Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu
|
A. Lý thuyết cơ bản1. Phương trình mặt cầuDạng tổng quát: Mặt cầu có tâm và bán kính có phương trình: Show
. Dạng khai triển: (*). (*) là phương trình của một mặt cầu . Khi đó có tâm và bán kính . 2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầuMặt cầu có tâm , bán kính và mặt phẳng . + : mặt phẳng và mặt cầu không cắt nhau. + : mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu . được gọi tiếp diện của mặt cầu . Khi đó là một của . + : mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có tâm và bán kính được xác định như sau: - Tâm : là hình chiếu của trên . - Bán kính . 3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầuCho đường thẳng và mặt cầu có tâm , bán kính . + : đường thẳng và mặt cầu không cắt nhau. + : đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu tại . Khi đó được gọi là tiếp tuyến của . + : đường thẳng cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt ( được gọi là cát tuyến của ). B. Bài tậpDạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu. Tìm điều kiện để phương trình dạng khai triển là phương trình của một đường trònA. Phương pháp + tâm và bán kính . + (*) là phương trình của một mặt cầu . Khi đó có tâm và bán kính . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Cho mặt cầu . Tìm tâm , bán kính của mặt cầu . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2: Cho mặt cầu . Tìm tọa độ tâm , bán kính của mặt cầu . A. . B. . C. . D. . Lời giải: . có tâm và bán kính . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình là phương trình của một mặt cầu. A. hoặc . B. . C. hoặc . D. . Lời giải: Ta có . Đề phương trình trên là phương trình mặt cầu thì Chọn đáp án A. Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kínhA. Phương pháp Mặt cầu có tâm và bán kính có phương trình. Do đó, muốn viết được phương trình của mặt cầu thì cần phải xác định được tâm và bán kính . Chú ý: - Mặt cầu có đường kính và tâm là trung điểm của . - Mặt cầu tâm đi qua điểm . - Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm : + Giả sử . + Vì nên ta có hệ gồm 4 phương trình, 4 ẩn. Giải hệ này tìm được tâm và bán kính của . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 2.1: Viết phương trình mặt cầu có tâm đi qua . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt cầu có bán kính . Vậy phương trình mặt cầu là . Vậy chọn đáp án D. Ví dụ 2.2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu đường kính ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Gọi là tâm mặt cầu đường kính suy ra là trung điểm của nên . Mà . Vậy . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.3 (Chuyên KHTN 2017 Lần 4) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm . Tính bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Phương trình mặt cầu có dạng với . Theo giả thiết ta có hệ phương trình: . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lăng trụ tam giác có và . Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm ? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Phương trình mặt cầu có dạng với . Theo giả thiết ta có hệ phương trình . Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là . Chọn đáp án C. Ví dụ 2.5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng , đi qua điểm và gốc tọa độ sao cho chu vi tam giác bằng . Phương trình mặt cầu là A. hoặc . B. hoặc . C. hoặc . D. hoặc . Lời giải: Gọi là tâm của mặt cầu . Khi đó nên ta suy ra hệ . Giải hệ ta tìm được hoặc . Chọn đáp án D. Dạng 3. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầuVí dụ 3.1: Cho mặt phẳng và mặt cầu . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? A. cắt theo một đường tròn. B. tiếp xúc với . C. có điểm chung với . D. đi qua tâm của . Lời giải: Mặt cầu tâm và có bán kính . . Vậy tiếp xúc với . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.2: Cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm tất cả các giá trị thực của để và tiếp xúc với nhau. A. . B. . C. . D. . Lời giải: có tâm và bán kính . Để và tiếp xúc với nhau thì . Chọn đáp án A. Ví dụ 3.3: Cho mặt cầu và mặt phẳng . Tìm tất cả các giá trị thực của để và có điểm chung. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt cầu có tâm và bán kính . Để và cắt nhau thì: . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Bán kính mặt cầu là . Phương trình của mặt cầu là . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng . Phương trình mặt cầu . Viết phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Vì có dạng . Mặt phẳng tiếp xúc với nên (vì ). Vậy phương trình của mặt phẳng là . Chọn đáp án A. Ví dụ 3.6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu . Tìm tọa độ tâm của đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Tâm của đường tròn giao tuyến là hình chiếu vuông góc của lên . Đường thẳng qua và vuông góc với có phương trình . Do . Ta có . Vậy . Chọn đáp án D. Ví dụ 3.7: Trong không gian , cho mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính nhỏ nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt cầu có tâm và bán kính . Ta có . Do đó, mặt phẳng qua luôn cắt mặt cầu theo một đường tròn. Gọi là bán kính của đường tròn và là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Vì vuông tại . Đẳng thức xảy ra . Khi đó là vecto pháp tuyến của mặt phẳng . . Chọn đáp án B. Ví dụ 3.8: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có phương trình và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng song song với và cắt theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng . A. . B. . C. . D. Cả A và B. Lời giải: Do nên có phương trình . có tâm , bán kính . Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng nên có bán kính . Khoảng cách từ đến là . Do đó . Vậy có phương trình . Ví dụ 3.9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho biết là tập hợp tâm của các mặt cầu đi qua điểm đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong là A. . B. . C. 3. D. . Lời giải: Gọi là tâm của mặt cầu . Theo đề bài ta có . . . Vậy tập hợp tâm của mặt cầu là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng hay chính là đường tròn có bán kính . Vậy diện tích của hình phẳng cần tìm là . Ví dụ 3.10 (Đề minh họa lần 2 năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , xét các điểm và với và . Biết rằng khi thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng và đi qua . Tính bán kính của mặt cầu đó? A. . B. . C. . D. . Lời giải: Gọi và là bán tâm và bán kính của mặt cầu cố định trong đề bài. Ta có Phương trình là . . Vì nên . Do đó . Ta xét hai trường hợp: TH1: Nếu thì thay vào, ta có Đăng thức này đúng với mọi nên hay thay vào (*) thì hay . TH2: Nếu thì tương tự trên, ta có hay . Suy ra hay (không thỏa mãn). Vậy mặt cầu cần tìm là . Nhận xét: Dạng 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầuVí dụ 4.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : và mặt cầu : . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. và cắt nhau tại hai điểm. B. tiếp xúc với . C. và không có điểm chung. D. Tất cả các đáp án trên đều sai. Lời giải: Đường thẳng có vecto chỉ phương và đi qua điểm . Chuyển về dạng tham số . Mặt cầu có tâm và bán kính . Xét phương trình (vô nghiệm) Vậy và không có điểm chung. Chọn đáp án C. Ví dụ 4.2: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Mặt cầu có tâm và bán kính . Đường thẳng đi qua và có . tiếp xúc với đường thẳng . . Chọn đáp án B. Ví dụ 4.3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu có tâm là điểm và cắt tại hai điểm phân biệt sao cho đoạn thẳng có độ dài bẳng 4. A. . B. . C. . D. . Lời giải: Giả sử mặt cầu cắt tại hai điểm sao cho có bán kính . Gọi là trung điểm đoạn . Khi đó vuông tại . Ta có . . Vậy phương trình của mặt cầu cần tìm là . Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 4.4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Viết phương trình mặt cầu tâm . Viết phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải: Gọi . Khi đó . Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là . Chọn đáp án A. Ví dụ 4.5: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và đường thẳng . Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm sao cho độ dài đoạn . A. . B. . C. . D. . Lời giải: có tâm và bán kính . Gọi là trung điểm của . Đường thẳng qua và có vecto chỉ phương . Suy ra . Ta có . Chọn đáp án D. |
