- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với [Năm 2022] Đề thi Giữa kì 2 Toán lớp 9 có đáp án [6 đề], chọn lọc giúp học sinh ôn tập và đạt kết quả cao trong bài thi Giữa kì 2 Toán 9.
Tải xuống
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 1]
I. Trắc nghiệm [1 điểm]
Câu 1: Hệ phương trình
Khi nào hệ có nghiệm duy nhất
A]
B]
C]
D]
Câu 2: Một nghiệm của phương trình x + 3y = 5 là
A] [1; 2]
B] [2; 3]
C] [2; 1]
D] [4; 1]
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng
A] Góc ở tâm có số đo bằng
B] Góc nội tiếp có số đo bằng với số đo cung bị chắn
C] Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn có số đo bằng
D] Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng
Câu 4: Gọi l là độ dài cung ; bán kính đường tròn là R; số đo cung là n [độ]. Đọ dài cung là:
A]
B]
C]
D]
II. Tự luận
Bài 1 [1,5 điểm]: Cho hệ phương trình:
a] Giải hệ phương trình khi m = 1
b] Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 2 [1,5 điểm]: Cho hàm số y = 0,2x2 và y = x.
a] Vẽ hai đồ thị của những hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b] Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
Bài 3 [2 điểm]: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến sớm hơn dự định 3h. Nếu mỗi giờ xe chạy chậm hơn dự định 10km thì đến nơi chậm mất 5h. Tính vận tốc xe lúc đầu và thời gian dự định đi trên quãng đường AB.
Bài 4 [3,5 điểm]: Cho đường tròn [O; R] và một điểm A ngoài đường tròn [O] sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với [O] [B, C là các tiếp điểm].
a] Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp và OA vuông góc với BC
b] Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tâm [O] tại D [D khác B], AD cắt đường tròn [O] tại E [E khác D]. Tính tích AD.AE theo R.
c] Tia BE cắt AC tại F. Chứng minh F là trung điểm AC.
d] Tính theo R diện tích tam giác BDC.
Bài 5 [0,5 điểm]: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ĐÁP ÁN
I. Trắc nghiệm [1 điểm]
Câu 1: Hệ phương trình
Khi nào hệ có nghiệm duy nhất
A]
B]
C]
D]
Lời giải:
Hệ có nghiệm duy nhất khi
Câu 2: Một nghiệm của phương trình x + 3y = 5 là
A] [1; 2]
B] [2; 3]
C] [2; 1]
D] [4; 1]
Lời giải:
Ta có 2 + 3.1 = 5 nên [2; 1] là 1 nghiệm của phương trình x + 3y = 5
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng
A] Góc ở tâm có số đo bằng
B] Góc nội tiếp có số đo bằng với số đo cung bị chắn
C] Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn có số đo bằng
D] Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng
Lời giải:
A] Sai vì góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn
B] Sai vì góc nội tiếp có số đo bằng
C] Sai vì góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn có số đo bằng
D] Đúng vì góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng
Câu 4: Gọi l là độ dài cung tròn α; bán kính đường tròn là R; số đo cung α là n [độ]. Đọ dài cung α là :
A]
B]
C]
D]
Lời giải:
Công thức tính độ dài cung tròn là:
II. Tự luận
Bài 1:
a] Thay m = 1 vào hệ ta có:
Vậy khi m = 1 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm [x; y] = [11; -6]
b]
Từ [1] ta có: m = x + y – 4 thay vào [2] ta được:
2x + 3y = 4[x + y – 4]
⇔ 2x + 3y = 4x + 4y – 16
⇔ 4x +4y – 16 – 2x – 3y = 0
⇔ 2x + y – 16 = 0
Vậy hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m là 2x + y – 16 = 0.
Bài 2:
a] Đồ thị hàm số y = 0,2x2
Bảng giá trị
| x | –5 | –3 | 0 | 3 | 5 |
| y = 0,2x2 | 5 | 1,8 | 0 | 1,8 | 5 |
Đồ thị hàm số y = x đi qua gốc tọa độ O và điểm [1;1].
b] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:
Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại 2 điểm: O [0; 0] và M [5; 5].
