Chứng minh trung bình mẫu là ước lượng không chệch năm 2024

• 1. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 1 BÀI 5: ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Mục tiêu - Hiểu rõ các phương pháp ước lượng điểm và ước lượng bằng khoảng tin cậy, cơ sở của các phương pháp này là xuất phát từ một suy luận hợp lý nào đó và từ thực nghiệm, - Nắm được thủ tục và các bước tiến hành bài toán ước lượng giá trị tham số dựa trên các tiêu chuẩn của hàm ước lượng và thông tin từ mẫu điều tra, cụ thể là: chọn đúng tham số và công thức cần sử dụng tìm khoảng tin cậy cho tham số tương ứng, biết phân tích và giải thích ý nghĩa lý thuyết và thực tế của các khoảng tin cậy, Nội dung I. PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM I.1. Phƣơng pháp hàm ƣớc lƣợng I.1.1. Khái niệm Giả sử biến ngẫu nhiên X tuân theo quy luật phân phối xác suất đã biết dạng, nhưng giá trị của tham số  chưa biết. Ta phải ước lượng  thông qua các kết quả thực nghiệm. Muốn vậy ta thực hiện n phép thử độc lập về X. Khi đó ta có mẫu ngẫu nhiên kích thước n. W = [X1; X2;...;Xi;...; Xn] Từ mẫu này ta lập thống kê    , X ,..., X , X G n 2 1 f  . Vì G là hàm của các biến ngẫu nhiên nên nó được gọi là hàm ước lượng của  .
• 2. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 2 I.1.2. Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng I.1.2.1. Ước lượng không chệch Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng không chệch của tham số  của biến ngẫu nhiên X nếu   ] [G E . Ngược lại nếu   ] [G E thì G được gọi là ước lượng chệch của  . Như vậy theo §4 chương 6, ta có thể rút ra 1 số kết luận sau: * Trung bình mẫu X là ước lượng không chệch của kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X * Tần suất mẫu f là ước lượng không chệch của xác suất p trong trường hợp biến ngẫu nhiên gốc phân phối A[p] * Phương sai mẫu S2 và phương sai S* 2 là ước lượng không chệch của phương sai 2  Thí dụ: Để ước lượng trung bình [m] của một phân phối gốc. Người ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 2 và xây dựng các hàm ước lượng sau: a. 2 1 2 1 2 1 X X X   b. 2 1 1 3 2 3 1 X X G   c. 2 1 2 5 2 5 3 X X G   Hãy chứng tỏ rằng các ước lượng này là không chệch của m. Giải Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể, ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 2 Ta có: W = [X1; X2] Khi đó ta có: E[X1] = E[X2] = E[X] = m
• 3. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 3 V[X1] = V[X2] = V[X] = 2  Vậy:     m m m X E X E X E X E X E X X E X E                            2 1 2 1 ] [ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ] [ 2 1 2 1 2 1 X  là ước lượng không chệch của m Tương tự như X , ta dễ dàng thấy rằng G1 và G2 cũng là ước lượng không chệch của m. I.1.2.2. Ước lượng hiệu quả Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X nếu nó là ước lượng không chệch và có phương sai nhỏ nhất so với mọi ước lượng không chệch khác được xây dựng trên cùng mẫu đó. Để xét xem G có phải là ước lượng hiệu quả nhất của tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X hay không ta cần phải tìm được giá trị nhỏ nhất có thể có của phương sai các hàm ước lượng. Người ta chứng minh được rằng: + Trung bình mẫu X là ước lượng hiệu quả nhất của kỳ vọng toán  của biến ngẫu nhiên   2 ; ~   N X . + Tần suất mẫu f là ước lượng hiệu quả nhất của xác suất P của biến ngẫu nhiên X~A[P]. Khi 2 ước lượng nào đó đều là các ước lượng không chệch của  , song không phải là ước lượng hiệu quả nhất thì có thể so sánh phương sai của chúng để tìm ra ước lượng hiệu quả hơn.Ước lượng nào có phương sai nhỏ hơn là ước lượng hiệu quả hơn.
