Khóa học "Tuyệt chiêu vẽ hình phụ giúp đạt điểm tối đa Hình học 9" do thầy Nguyễn Mạnh Cường giảng dạy không những giúp học sinh rèn luyện phương pháp, kĩ năng để vẽ thêm các hình phụ mà còn giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học từ đó "ắm trọn" điểm số hình học lớp 9.
Tham gia khóa học ngay hôm nay nhé!
- Học sinh cần nghiêm túc, tự giác và chủ động khi học các video bài giảng.
- Làm bài tập tự luyện sau mỗi bài giảng.
- Học sinh phát triển được tư duy, nhất là tư duy hình học.
- Rèn luyện được các kĩ năng để vẽ thêm hình phụ giải quyết các bài toán hình học trong đề thi.
- Học sinh lớp 9 đang ôn tập thi vào 10.
- Học sinh đã có tư duy hình học cơ bản, học lực từ khá trở lên.
- Học sinh lớp 6,7,8 có thể tham khảo khóa học này.
===================================================================I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG1. LÝ DO VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.1.1- Cơ sở lý luận:Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khóđối với với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầuhọc sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kỹ năng giải toánnhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tườngminh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho [giả thiết] với điều kiện cầnphải tìm [kết luận] đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, sosánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, Hay nói cách khác giải một bài toán phải kẻ thêmđường phụ là một sáng tạo nhỏ. Kẻ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặtphương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kỹ năng, thể hiện các tình huống hìnhhọc phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là quy lạ về quen. Ở đókhoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó việc học tốtcác bài toán hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việcphát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.1.2- Cơ sở thực tiễn:Giải bài toán hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều các thaotác tư duy. Vì vậy đòi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình học thuật pháttriển. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụngviệc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa [SGK] rất ít đề cập đến, việc làm các ví dụ vềbài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại toán dạng này. Tuy nhiên trong các bàitập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các bài tập nâng cao thìcác bài toán khó và hay lại là những bài toán khi giải cần phải kẻ thêm đường phụ.Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rấtnhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giảibài toán có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh còn rất ít. Còn đối với đa số học sinhviệc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về=================================================================== 1===================================================================một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũngrất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn.Vì vậy với trình bày của đề tài này sẽ là một nội dung tham khảo cho giáo viênđể góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại toán hình có kẻ thêmđường phụ.2. MỤC ĐÍCH VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:Việc gợi mở lại cho học sinh các nội dung kiến thức về giải bài toán có kẻthêm đường phụ là rất cần thiết, trên cơ sở đó giáo viên sẽ cung cấp đầy đủ các kiếnthức này cho học sinh. Với việc phân dạng được các bài toán hình mà lời giải có sửdụng đường phụ, đồng thời đi sâu vào hướng dẫn một số bài toán cụ thể là tạo điềukiện để học sinh bổ sung cho mình về trình độ kiến thức, là góp phần gợi về phươngpháp giải các bài toán này một cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp của việc kẻ thêmđường phụ.II. NỘI DUNGA. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH.1. ĐIỀU TRA:Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này đã tiến hành điều tra về hiểu và cókỹ năng giải bài toán hình có lời giải vẽ thêm đường phụ đối với học sinh như sau:- Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 7A, 8A trường THCS Liên Mạc A, năm học2010-2011.- Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 15/09/2010.- Tổng số học sinh được điều tra: 78 em.=================================================================== 2===================================================================- Thống kê điều tra như sau:01. Số học sinh nắm được sơ lược các loại đường phụ thường sử dụng trong giảiToán THCS có: 39 em chiếm 50 %02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường sử dụng tronggiải toán THCS có: 29 em chiếm 37,2%.03. - Số học sinh dựng được các đường kẻ phụ hợp lý và giải được một số bàitoán trong chương trình toán lớp 7, 8 gồm có: 20 em chiếm 25,6%.04. Số học sinh lúng túng, chưa giải quyết được các bài toán hình học có vẽthêm đường phụ trong giải Toán THCS có: 39 em chiếm 50 %05. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bàitoán tương đối khó : 0 em chiếm 0% 2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN:Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy được và nắm vững các yêu cầu khivẽ [dựng] các đường phụ.2.1. Các yêu cầu khi vẽ các đường phụ.01- Vẽ đường phụ phải có mục đích:Đường kẻ phụ, phải giúp cho được việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nóphải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, mày mò dự đoán theo mộtmục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đãcho của bài toán và kết luận phải tìm. Do đó không được vẽ đường phụ một cách tuỳtiện [cho dù là mày mò, dự đoán] vì nếu đường phụ không giúp ích gì cho việc chứngminh thì nó sẽ làm cho mình vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng. Vìvậy khi vẽ đường phụ phải luôn tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ này có đạt được mụcđích mình muốn không?". Nếu "không" nên loại bỏ ngay.=================================================================== 3===================================================================02- Đường phụ phải là những đường có trong phép dựng hình và phải xácđịnh được.03. Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn các tính chất nào đó, việc lựa chọn đường phụ làrất quan trọng. Tuy cùng là một đường phụ vẽ thêm nhưng do các cách dựng khácnhau nên dẫn đến cách chứng minh cũng khác nhau.04. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình ởchương trình THCS.a] Đường phụ là điểm: Vẽ điểm chia trong hay chia ngoài một đoạn thẳng cho trước theo một tỷ sốthích hợp.Xác định giao điểm của các đường thẳng hoặc đường thẳng với đường tròn.b] Đường phụ là đường thẳng, đoạn thẳng: - Kéo dài một đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định. - Từ một điểm cho trước dựng đường song song với một đường thẳng đã xác định.- Từ một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng xácđịnh. - Dựng đường phân giác của một góc cho trước.Dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khácmột góc bằng góc cho trước.- Từ một điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước.- Hai đường tròn giao nhau thì dựng được dây cung chung.=================================================================== 4=================================================================== - Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì ta có thể kẻ được tiếp tuyến chung hoặc đường nối tâm.Vẽ tia đối của một tia Dựng các đường đặc biệt trong tam giác [Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao]c] Đường phụ là đường tròn:- Vẽ thêm các đường tròn hoặc cung chứa góc dựa trên các điểm đã có - Vẽ đường tròn tiếp xúc với một đường tròn hoặc đường thẳng đã có - Vẽ đường tròn nội hoặc ngoại tiếp đa giácTrên cơ sở, các yêu cầu về vẽ [dựng] các đường phụ, giáo viên cần phân dạngđược các bài toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.2.2 Các cơ sở để xác định đường phụ:Ta có thể đưa dựa trên các cơ sở sau để xác định đường phụ sẽ vễ là đường gì?và vẽ từ đâu?01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tínhchất các hình để giải quyết bài toán.02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các tình huống phù hợp với một định lý đểgiải quyết bài