2}}\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-{{x}^{3}}={{\left[ +\infty \right]}^{2}}\sqrt[3]{{{\left[ +\infty \right]}^{3}}}-{{\left[ +\infty \right]}^{3}}=\infty -\infty \]
Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \[ {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left[ a-b \right]\left[ {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right] \], ta có liên hợp:
\[ \sqrt[3]{A}-B=\frac{\left[ \sqrt[3]{A}-B \right]\left[ {{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left[ B \right]}^{2}} \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left[ B \right]}^{2}}}=\frac{A-{{B}^{3}}}{{{\left[ \sqrt[3]{A} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left[ B \right]}^{2}}} \]
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right]\left[ {{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}} \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{\left[ {{x}^{3}}+1 \right]-{{x}^{3}}}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{1}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ {{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}+1 \right]}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}+1} \\ =\frac{1}{{{\left[ \sqrt[3]{1+0} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+1}=\frac{1}{3}\]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right]=\frac{1}{3} \]
Ví dụ 10. Tính \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]\]
Hướng dẫn:
Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp
Giải chi tiết:
\[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]-\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}}-x \right] \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right]={{L}_{1}}-{{L}_{2}} \\ +]\text{ }{{L}_{1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]\left[ {{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}} \right]}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ {{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1 \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{{{\left[ \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1}=\frac{3}{{{\left[ \sqrt[3]{1+0} \right]}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+1}=1 \\+]\text{ }{{L}_{2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right]\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x}{x\left[ \sqrt{1-\frac{2}{x}}+1 \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1}=\frac{-2}{\sqrt{1-0}+1}=-1 \]
Vậy \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]={{L}_{1}}-{{L}_{2}}=1+1=2 \]
Bài tập luyện tập:
1. \[ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}+3x-2} \right] \] [Đs: \[ -\frac{3}{4} \]]
2. \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{9{{x}^{2}}-3x-1}-3x \right] \] [Đs: \[ \frac{1}{2} \]]
3. \[ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\sqrt{3}+\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-1} \right] \] [Đs: \[ \frac{-2}{\sqrt{3}} \]]
4. \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-x+1 \right] \] [Đs: 0]
5. \[ \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x}-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right] \] [Đs: \[ -\frac{1}{6} \]]
6. \[ \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}-3} \right] \] [Đs: 0]