• 4. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 4 Thí du: Trở lại thí dụ trong mục 1.2.1. Ta có các ước lượng X , G1 và G2 đều là các ước lượng không chệch của m. Ta xét xem trong các ước lượng X , G1 và G2, ước lượng nào hiệu quả hơn. Ta có:     2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 5 , 0 2 4 2 4 1 4 1 ] [ 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ] [                                   X V X V X V X V X V X X V X V Tương tự ta có: V[G1] = 2 2 2 2 2 52 , 0 25 13 ] [ ; 56 , 0 9 5        G V Như vậy: V[ X ] < V[G2] < V[G1], nên X hiệu quả hơn 2 ước lượng G1 và G2 I.1.2.3. Ước lượng vững Khi xét mẫu có kích thước n thì ta thấy mẫu càng lớn thống kê G của mẫu càng gần tham số  cần ước lượng . Định nghĩa: Thống kê G được gọi là ước lượng vững của biến ngẫu nhiên X nếu G hội tụ theo xác suất đến  khi   n . + Trung bình mẫu là ước lượng vững của kỳ vọng toán của biên ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật phân phối chuẩn, vì:   1 lim        X P n + Tần suất mẫu f là ước lượng vững của biến ngẫu nhiên gốc X tuân theo quy luật A[P], vì:   1 lim       P f P n
• 5. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 5 I.2. Phƣơng pháp ƣớc lƣợng hợp lý tối đa Giả sử biết quy luật phân phối xác suất tổng quát của biến ngẫu nhiên gốc X dưới dạng hàm mật độ xác suất  cần phải ước lượng  của X. Lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n :   n 2 1 X ,..., X , X W  Xây dựng hàm của đối số  tại 1 giá trị cụ thể của mẫu.             , ... , , , x ,..., x , x 2 1 n 2 1 n x f x f x f L  Hàm L được gọi là hàm hợp lý của tham số  . Giá trị của hàm hợp lý chính là xác suất hay mật độ xác suất tại điểm   n 2 1 x ,..., x , x . Còn giá trị của thống kê G tại điểm đó:   n 2 1 x ,..., x , x g f  được gọi là ước lượng hợp lý tối đa của  nếu ứng với giá trị này của  , hàm hợp lý đạt cực đại. * Các bước tìm giá trị của  để hàm L đạt cực đại: a. Tìm đạo hàm bậc nhất của lnL theo  [ vì L và lnL đạt cực đại tại cùng giá trị  ] b. Giải phương trình    L ln = 0 Giả sử ta tìm được nghiệm:   n x x x f ,... ; 2 1     c. Tìm đạo hàm bậc 2: 2 2 ln    L Nếu tại    mà 0 ln 2 2     L thì tại đó lnL đạt cực đại.
• 6. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 6 Khi đó   n 2 1 ^ x ,..., x , x f   là ước lượng hợp lý tối đa cần tìm của  . I.3. Phƣơng pháp ƣớc lƣợng điểm Sau khi xác định được hàm ước lượng G dùng để ước lượng tham số  [G phải có các tính chất nêu trên, tối thiểu là tính không chệch] dựa vào mẫu tính được giá trị g của G và có thể lấy g làm giá trị xấp xỉ cho  . Cách ước lượng giá trị  như vậy gọi là phương pháp ước lượng điểm II. PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY II.1. Nội dung của phƣơng pháp Để ước lượng tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể, người ta chọn thống kê G nào đó của mẫu, xây dựng 1 khoảng giá trị [ 2 1;T T ] sao cho với xác suất bằng     1 cho trước, khoảng trên thỏa mãn:         1 2 1 T T P [1] Khi đó   2 1,T T thỏa mãn [1] được gọi là khoảng tin cậy của ước lượng. Còn xác suất     1 được gọi là độ tin cậy [hệ số tin cậy] của ước lượng. Để tìm khoảng tin cậy, ta xuất phát từ thống kê G của mẫu. Xây dựng hàm   G h h ,   , sao cho quy luật phân phối xác suất của nó đã biết và không phụ thuộc vào  . II.2. Đƣờng lối chung để tìm khoảng tin cậy Bước 1: Từ tập hợp tổng quát ta rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n Từ đó xác định thống kê G của mẫu để ước lượng  . Bước 2: Chọn hàm   G h h ,   sao cho quy luật phân phối xác suất của h đã biết và không phụ thuộc vào tham số  . Bước 3: Với độ tin cậy     1 cho trước, tìm cặp giá trị 2 1 &  thỏa mãn:      2 1