toán.03- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quanhệ để giải quyết bài toán.04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.05. Kẻ thêm các đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành các mệnh đề tươngđương để giải quyết bài toán.2.3 Các biện pháp phân tích tìm ra cách vẽ đường phụ:=================================================================== 5===================================================================01. Dựa vào các bài toán đã biết:Dựa vào các bài toán quen thuộc, các định lý và tính chất đã học, học sinhnghiên cứu giả thiết và kết luận của bài toán, tìm ra các điểm tương đồng rồi từ đó vẽđường phụ thích hợp để đưa bài toán cần giải quyết về bài toán quen thuộc.Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC đáy BC. Lấy trên AB kéo dài một đoạnBD = AB. Gọi CE là trung tuyến của tam giác ABC. CMR: CE = CD.Ta chỉ phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ.Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm của CD. Muốn chứng tỏ một đoạn thẳng bằng nửa đoạn thẳng khác thì một trong cáccách làm cơ bản là chia đôi đoan thẳng kia và chuyển về bài toán chứng minh hai đoạnthẳng bằng nhau. Gọi M là trung điểm của CD ta có CM = MD, vậy ta phải chứng minh CE=CM hoặc CE = DM. Chọn CE = CM. Từ sự phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy ra nếu chứng minh được:∆ EBC = ∆ MBC thì ta có được CE = CM là điều phải chứng minh. Đến đây điều cần chứng minh đã rõ ràng phải chứng minh ∆ EBC = ∆ MBC, hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp c.g.cViệc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào sự phân tích trên, ta có thể đưa ra cho học sinh những câu hỏi gợi mở, chẳng hạn:=================================================================== 6ACMDBE===================================================================- Với M là trung điểm của CD, em nào cho biết CE và CM là các cạnh của tamgiác nào?- Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ nào và chứng minhđiều gì?- Hoặc với học sinh khá, giỏi ta có thể hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì?Ví dụ 2: Bài tập 38 SGK lớp 7 tập 2 trang 73 Cho hình vẽ.a. Tính góc KOLb. Kẻ IO, hãy tính góc KIOc. Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Tại sao?Đứng trước bài toán này tôi hướng dẫn học sinh như sau:Đọc kĩ đề bài và quan sát hình vẽ thì với câu c, nhận định điểm O là giao điểmcủa 2 đường phân giác góc B và góc CNên có 2 cách giải câu a] khác nhau sau:Cách 1: Tính góc KOL dựa vào tam giác KOLGóc 0180 [ ]KOL OKL OLK∠ = − + nhưng KO, LO lần lượt là tia phân giác góc B,góc C nên 0 01180 [ ] 180 [ ]2KOL OKL OLK B C∠ = − + = − ∠ + ∠ 0 0 0 0 0 01 1 1180 [180 ] 90 90 62 1212 2 2A A= − − ∠ = + ∠ = + =Cách 2: Căn cứ vào nhận định O là giao điểm của 2 tia phân giác góc B và góc C nênta kẻ tia IO cắt KL tại D Khi đó dựa vào góc ngoài của 2 tam giác KOI và tam giácLOI=================================================================== 7620LIKOD===================================================================12KOD OKI KIO IKL KOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠12LOD OLI LIO ILK LOI∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠[ ]KOL DOK DOL OKI OLI OIK OIL∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ + ∠0 01 1 1[ ] [180 ] 902 2 2KOL K L I I I I∠ = ∠ + + ∠ = − ∠ + ∠ = + ∠0 0 090 31 121KOL∠ = + =Nội dung ở đây tôi đề cập đến vấn đề kẻ đường phụ IOKhai thác thêm a, Nếu quay OI thành qua O kẻ đường thẳng song song với KL cắt IK tại E cắtIL tại FChứng minh rằng EF = KE + LFb, Hoặc gợi mở điểm O nằm trong tam giác thì 01902KOL I∠ = + ∠ còn đúngnữa không?Việc còn lại học sinh đi giải tiếp câu b, câu c Ví dụ 2: Định lí Trong tam giác đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành haiđoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.[Sách giáo khoa – Toán 8 tập 2]ở SGK người ta chứng minh bằng cách từ B kẻ đường thẳng song song với ACcắt AD tại E.