Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
– Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.
– Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh [4 góc]. Ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.
– Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
– Cách 2: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// b thì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º- α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Cần áp dụng các tính chất:
Gọi α là góc giữa hai vectơ thì ta có:
– Góc giữa hai vectơ song song cùng chiều bằng 0º
– Góc giữa hai vectơ song song ngược chiều bằng 180º
– Góc giữa hai vectơ vuông góc bằng 90º
Bài tập xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Xem thêm Định nghĩa và cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng
Like share và ủng hộ chúng mình nhé:
Câu hỏi: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trả lời:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Ký hiệu:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Được minh họa bằng hình vẽ như sau:
Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là một trong những mảng kiến thức quan trọng mà các bạn cần đặc biệt chú ý. Nhất là những thí sinh đang ôn luyện, chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
Và để giúp các bạn có thêm tài liệu học tập, ôn luyện. Dưới đâyTop lời giải sẽ chia sẻ với các bạn những kiến thức cơ bản cần thiết nhất về chủ đề này. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì? Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng như thế nào? Hãy cùng theo dõi nhé!
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian
Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.
Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.
2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Ký hiệu:
* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Được minh họa bằng hình vẽ như sau:
Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].
Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d [a,b] = MN.
Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau
Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
- Bước 2: Trong mặt phẳng [α] kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’
Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d [∆, ∆’] = IJ.
- Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau
- Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng[α]chứa ∆’ và song song với ∆
- Bước 2: Bạn dựngdlà hình chiếu vuông góc của ∆ xuống[α]bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với[α]. Khi đó,dsẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
- Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳngdvới ∆’, dựng HK // MN
Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HK = MN.
Hoặc bạn làm như sau:
- Bước 1: Chọn mặt phẳng[α]vuông góc với ∆ tại I
- Bước 2: Bạn tìm hình chiếudcủa ∆’ xuống mặt phẳng[α]
- Bước 3: Trong mặt phẳng[α], dựng IJ vuông góc vớid, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ
Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HM = IJ.
Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng[α]chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó,d[∆, ∆’] = d [∆’,[α]].
Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.
Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ
* MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:
* Nếu trong mặt phẳng[α]có hai véc tơ không cùng phương thì:
Như vậy, trên đây là tổng hợp những kiến thức về khoảng cách giữa 2 đường thẳng. Cũng như phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chi tiết nhất. Hy vọng rằng sau khi đọc xong bài viết này, bạn có thể hiểu rõ hơn cũng như làm tốt các dạng bài tập liên quan đến mảng kiến thức này nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm theo dõi! Chúc các bạn học tập thật tốt!
19:44:5420/10/2020
Tuy nhiên, các bạn cũng đừng quá lo lắng, bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại các phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian, và vận dụng giải các bài tập minh họa.
1. Hai đường thẳng chéo nhau - kiến thức cần nhớ
- Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau trong không gian khi chúng không cùng một mặt phẳng, không song song và không cắt nhau.
• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.
Ký hiệu: d[a;b] = MN trong đó M ∈ a, N ∈ b và MN ⊥ a; MN ⊥ b;
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.
Ký hiệu: d[a,b] = d[a,[Q]] = d[b,[P]] = d[[P],[Q]] trong đó [P], [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P]//[Q].
2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
- Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau tùy vào đề bài toán ta có thể dùng một trong các phương pháp sau:
* Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung IJ của a và b, tính độ dài đoạn IJ, khi đó d[a,b] = IJ.
¤ Ta xét 2 trường hợp sau:
• TH1: Hai đường thẳng Δ và Δ' chéo nhau và vuông góc với nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa Δ' và vuông góc với Δ tại I.
+ Bước 2: Trong mặt phẳng [α] kẻ IJ ⊥ Δ'.
- Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng Δ và Δ', và d[Δ,Δ'] = IJ.
• TH2: Hai đường thẳng Δ và Δ' chéo nhau và KHÔNG vuông góc với nhau
- Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng Δ và Δ' theo một trong 2 cách sau:
° Cách 1:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa Δ' và song song với Δ.
+ Bước 2: Dụng d là hình chiếu vuông góc của Δ xuống [α] bằng cách lấy điểm M ∈ Δ dựng đoạn MN ⊥ [α], lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với Δ.
+ Bước 3: Gọi H = d ∩ Δ', dụng HK//MN.
Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của Δ và Δ', và d[Δ,Δ'] = HK = MN.
° Cách 2:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] ⊥ Δ tại I.
+ Bước 2: Tìm hình chiếu d của Δ' xuống mặt phẳng [α].
+ Bước 3: Trong mặt phẳng [α], dụng IJ ⊥ d, từ J dựng đường thẳng song song với Δ và cắt Δ' tại H, từ H dựng HM//IJ.
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng Δ và Δ', và d[Δ,Δ'] = HM =IJ.
* Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với Δ', khi đó: d[Δ,Δ'] = d[Δ,[α]].
* Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song [α], [β] và lần lượt chứa 2 đường thẳng Δ và Δ'. Khi đó, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là khoảng cách của 2 đường thẳng cần tìm.
3. Bài tập vận dụng cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
* Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Xác định đoạn vuông chung và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và A'B'?
* Lời giải:
- Ta có hình minh họa như sau:
- Gọi H là giao điểm của AD' với A'D. Vì ADD'A' là hình vuông nên A'H ⊥ AD'.
- Ta có: A'H ⊥ AD' và A'H ⊥ A'B' ⇒ AH' là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AD' và A'B'.
d[A'B';AD'] = A'H = a√2/2.
* Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA ⊥ [ABCD]. Biết mặt phẳng [SBC] tạo với đáy một góc 600.
a] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và CD.
b] Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BD và SC.
* Lời giải:
- Minh họa như hình vẽ sau:
a] Theo giải thiết, ta có: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên ⇒ BC ⊥ [SAB] ⇒ BC ⊥ SB
- Lại có: BC ⊥ CD [ABCD vuông]
⇒ BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD
- Ta có: d[SB;CD] = BC = a.
b] Theo câu a] ta có: BC ⊥ [SAB]
Do đó:
⇒ SA = AB.tan600 = a√3.
- Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có: BD ⊥ AC và BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ [SAC].
- Kẻ OI ⊥ SC khi đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD, ta có:
ΔCAS ∼ ΔCOI [theo g-g]
+ Cách khác: cũng có thể dựng AJ ⊥ SC ⇒ OI = [1/2]AJ
Mặt khác:
suy ra:
* Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng [ABC], đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = a. Gọi M là trung điểm của AC. Hãy dựng và tính đoạn vuông góc chung của SM và BC.
* Lời giải:
- Minh họa như hình vẽ sau:
° Dựng đoạn vuông góc chung của SM và BC ta có thể thực hiện 1 trong 2 cách sau:
* Cách 1: Gọi N là trung điểm của AB, NM//BC ⇒ BC//[SMN].
- Ta có: MN ⊥ AB và MN ⊥ SA ⇒ MN ⊥ [SAB] ⇒ [SMN] ⊥ [SAB].
Mà [SMN] ∩ [SAB] = SN, hạ BH ⊥ [SMN]
Từ H dụng Hx // BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey // BH và cắt BC tại F.
⇒ Đoạn EF là đoạn vuông gó chung của SM và BC.
* Cách 2: Ta thấy: BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên suy ra BC ⊥ [SAB].
Suy ra [SAB] là mp qua B thuộc BC và vuông góc với BC
Gọi N là trung điểm của AB ⇒ MN // BC ⇒ MN ⊥ [SAB].
⇒ MN là hình chiếu vuông góc của SM lên [SAB].
Hạ BH ⊥ SN ⇒ BH ⊥ [SMN]
Từ H dụng Hx // BC và cắt SM tại E. Từ E dựng Ey // BH và cắt BC tại F.
⇒ Đoạn EF là đoạn vuông gó chung của SM và BC.
° Tính EF [đoạn vuông gó chung của SM và BC]
- Ta thấy ΔSAN và ΔBHN là 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn đối đỉnh
⇒ ΔSAN ∼ ΔBHN [g-g]
- Trong đó:
- Vậy khoảng cách giữa SM và BC là BH bằng: 2a[√17/17].
* Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ [ABCD], đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau SD và BC.
* Lời giải: [Bài toán này ta vận dụng phương pháp 2 để giải]
- Minh họa như hình vẽ sau:
- Theo giả thiết, ta có: BC//AD nên BC//[SAD]
⇒ d[BC;SD] = d[BC; [SAD]] = d[B;[SAD]]
- Mặt khác: AB ⊥ AD và AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ [SAD] ⇒ d[B;SAD] = AB.
- Lại có:
- Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SD và BC là AB bằng a√3.
* Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3; AD = 4; AA' = 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AC và B'D'?
* Lời giải: [Bài toán này vận dụng phương pháp 3 để giải]
- Minh họa như hình vẽ sau:
AC ⊂ [ABCD] và B'D' ⊂ [A'B'C'D'] nên
d[AC;B'D'] = d[[ABCD],[A'B'C'D']] = AA' = 5.
Như vậy, rõ ràng chúng ta thấy việc tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo trong trong không gian phức tạp hơn việc tính khoảng cách giữa các điểm, đường thẳng trong mặt phẳng.
Hy vọng với bài viết và bài tập minh họa về việc tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ở trên giúp các em hiểu rõ hơn. Và việc giải bài toán này không còn gây khó khăn cho các em, chúc các em học tập tốt.