• 7. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 7 Từ đó xác định cặp giá trị 2 1 & h h tương ứng sao cho:        1 2 1 h h h P Bước 4: Suy ra biểu thức tương đương:         1 2 1 T T P III. ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn   2 , ~   N X nhưng chưa biết tham số  = E[X] của nó. Để xác định  , từ tập hợp tổng quát [ từ tổng thể ] ta rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n:   n 2 1 X ,..., X , X W  Từ mẫu ta xác định được trung bình mẫu   X và độ lệch tiêu chuẩn mẫu   S . Để chọn hàm h thích hợp ta xét 2 trường hợp sau: III.1. Trƣờng hợp đã biết phƣơng sai của biến ngẫu nhiên X Hàm h được chọn là:     n X U h    Biến ngẫu nhiên U ~ N[ 0 , 1 ]. Với độ tin cậy     1 cho trước ta có thể tìm được cặp giá trị 2 1 &  sao cho      2 1 Từ đó ta tìm được 2 giá trị : 1 1 1    U h và 2 2  U h  Với độ tin cậy     1 tham số  của biến ngẫu nhiên gốc X sẽ nằm trong khoảng:
• 8. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 8           1 2 ;     U n X U n X [2c] Đây là khoảng tin cậy tổng quát. Ta có các khoảng tin cậy đặc biệt là: 1. Khoảng tin cậy đối xứng: 2 2 1                          1 2 2 U n X U n X P [3] 2. Nếu 0 ; 2 1      ta có khoảng tin cậy bên trái của  [ước lượng tối đa].                    1 U n X P [4] 3. Nếu      2 1 ; 0 ta có khoảng tin cậy bên phải của  [ước lượng tối thiểu].                   1 U n X P [5] Minh họa hình học - Khoảng tin cậy đối xứng [hình 1] [hình 1] - Khoảng tin cậy bên phải [hình 2], bên trái [hình 3]. 2 T 2 2    2 1    1 T
• 9. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 9    1 1 T [ hình 2] [hình 3] * Với cùng 1 độ tin cậy     1 hiển nhiên khoảng tin cậy nào ngắn hơn sẽ tốt hơn. Độ dài khoảng tin cậy ký hiệu là I, ta thấy I sẽ ngắn nhất khi khoảng tin cậy là đối xứng và I được xác định bằng công thức : 2 2   U n I  [6] Từ [6] có thể tìm được kích thước mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậy     1 cho trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước, Khi đó: 2 2 2 0 2 4   U I n  [7] Chú ý: Trong công thức [3] nếu ta ký hiệu: 2    U n  [8] thì  được gọi là độ chính xác của ước lượng. Nó phản ánh mức độ sai lệch của trung bình mẫu so với trung bình tổng thể với xác suất     1 cho trước. Thí dụ: Trọng lượng của 1 con sợi là 1 biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 con sợi loại này ta thu được bảng số liệu: 2 T    2
• 10. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 10 Trọng lượng [gam] 20 21 22 23 Số con sợi 2 7 12 4 Với độ tin cậy 0,95, hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình của các con sợi nói trên. Giải Gọi X là:” Trọng lượng các con sợi”. Theo giả thiết   2 , ~   N X , trong đó  = E[X] là trọng lượng trung bình của các con sợi, μ chưa biết cần ước lượng. Đây là bài toán ước lượng bằng khoảng tin cậy đối xứng giá trị của tham số  của biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn   2 ,  N trong trường hợp đã biết   1 , 2    . Khoảng tin cậy đối xứng của  là :                     1 2 2 U n X U n X P Lấy từ tổng thể ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n = 25. Gọi Xi là trọng lượng của con sợi thứ i ,   25 , 1  i . Ta có mẫu:   25 2 1 X ,..., X , X W  Từ đó:         k i i i i i x n x X X 1 25 1 72 , 21 25 1 25 1 Với độ tin cậy 96 , 1 95 , 0 ] 1 [ 025 , 0 2      U U  . Vậy khoảng tin cậy đối xứng của  là