=================================================================== 8===================================================================Lúc đó áp dụng dịnh lí Talet thì BE BD= [1]AC DC và chứng minh tam giác ABE cân tại B để có AB = AE[2]Từ [1] và [2] suy ra điều phải chứng minh.Mổ xẻCâu hỏi đặt ra ở đây cho học sinh là tại sao lại “đột ngột” kẻ như vậy?Nếu không kẻ thì có chứng minh được không?- Mấu chốt cách chứng minh định lí là gì?Câu trả lời mong đợi: - Sử dụng định lí Talet [để có tỉ số bằng nhau] và tạo được hai đoạn thẳng bằng nhau [dựa vào tam giác cân]Tôi tự hỏi và cùng đưa ra cho học sinh cùng tháo gỡLiệu có cách kẻ khác mà vẫn chứng minh được định lí không?Có rất nhiều ý kiến Thế là bài học của tôi rất hấp dẫn học sinh vô cùng háo hức sôi nổi hơn cả sự mongđợi của tôi.Kết quả là chỉ sau một thời gian thầy trò tôi có được 9 đến 10 cách giải khác nhau ứngvới các cách kẻ của hình vẽ.Cách 2: Từ B kẻ BE sao cho góc ABE = góc ACBĐể ~AEB ADC∆ ∆ suy ra tỉ số và BED∆cân tại B Cách 3: Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC tại E=================================================================== 9BDCE DBACEHình 1===================================================================- Khi đó phải chứng minh được Tam giác ABE cân tại A- Khi BE//AD vận dụng định lí Te létCách 4: Từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc với AD.- Dựa vào tam giác đồng dạng: DBE và DCF- Dựa vào tam giác đồng dạng: AEB và AFCCách 5: Dựa vào diện tích Từ D kẻ DH AB vµ DK AC⊥ ⊥ khi đó ABDACDSBD ABS DC AC= =Cách 6: Từ D kẻ DE, DF lần lượt song song với AC và AB Cách 7: Từ A và D lần lượt kẻ Ax//BC và Dy//AB chúng cắt nhau tại ECách 8: Từ B, và C kẻ ,BF AC CE AB⊥ ⊥, từ C kẻ Cx//AD cắt CF tại I =================================================================== 10DB CAEBDCAEFBDCAEFBDCAEFyBDCAExyIBDCAEFx=================================================================== Cách 9: Tại B và C kẻ ,Bx BA Cy CA⊥ ⊥ chúng cắt nhau tại K Từ kẻ Bz//AD cắt Cy tại G, AD cắt Cy tại F.Với các cách giải trên tôi tìm hướng khai thác định lí này:Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200, phân giác góc A căt BC tại D.Chứng minh rằng: 1 1 1AD AB AC= +Hướng dẫn làm như cách 6Khi đó tam giác AED, AFD là các tam giác đều [1]AD DF CDAB AB BC= =[2]AD DF BDAC AC BC= =Từ [1] và [2] ta có: 1 1 11AD AD CD BDAB AC BC AB AC AD++ = = → + 02. Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối quanhệ để giải quyết bài toán:Đối với trường hợp này [dạng này] thường là các bài toán chứng minh cácđường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vuông góc, đường trung tuyến của một tamgiác, tam giác cân vì có đường cao đồng thời là đường trung tuyến =================================================================== 11BDCAEF===================================================================Ví dụ 3: Bài toán: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CDvà N là một điểm trên đường chéo AC sao cho ·0BNM 90=. Gọi F là điểm đối xứng củaA qua N, chứng minh:FB ⊥ ACTa phân tích nội dung kẻ đường phụ và gợi ý chứng minh.Phân tích: Ta thấy ·BFClà một góc của ∆BFC, đối chiếu với định lý: "Tổng 3 góc của mộttam giác bằng 180O thì có· · ·0 FBC BCF BFC 180+ + =, nhưng ta chưa thể tính được· · FBC BCF+ bằng bao nhiêu độ nên không thể suy ra được số đo góc ·BFC. Vậy không thể vận dụng định lý trên để chứng minh.- Nhưng bài toán cho ta các giả thiết liên quan đến góc vuông và trung điểmcủa đoạn thẳng, ta có thể liên kết các giả thiết đó lại với nhau để chứng minh bài toánnày bằng cách nào? Đó là câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt ra cho học sinh và hướng dẫn các emcó thể tự đặt ra các câu hỏi như vậy. Liệu BF có là đường cao của ∆ BNC được không?Để chứng minh BF là đường cao của tam giác BNC ta phải chứng minh BF điqua điểm nào đặc biệt trong tam giác? Dựa vào đó ta hiểu rằng phải chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BNC.Do sự phân tích - tổng hợp ta đi đến việc dựng NE ⊥ BC tại E. =================================================================== 12FNCMDABEIK===================================================================Gọi giao điểm của NE với BF là I. Ta suy ra rằng nếu chứng minh được CI //MN thì suy ra CI cũng sẽ vuông góc với BN [Vì MN⊥BN] tức CI là một đường caocủa ∆ BNC. Vậy I là trực tâm của ∆ BNC [Vì I ≡ NE ∩ CK]. Do đó suy ra điều phải chứngminh là: BF ⊥ ACTóm lại việc kể thêm NE⊥ BC tại E là nhằm tạo ra điểm I ≡ NE ∩ BF đểchứng minh I là trực tâm của ∆ BNC.Từ sự phân tích trên ta có thể dựa vào đó đề ra một hệ thống câu hỏi gợi mởcho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải. Chẳng hạn có thể sử dụng những câuhỏi như:- Để chứng minh BF vuông góc với AC ta có thể chứng minh BF là đường gìcủa ∆ BNC?