Cách xác định có bao nhiêu cực trị

A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Khái niệm cực trị của hàm số:

Cho 

Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 và 
Cách xác định có bao nhiêu cực trị
.

Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 được gọi là một điểm cực đại của 
Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 nếu tồn tại khoảng 
Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 sao cho

         

Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 được gọi là một điểm cực tiểu của 
Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 nếu tồn tại khoảng 
Cách xác định có bao nhiêu cực trị
 sao cho

        

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

    Giả sử hàm số  đạt cực trị tại điểm và  có đạo hàm tại  thì .

    Chú ý: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

Định lí 1:

  • Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua  thì  là điểm cực đại.

  • Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua  thì  là điểm cực tiểu.

Định lí 2:

Giả sử hàm số  có đạo hàm cấp một trên khoảng  chứa điểm  và  có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm chứa .

  • Nếu  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm .

  • Nếu  thì hàm số  đạt cực đại tại điểm .

Chú ý: Nếu  thì không thể xác định được  là cực trị hay không.

Ví dụ: Hàm số 

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số không chứa tham số

Phương pháp:

  • Quy tắc 1:

     + Tìm TXĐ.

     + Tính . Tìm các điểm làm cho  bằng 0 hoặc không xác định.

     + Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra kết luận.

  • Quy tắc 2:

     + Tìm TXĐ.

     + Tính . Giải phương trình  và tìm các nghiệm.

     + Tính  và .

     + Dựa vào dấu của  để suy ra tính chất cực trị tại điểm .

Ví dụ 1.1 (Đề minh họa 2017) Giá trị cực đại của hàm số  là?

     A. 4                         B. 1                           C. 0                             D. 

                                                                        Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: 

Ta có 

Bảng biến thiên:

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại  và yCĐ = 4.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2)

TXĐ: .

Ta có 

 Hàm số đạt cực đại tại  và yCĐ = 4.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 1.2: Tìm giá trị cực tiểu của hàm số .

      A. 1                          B.                           C. 0                          D. 2

                                                                         Lời giải:

Cách 1 (Quy tắc 1):

TXĐ: .

Ta có 

Bảng biến thiên:

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại  và 

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Quy tắc 2):

Ta có .

⇒ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 2; hàm số đạt cực tiểu tại  và .

Vậy chọn đáp án A.

Ví dụ 1.3: Tìm điểm cực đại của hàm số 

    A. 2                          B.                             C.                           D. 4

                                                                        Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Bảng biến thiên:

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại điểm .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.4: Điểm nào sau đây là điểm cực tiểu của hàm số 

    A.                           B.                               C. 3                                D. 

                                                                         Lời giải:

Cách 1 (Tự luận)

TXĐ: .

Ta có 

Suy ra  là các điểm cực đại và  là các điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2 (Trắc nghiệm)

Kiểm tra được 

Ta có  là điểm cực đại của hàm số.

 là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn A.

Ví dụ 1.5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số .

      A. .                     B. .                     C. .                      D. .

                                                                           Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

 là các điểm cực đại của hàm số.

 là các điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn B.

Ví dụ 1.6 (Đề minh họa lần 2 – 2017)

Cho hàm số  xác định, liên tục trên đoạn   và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số   đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ?

                                                                 

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

    A. .                       B. .                       C. .                         D. .

                                                                           Lời giải:

Hàm số đạt cực đại tại  và yCĐ = 2; hàm số đạt cực tiểu tại .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 1.7: Cho hàm số  xác định, liên tục trên  và hàm số đạo hàm  của  có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số .

                                                       

Cách xác định có bao nhiêu cực trị

       A. 0                           B. 2                           C. 3                               D. 1

                                                                          Lời giải:

Hàm số có  và . Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Chọn đáp án D.

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị một

Phương pháp

  • Bước 1: Điều kiện cần để hàm số  đạt cực trị tại điểm  là . Từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số

  • Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị để xét xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không.

Chú ý:

Trong trường hợp  không tồn tại hoặc   thì định lí 2 ở trên không dùng được.

Ví dụ 2.1 (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 3)

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  đạt cực đại tại .

      A. {1}                     B.                        C.                       D. 

                                                                                Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Để  là cực đại thì 

Với m = 1 thì  nên  là cực tiểu.

Với  thì  nên  là cực đại.

Chọn D.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số  với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại .

         A. .                   B. .                      C. .                  D. .

                                                                           Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Để hàm số đạt cực đại tại  thì 

Nếu  thì Hàm số không thể đạt cực trị.

Nếu  thì Hàm số đạt cực đại tại .

Vậy chọn B.

Chú ý:
Nếu trình bày lời giải theo hướng sau:

Hàm số đạt cực đại tại  thì lời giải chưa chính xác. Vì định lí 2 chỉ phát biểu khi .

Ví dụ 2.3: Cho hàm số  với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại .

         A. .                    B. .                   C. .                 D. .

                                                                         Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Hàm số đạt cực tiểu tại  thì 

Thử lại ta thấy  là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B.

Dạng 3 : Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị

Phương pháp:

  • Đối với hàm số bậc ba 

    Ta có 

    Để hàm số có cực trị thì phương trình  có hai nghiệm phân biệt .

    Ngược lại, hàm số không có cực trị thì phương trình  vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất .

    Như vậy, hàm số bậc ba chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.

  • Đối với hàm bậc bốn trùng phương 

    Ta có 

    • Hàm số luôn có một cực trị nằm trên trục Oy.

      + Nếu  thì  là điểm cực tiểu.

      + Nếu  thì  là điểm cực đại.

    • Nếu  thì  là điểm cực trị duy nhất.

    • Nếu  thì hàm số có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 3.1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  có hai điểm cực trị.