• 11. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 11           96 , 1 25 1 72 , 21 ; 96 , 1 25 1 72 , 21   392 , 0 72 , 21 ; 392 , 0 72 , 21     122 , 22 ; 328 , 21 gam Vậy với độ tin cậy 0,95, qua mẫu cụ thể, khoảng tin cậy đối xứng của trọng lượng trung bình của các con sợi là :   122 , 22 328 , 21    gam. III.2. Trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể và kích thƣớc mẫu n < 30 Ta chọn hàm h:   S n X T h     trong đó X là trung bình mẫu; S là độ lệch tiêu chuẩn mẫu. Ta đã biết   1 ~  n T T . Với độ tin cậy     1 cho trước ta tìm được cặp giá trị 2 1 &  sao cho:      2 1 Từ đó tìm được 2 giá trị tới hạn Student tương ứng là :   1 1 1 1    n t h  &   2 2 2   n t h  Hoàn toàn tương tự mục [2.1] ở trên ta có khoảng tin cậy của  với độ tin cậy     1 là :                 1 1 1 2 ; n n t n S X t n S X   Từ đó ta có khoảng tin cậy trong những trường hợp đặc biệt sau: a. Khoảng tin cậy đối xứng: 2 2 1     
• 12. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 12                         1 1 2 1 2 n n t n S X t n S X P [9] b. Khoảng tin cậy bên phải khi 0 ; 2 1      .                      1 1 n t n S X P [10] c. Khoảng tin cậy bên trái khi      2 1 ; 0 .                     1 1 n t n S X P [11] * Độ dài khoảng tin cậy ngắn nhất cũng bằng 2 lần độ chính xác và được xác định bằng biểu thức:   1 2 2 . 2    n t n S I   [12] * Việc xác định kích thước mẫu tối thiểu n sao cho với độ tin cậy bằng     1 cho trước, độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước được giải quyết bằng phương pháp mẫu kép dưới đây. Trước hết điều tra 1 mẫu sơ bộ 2  m   m 2 1 1 X ,..., X , X W  Từ đó xác định phương sai mẫu của mẫu sơ bộ đó:        m i i X X m S 1 2 2 1 1 Với :    m i i X m X 1 1 . Sau đó lập mẫu thứ 2 kích thước[ n – m ]:   n 2 m 1 m 2 X ,..., X , X W    Người ta chứng minh được rằng:
• 13. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 13   1 1 ~ 1            m n i i T S n X n T  . Khi đó ta có thể tìm được   1 2  m t sao cho:                             1 1 1 1 2 1 1 2 1 m n i i m n i i t n S X n t n S X n P Do đó:   1 2 2   m t n S I  Từ đây ta suy ra kích thước mẫu cần tìm:   2 1 2 0 2 4           m t I S n  [13] Như vậy, dựa vào mẫu sơ bộ đã có ta tìm được kích thước mẫu chính thức đáp ứng yêu cầu về chất lượng của ước lượng. Trên thực tế chỉ cần điều tra tiếp mẫu thứ 2 có kích thước [ n – m ] là đủ. Chú ý: Trong trường hợp chưa biết 2  của biến ngẫu nhiên gốc X và kích thước mẫu n > 30 thì trong các công thức [9, 10, 11, 12, 13 ] ta dùng  U thay cho   1  n t . Thí dụ: Phỏng vấn 5 gia đình có 3 người về chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm thu được các số liệu sau: 150 ngàn đồng; 180 ngàn đồng; 200 ngàn đông; 250 ngàn đồng; 300 ngàn đồng. Vậy phải phỏng vấn bao nhiêu gia đình cùng loại để với độ tin cậy 95% sai số của việc ước lượng chi phí trung bình hàng tháng cho nhu yếu phẩm không vượt quá 30 ngàn đồng. Giả thiết chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn . Giải Gọi X là chi phí hàng tháng cho nhu yếu phẩm   2 , ~   N X  ,
• 14. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 14  = E[X] chính là chi phí nhu yếu phẩm trung bình chưa biết cần ước lượng . Đây là bài toán xác định kích thước mẫu tối thiểu cho việc ước lượng tham số  của phân phối   2 ,  N khi chưa biết rõ 2  . Theo phương pháp mẫu kép, từ mẫu sơ bộ kích thước n = 5 . Ta có: 216  X ngàn ; 3530 2  S ; 776 , 2 4 975 , 0  t 60 30 . 2 2 0      I ngàn. Theo công thức [12] ta có :     31 776 , 2 60 3530 . 4 2 2         n gia đình. Như vậy cần phỏng vấn thêm 31 – 5 = 26 gia đình nữa. IV. ƢỚC LƢỢNG KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI A[P] Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên X phân phối A[P], với E[X] = p và V[X] = P.[1-P], trong đó P chưa biết cần phải xác định. Để xác định P, từ tập hợp tổng quát ta rút ra mẫu ngẫu nhiên kích thước n:   n 2 1 X ,..., X , X W  Với n khá lớn ta chọn:   ] 1 , 0 [ ~ ] 1 [ N f f n P f U h     Tiến hành hoàn toàn tương tự bài 4 . Ta có: a. Nếu 2 2 1      , khoảng tin cậy đối xứng của P là :