- Để chứng minh BF đi qua trực tâm của ∆BCN thì ta phải có điểmnào?- Ta phải kẻ thêm đường phụ nào để có một điểm là giao của BF với mộtđường cao của ∆ BNC?- Với NE là đường cao của ∆ BNC và NE ∩ BF tại I, ta phải chứng minh I làđiểm có tính chất gì?Ví dụ 4: Cho ∆ABC. M là 1 điểm bất kỳ trong ∆. Nối M với các đỉnh A, B, Ccắt các cạnh đối diện lần lượt tại A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BCcắt A’B’; A’C’ tại K và H. Chứng minh rằng: MK = MHĐây là một bài toán tương đối khó với học sinh . =================================================================== 13===================================================================? Sau khi đã tìm nhiều cách chứng minh không có kết quả. Ta chú ý đến giả thiết củabài toán chỉ cho ta các yếu tố đồng quy và song song. Giả thiết của định lý nào gần vớinó nhất?Câu trả lời mong đợi ở đây là định lý Talet- Ở đây KH // BC. Đoạn thẳng BC được chia thành mấy đoạn nhỏ?- Thiết lập quan hệ giữa MH, MK với các đoạn BA’ và CA’, BC- Cần phải xác định thêm các điểm nào?- Điểm P và Q là giao của KH với AB và ACTa có lời giải như sau Giả sử HK cắt AB, AC tại P, QTa có: Theo định lý TalétMKMHMKMHCABABACBCBCAMQMPMKMQMPMHCABAMQMPBABCMKMQCBCAMPMH==>==>==>===1''.'.' ''''03. Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ Ví dụ 5: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Chứng minhrằng OA + OC < AB + BCHướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thứccần chứng minh ?- Bài này áp dụng bất dẳng thức của tam giác hay không?- Nếu được ta phải bắt đầu từ đâu?=================================================================== 14KHMABCA'B'C'PQ===================================================================Gv: Vẽ hình phân tích cùng học sinhTìm hướng chứng minháp dụng ngay bất đẳng thức tam giác ta có: ∆ + > < +ABC cã AB BC A C mµ AC OA OCVậy làm trực tiếp ngay thì không thể có hướng giải. Khiến chúng ta nghĩ tới việc phải kẻ thêm hình phụ. Kẻ thế nào đây? Kẻ BO hay kéo dài CONhững câu hỏi đó gợi cho học sinh suy nghĩ tích cực hơn.Từ đó ta dùng phương pháp loại trừ đi đến kẻ CO cắt AB tại MGiảiXét tam giác AOM có OA < OM + MA Muốn có vế bên trái ta chỉ việc cộng vào hai vế của bất đẳng thức trên, ta có: OA + OC < OM + MA + OChay OA + OC < CM + MA [1]Xét tam giác MBC có: MC < MB + BC muốn tìm vế bên trái của [1] ta cộng hai vếcủa MC < MB + BC với MA, ta có: MA + MC < BM + MA + BChay MA + MC < AB + BC [2]Từ [1] và [2] ta được: OA + OC < AB +BCKhai thác thêmDo điểm O bất kì nằm trong tam giác ta luôn chứng minh được:OA + OC < AB +BC [a]Vậy có thể dùng phương pháp tương tự hóa ta cũng có:OA + OB < AC +BC [b]OB + OC < AB +AC [c]Vì thế cộng vế với vế của [a], [b] và [c] ta được: OA + OB + OC < AB + BC + ACVà một điều hiển nhiên ta có bài toán sau:Gọi điểm O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng 2AB BC CAOA OB OC AB BC CA+ +< + + < + +=================================================================== 15AMBCO=================================================================== Ví dụ 6: Cho ∆ABC có µ µ2A B= Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.ABHướng dẫn: - Các định lý hoặc tính chất nào giúp ta các công thức liên quan đến công thứccần chứng minh ?Câu trả lời đầu tiên sẽ là định lý Pitago vì công thức của nó rất gần với công thức này,ở đây GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago vì không tạo rađược các góc vuông có liên quan đến độ dài của cả ba cạnh ngay được - Ngoài định lý Pitago còn cách nào khác không?Câu trả lời mong đội ở đây là định lý ta lét và tam giác đồng dạng- Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa về dạng tỷ số để gắn vàotam giác đồng dạng [ ]2 2 2.BC AC AC AB BC AC AC AB= + ⇐ = +Đến đây GV