       A. .                                    B. .

       C. .             D. .

                                                                  Lời giải:

Ta có 

Để hàm số có hai điểm cực trị  có hai nghiệm phân biệt 

Vậy chọn đáp án C.

Ví dụ 3.2: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số  không có cực trị.

      A.                    B.                      C.                     D. 

                                                                 Lời giải:

Nếu  thì . Đây là một parabol nên luôn có một cực trị.

Nếu , ta có 

Để hàm số không có cực trị thì phương trình  vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất 

Chọn đáp án C.

Chú ý:
Ở ví dụ 3.2, hàm số đã cho có hệ số a chứa tham số nên ta phải xét hai trường hợp  và .

Ví dụ 3.3 (THPT Nguyễn Du – TP HCM 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại.

       A. .                         B. .

       C. .                      D. .

                                                                Lời giải:

Ta có 

Nếu  thì  nên  là điểm cực đại. Do đó  là một giá trị cần tìm.

Nếu , hàm số có cực đại  có hai nghiệm phân biệt  .

Vậy . Chọn đáp án D.

Ví dụ 3.4 (THPT Chuyên Bắc Giang 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số  có ba cực trị.

       A. .                   B. .                   C. .                    D. .

                                                                   Lời giải:

Ta có 

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi y’ có ba nghiệm phân biệt 

Vậy chọn đáp B.

Ví dụ 3.5 (Chuyên Phân Bội Châu – Nghệ An 2017 Lần 2)

Tìm m để hàm số  có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

       A. .         B. .             C. .                D. .

                                                                  Lời giải:

Ta có 

Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu khi và chỉ khi  có 3 nghiệm phân biệt và điểm cực tiểu là 

Chọn đáp án B.

Dạng 4: Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Phương pháp:

     Xét hàm số .

     Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức  cho  để có: .

     Từ đây suy ra  là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của .

Ví dụ 4.1 (Đề thi THPTQG 2017) Đồ thị của hàm số  có hai điểm cực trị  và . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng  ?

     A. .              B. .                C. .               D. .

                                                                  Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là .

Phương trình đường thẳng  là .

Thay tọa độ các điểm  vào phương trình đường thẳng  ta được  thuộc đường thẳng . Chọn C.

Ví dụ 4.2 (Đề thi THPTQG 2017) Tìm giá trị thực của tham số  để đường thẳng  vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số .

     A. .                  B. .                     C. .                    D. .

                                                                 Lời giải:

TXĐ: .

Ta có 

Suy ra đồ thị hàm số có hai điểm cực trị .

Phương trình đường thẳng  là .

.

Chọn D.

Ví dụ 4.3 (THPT Phạm Văn Đồng – Phú Yên)

Giả sử đồ thị hàm số  có 2 cực trị. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là

    A. .                 B. .

    C.                D. Tất cả đều sai.

                                                               Lời giải:

Ta có 

Lấy  chia cho  ta được: .

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 

Vậy chọn B.

Ví dụ 4.4: Giá trị của  để khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số  bằng  là

     A. .                    B. .                    C. .                  D. .

                                                                  Lời giải:

TXĐ: .

Ta có .

Hàm số có cực trị  có hai nghiệm phân biệt .

Lấy  chia cho  ta được .

Suy ra phương trình đi qua hai điểm cực trị là .

Theo giả thiết 

Mà  nên .

Chọn B.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 5.1(Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 2017 Lần 3)

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  có hai điểm cực trị  thỏa mãn .

      A. .                   B. .                    C. .                       D. .

                                                                 Lời giải:

Ta có 

Do  nên hàm số luôn có hai điểm cực trị .

Theo định lí Viet, ta có: 

Ta có 

.

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.2 (THPT Hưng Nhân – Thái Bình 2017 Lần 2)

Cho hàm số . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.

       A.               B.                   C.                    D. 

                                                               Lời giải:

Ta có 

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi y’ có hai nghiệm phân biệt 

Khi đó hai cực trị  thỏa mãn hệ thức Viet 

Hai cực trị này nằm về hai phía cua trục tung .

Vậy .

Chọn đáp án B.

Ví dụ 5.3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số  có ba điểm cực trị tạo thành:

       a) Tam giác vuông.                             

       b) Tam giác đều.

       c) Tam giác có diện tích bằng .

                                                              Lời giải:

Với  thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị 

Ta có  cân tại A.

a) Do điểm A luôn nằm trên Oy và cách đều hai điểm B, C nên tam giác ABC vuông cân tại A 

        

b)  đều   

“Vuông -8, đều -24”

c) Diện tích tam giác  là: 

 Ví dụ 5.4 (Đề minh họa THPTQG 2017 Lần 1)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

       A.                     B.                     C.                       D. 

                                                               Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có 

Hàm số có 3 cực trị . Khi đó . Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị 

Ta có 

Do  nên  cân tại A. Để 

Vậy chọn đáp án B.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông .

Ví dụ 5.5 (THPT Chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa 2017)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số  có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.

      A.                       B.                        C.                       D. 

                                                                Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có 

Hàm số có 3 cực trị . Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 

 cân tại A.

Do đó  đều 

Vì . Chọn đáp án D.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Áp dụng công thức ta có .

Chọn đáp án D.

Ví dụ 5.6: Cho hàm số . Với giá trị nào của  thì đồ thị  có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

      A. .                  B. .                    C. .                    D. .

                                                                  Lời giải:

Cách 1 (Tự luận):

Ta có . Hàm số có 3 cực trị thì  có 3 nghiệm phân biệt

Khi đó là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Diện tích tam giác  là .

Theo giả thiết có .

Chọn A.

Cách 2 (Trắc nghiệm):

Hàm số có 3 cực trị .

Khi đó diện tích tam giác .