• 15. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 15                    1 ] 1 [ . ] 1 [ 2 2 U n f f f P U n f f f P [14] b. Nếu 0 ; 2 1      , khoảng tin cậy bên trái [ULTĐ] của P:                   1 ] 1 [ U n f f f P P [15] c. Nếu      2 1 ; 0 , khoảng tin cậy bên phải [ULTT] của P:                  1 ] 1 [ P U n f f f P [16] * Độ dài khoảng tin cậy ngắn nhất : 2 ] 1 [ 2 2   U n f f I    [17] * Kích thước mẫu tối thiểu đảm bảo độ tin cậy bằng     1 cho trước và độ dài khoảng tin cậy không vượt quá giá trị I0 cho trước.         2 2 2 0 ] 1 [ 4  U I f f n [18] Trong đó f là tần suất của mẫu sơ bộ kích thước 2  m . Thí dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của nhà máy A. Ta thấy có 160 sản phẩm loại I. Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa của nhà máy với độ tin cậy 0,95. Giải Gọi P là tỷ lệ sản phẩm loại I của nhà máy. Bài toán yêu cầu ước lượng tham số P của một biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật A[P] bằng khoảng tin cậy tối đa..
• 16. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 16 Công thức cần sử dụng là:                   1 ] 1 [ U n f f f P P Theo bài ra, ta có: 4 , 0 400 160 160 400       n m f m n 645 , 1 95 , 0 1 05 , 0      U U  Vậy khoảng tin cậy tối đa của P là:     4403 , 0 0403 , 0 4 , 0 645 , 1 400 ] 4 , 0 1 [ 4 , 0 4 , 0                   P P P Kết luận: Với độ tin cậy 0,95, tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa là: 0,4403%. V. ƢỚC LƢỢNG PHƢƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN THEO QUY LUẬT CHUẨN Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối theo quy luật chuẩn   2 ,  N , nhưng 2  = V[X] là độ phân tán của X chưa biết cần ước lượng. Để ước lượng 2  từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n:   n 2 1 X ,..., X , X W  Từ mẫu ta xác định được tham số đặc trưng mẫu của mẫu. Để chọn thống kê G ta xét 2 trường hợp : V.1. Đã biết kỳvọng toán  của biến ngẫu nhiên X Chọn : 2 2 2 *   nS G   [19] Thống kê 2  phân phối theo quy luật chuẩn với n bậc tự do : ] [ 2 n  .
• 17. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 17 Do đó với độ tin cậy     1 cho trước ta có thể tìm được cặp giá trị 2 1 &  sao cho      2 1 . Cuối cùng ta có:                    1 ] [ * ] [ * 2 1 2 2 2 2 1 2 n nS n nS P [20] Với độ tin cậy     1 cho trước, khoảng tin cậy của 2  có dạng:          ] [ * ; ] [ * 2 1 2 2 2 1 2 n nS n nS     [21] Ta có các khoảng tin cậy sau: a. Nếu 2 2 1      ,ta có khoảng tin cậy hai phía:                      1 ] [ * ] [ * 2 2 1 2 2 2 2 2 n nS n nS P [22] Cần chú ý là khoảng tin cậy này không đối xứng. b. Nếu 0 ; 2 1      , khoảng tin cậy bên phải của 2                   1 ] [ * 0 2 1 2 2 n nS P [23] c. Nếu      2 1 ; 0 , khoảng tin cậy bên trái của 2                  1 ] [ * 2 2 2 n nS P [24] V.2. Chƣa biết kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X Chọn thống kê :   2 2 2 1   S n G   