có thể yêu cầu học sinh đưa về bài toán quen thuộc của việc chứng minhhệ thức ab = cd dự vào tam giác đồng dạng bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằngAB+AC- Từ đó học sinh đưa ra hai cách vẽ đường phụ là đặt liên tiếp cạnh AB mộtdoạn bằng AC hoặc đặt cạnh AC một đoạn bằng AB ? Nên đặt dựa trên điểm nào? Chọn đặt kề cạnh nào đẻ vận dụng được giả thiếtµ µ2A B=?Câu trả lời mong đợi là lấy trên tia đối của tia AC một đoạn bằng ABTừ đó ta có lời giảiGiải:Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD = ABKhi đó ∆ABC cân tại A nên:·· ·2 2BAC ABD ADB= =Xét ∆ABC và ∆BDC có:···12BDC ABC BAC= =µC chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆BDC [g.g]ABACACABACACADACACCDACBCBCACCDBC.][][.22+=+=+===>=⇒=================================================================== 16O=================================================================== Như vậy là việc dạy cho học sinh biết cách giải bài toán mà lời giải có kẻthêm đường phụ không chỉ đơn thuần là đưa ra một số bài giải mẫu cho học sinh màphải giúp học sinh nắm vững các yêu cầu khi vẽ đường phụ, sau đó phân dạng bài toánrồi mới đưa vào gợi mở để cho học sinh tìm được lời giải cho từng bài toán cụ thể.Trong quá trình đó dần dần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ đường phụ trong giảicác bài toán hình học. 2.4 Một số bài tập đã hướng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh của hình thoi ABCD biết bán kính đường tròn ngại tiếp cac tam giác ABC và ABD lần lượt là 3 và 4.Bài 2 : Cho tam giác nhọn ABC cân tại A . Đường cao BH. Chứng minh rằng : 22AB ACCH BC = ÷ Bài 3: Cho tam giác ABCcân tại A có µ020A =Chứng minh rằng : 223AB BCBCAB+ =Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh rằng : ·12 2ABC ACtgp AC+ =− với p là nửa chu vi của tam giác ABC.Bài 5 :Cho góc nhọn xOy . Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho OM +ON = 2a không đổi. a ] Chứng minh rằng : Khi M ,N chạy trên Ox, Oy thì trung điểm của MN luôn nằm trên một đoạn thẳng cố định b ] Xác định vị trí của M và N để tam giác OMN có diện tích lớn nhất Bài 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn [O]. gọi D;E;F thứ tự là trọng điểm củaBC;AC và AB. Kẻ các đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC. Chứng minh các đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy.=================================================================== 17===================================================================Bài 7: Cho đường tròn [O] và một điểm A bên trong đường tròn đó kẻ cát tuyến BAC bất kỳ. Gọi [P] là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với [O] tại B. [Q] là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với [O] tại C. a] Tứ giác APOQ là hình gì ? b] Gọi giao điểm thứ hai của [P] và [Q] là E; [E ≠A] Tìm tập hợp điểm E khi cát tuyến BAC quay quanh A.Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm P, Q thứ tự di chuyển trên tia Ox và Oy sao cho OP + OQ = 2011 . Vẽ đường tròn [P; OQ] và [Q; OP]a] Chứng minh hai đường tròn [P] và [Q] ở trên luôn cắt nhaub] Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn [P] và [Q] chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi P và Q thay đổi .Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH. Đường trung trức AB cắt BCtại M và cắt đường vuông góc BC ở B tại P. Gọi PC cắt AH tại E.a]Chứng minh rằng: E là trung điểm của AHb]Chứng minh AH.PM2 = 2PB.MB2[Đề thi HSG lớp 9 Phòng GD Mê Linh năm 2008-2009] Bài 10: Cho tam giác ABC [AB < AC]. Từ trung điểm D của cạnh BC kẻ một đườngthẳng vuông góc với tia phân giác của BAC, đường thẳng đó cắt các tia AB và ACtheo thứ tự ở M và N.a] Chứng minh tam giác AMN cân.b] Chứng minh BM = CNc] Cho AB = c, AC = b. Tính AM và BM theo c và b. =================================================================== 18===================================================================B. KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua thời gian áp dụng các kiến thức và phương pháp dạy vừa trình bày ở trên[Từ 15/10/2008 đến nay] đối với 40 em học sinh lớp 8A và 38 em học sinh lớp 7Atrường THCS Liên Mạc A – Mê Linh đã thu được kết quả như sau:01. Số học sinh nắm được các loại đường phụ thường sử dụng trong giải toánTHCS có: 78 em chiếm 100%.02. Số học sinh nắm được các phép dựng hình cơ bản thường được sử dụngtrong giải toán THCS có: 70 em chiếm 89.7%.03. Số học sinh vẽ [dựng] được các đường phụ hợp lý và giải được một số bài toánhình trong chương trình Toán lớp 7 và 8 có: 55 em chiếm 70,5%.04. Số học sinh thành thạo các dạng toán, có kỹ năng tốt và giải được các bàitoán tương đối khó : 2 em chiếm 26,9% Trong quá trình dạy học sinh theo phương pháp này, tôi đã thu được nhiềukết quả tốt. Bảng kết quả thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó:Với lớp 8AVới lớp 7A=================================================================== Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - KémĐầu năm 40 6 10 22 2KH I 40 11 14 14 1Giữa KH II 40 14 18 8 0Cuối KH II 40 15 23 2 0Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - KémĐầu năm 38 7 8 19 4KH I 38 10 12 14 2Giữa KH II 38 13 17 8 0Cuối KH II 38 14 20 4 019===================================================================III. KẾT LUẬNKINH NGHIỆM RÚT RACác bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là những bàitoán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy logic của học sinh pháttriển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho học sinh.Đây là một đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý vàđề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinhnắm vững được các yêu cầu về vẽ [dựng] các đường phụ sau đó mới phân dạng bàitoán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cốkỹ cho học sinh về phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện.Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi rộngvà cũng chưa thể trình bày được hết các phương pháp dạy đối với các dạng bài toán đãnêu do gới hạn của đề tài.Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạytôi còn nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy cô giáo trong tổ toántrường THCS Liên Mạc A – Mê Linh – Hà Nội, các thầy cô giáo khác trong trường đãtham gia góp ý kiến để tôi hoàn thành đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn ! ý kiến hội đồng khoa học nhà trường Người thực hiện =================================================================== 20=================================================================== Phạm Phúc ĐinhIV. TÀI LIỆU THAM KHẢO- SGK Toán 7 - Nhà xuất bản GD - SGK Toán 8 – Nhà xuất bản GD tập 2- Một số vấn đề phát triển Hinh 9 - Nhà xuất bản GD 2001- Toán bồi dưỡng 9 - Nhà xuất bản GD 2002- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8- Nhà xuất bản GD 1995- Toán nâng cao và phát triển Toán 7- 36 bộ đề thi HSG cấp 2 – Nhà xuất bản trẻ- Để học tốt 8 - Nhà xuất bản GD 1999- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000- 23 chuyên đề toán học tuổi trẻ- Các số báo của toán tuổi thơ năm 2007 đến tháng 04/2011- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan.Mục lụcI. Những vấn đề chung Trang 21. Lí do viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 22. Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm Trang 3II. Nội dung Trang 3=================================================================== 21===================================================================A. Các bước tiến hành Trang 31. Điều tra Trang 32. Quá trình thực hiện Trang 4B. Kết quả đề tài Trang 18III. Kết luận Trang 19IV. Tài liệu tham khảo Trang 20=================================================================== 22O=================================================================== PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÊ LINHTRƯỜNG THCS LIÊN MẠC A SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐề tài:HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONGGIẢI TOÁN HÌNH HỌC******** Họ và tên giáo viên: Phạm Phúc Đinh Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên=================================================================== 23===================================================================Năm học: 2010 - 2011*********=================================================================== 24