• 18. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 18 Thống kê 2  phân phối theo quy luật 2  với [ n – 1 ] bậc tự do, ta tìm được cặp giá trị 2 1 &  để sao cho      2 1 . Từ đó ta có:                        1 ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ 2 1 2 2 2 2 1 2 n S n n S n P [25] a. Nếu 2 2 1      , ta có khoảng tin cậy hai phía của 2                           1 ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ 2 2 1 2 2 2 2 2 n S n n S n P [26] b. Nếu 0 ; 2 1      , khoảng tin cậy bên trái của 2                       1 ] 1 [ 1 0 2 1 2 2 n S n P [27] c. Nếu      2 1 ; 0 , khoảng tin cậy bên phải của 2                    1 ] 1 [ ] 1 [ 2 2 2 n S n P [28] Thí dụ: Hãy ước lượng phương sai của kích thước các chi tiết trên cơ sở các số liệu mẫu cho trong bảng Kích thước SP 135 140 145 150 155 Số sản phẩm 4 8 10 5 3 Biết 05 , 0 2 1    và kích thước chi tiết phân phối theo quy luật chuẩn. Giải
• 19. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 19 Gọi X là kích thước của các chi tiết. Theo giả thiết   2 , ~   N X ; ] [X E   là kích thước trung bình chưa biết, ] [ 2 X V   là độ phân tán của X chưa biết cần ước lượng. Công thức cần sử dụng là:                          1 ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ ] 1 [ 2 2 1 2 2 2 2 2 n S n n S n P Số liệu đã có: n = 30, 1 -  = 0,9 05 , 0 2 1 , 0       Vậy:         71 , 17 29 1 56 , 42 29 1 2 95 , 0 2 2 1 2 05 , 0 2 2              n n Qua mẫu cụ thể ta tìm được : 89 , 5 63 , 34 48 , 33 . 29 30 1 48 , 33 163 , 144 2         s ms n n s ms x Vậy khoảng tin cậy của 2  là :         71 , 17 63 , 34 . 29 56 , 42 63 , 34 . 29 2     77 , 62 98 , 21 2   
• 20. tạo E-Learning Cơ hội học tập cho mọi người Xác suất và thống kê toán học – Bài 5 Trang 20 TÓM LƢỢC 1. Phương pháp mẫu cho phép giải quyết bài toán ước lượng tham số như sau: Từ tổng thể nghiên cứu, rút ra 1 mẫu ngẫu nhiên kích thước n và dựa vào đó xây dựng 1 thống kê G dùng để ước lượng  . Thống kê G phải có một số tính chất nào đó, tối thiểu phải là ước lượng không chệch của tham số θ. Có 2 phương pháp thường sử dụng G để ước lượng  : - Phương pháp ước lượng điểm và - Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy. 2. Chương này đề cập tới 3 bài toán ước lượng cụ thể, đó là: ước lượng giá trị trung bình của tổng thể, ước lượng giá trị phương sai và ước lượng tỷ lệ cấu thành của tổng thể. Chúc Anh/ Chị học tập tốt! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. TỐNG ĐÌNH QUỲ: Giáo trình xác suất thống kê.NXB Giáo dục, 1999 2. NGUYỄN CAO VĂN, TRẦN THÁI NINH: Giáo trình Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán, Nhà xuất bản Giáo dục Hà Nội 2002. 3. NGUYỄN THẾ HỆ: Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Viện Đại Học Mở Hà Nội 2011 4. NGUYỄN VĂN HỘ: Xác suất thống kê toán , Viện Đại Học Mở Hà Nội, 2001

Độ tin cậy 95% thì Z bằng bao nhiêu?

Khoảng tin cậy 95% = 0.95 = 1 - α ⇒ α = 0.05 ⇒ z0. 025 = 1.96.

Ước lượng không chênh lệch là gì?

Trong lý thuyết thống kê, một ước lượng được gọi là không chênh lệch nếu giá trị kỳ vọng của nó bằng chính giá trị thực sự của tham số mà nó ước lượng. Điều này có nghĩa là trung bình của ước lượng phải xấp xỉ bằng giá trị thực sự của tham số cần ước lượng.

Giá trị ước lượng điểm là gì?

Ước lượng điểm của một tham số tổng thể là cách thức tính toán một giá trị đơn lẽ trong tổng thể dựa trên dựa trên dữ liệu mẫu. Ước lượng khoảng của một tham số tổng thể là cách thức tính toán 2 giá trị dựa trên dữ liệu mẫu, từ đó tạo nên một khoảng được kỳ vọng chứa tham số thống kê của tổng thể.

Ước lượng tuyến tính không chệch là gì?

3. Ước lượng OLS không chệch, điều này có nghĩa là sự khác biệt giữa giá trị được dự đoán và giá trị thực tế là không có xu hướng. Tức là, trung bình của các sai số [phần dư] là bằng không.