Bài 3:
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x [km/h] [x > 10]
Gọi thời gian dự định của ô tô là y [h] [y > 3]
Quãng đường AB là: S = xy [km] [1]
Nếu mỗi giờ ô tô tăng vận tốc 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x + 10 [km/h]
Vì ô tô đến sớm hơn 3h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y – 3 [h]
Quãng đường AB là: S = [x + 1][y – 3] [km] [2]
Từ [1] và [2] ta có phương trình:
xy = [x + 10][y – 3]
⇔ xy = xy – 3x + 10y – 30
⇔ 3x – 10y = –30 [*]
Nếu mỗi giờ ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h thì vận tốc lúc đó là x – 10 [km/h]
Vì ô tô đến muộn hơn 5h nên thời gian đi hết quãng đường AB là y + 5 [h]
Quang đường AB là: [x – 10][y + 5] [km] [3]
Từ [1] và [3] ta có phương trình:
xy = [x – 10][y + 5]
⇔ xy = xy + 5x – 10y – 50
⇔ 5x – 10y = 50 [**]
Từ [*] và [**] ta có hệ phương trình
Lấy [5] – [4] ta được:
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h và thời gian dự định của ô tô đi hết quãng đường AB là 15h.
Bài 4:
a] Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O nên
Xét tứ giác OBAC có:
Vậy tứ giác OBAC nội tiếp [dấu hiệu nhận biết]
Chứng minh OA⊥BC
Vì OB = OC = R nên O cách đều hai điểm B và C nên O thuộc đường trung trực của BC
Vì AB = AC [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau] nên A cách đều B và C nên A thuộc đường trung trực của BC
Do đó OA là đường trung trực của BC.
Nên OA là trung trục của BC.
b] Xét ABE và ADB có:
⇒ ΔABE đồng dạng với ΔADB [g – g]
⇒
Mặt khác ΔABO vuông tại B [cmt]
⇒
⇒ AB = 2R√2
Vậy AD.AE = 8R2
c] Chứng minh F là trung điểm của AC
Tương tự câu b] ta có FC2 = EF.FB [1]
Mặt khác BD // AC nên
Mà
Xét ΔAFE và ΔBFA có:
⇒ ΔAFE đồng dạng với ΔBFA
⇒
Từ [1] và [2]: FC2 = FA2 FC = FA
Vậy F là trung điểm của AC.
d] Do BD // AC và OC⊥AC nên OC⊥BD tại K và K là trung điểm BD [đường kính vuông góc với dây]
Xét ΔCKB và ABO có:
Cho nên ΔCKB đồng dạng với ΔABO, từ đó:
ABO vuông tại B, có BH là đường cao:
BH.OA = OB.AB = R.2R√2 = 2R2√2
Do đó:
⇒
Từ [3] và [4]:
⇒
Cũng từ [3] và [4]:
Từ đó: BD = 2KB =
Vậy diện tích tam giác BDC:
Bài 5:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra ⇔
Vậy Pmin =
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 2]
Bài 1 [2 điểm]: Cho biểu thức:
Điều kiên x > 0 và x ≠ 1
a] Rút gọn A.
b] Tìm x để A < 0
Bài 2 [2 điểm]: Cho hệ phương trình với m là tham số
a] Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
b] Tìm m để hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 3 [2 điểm]: Hai bạn An và Khoa cùng làm chung một công việc sau 6 giờ thì xong. Biết nếu làm một mình xong công việc thì Khoa làm lâu hơn An 9 giờ. Tính thời gian làm một mình xong công việc của An, Khoa.
Bài 4 [3,5 điểm]: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I [I nằm giữa A và O]. Lấy điểm E trên cung nhỏ BC [ E khác B và C], AE cắt CD tại F. Chứng minh:
a] BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b] AE.AF = AC2.
c] Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 5 [0,5 điểm]: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b ≤ 2√2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a]
b] Để A < 0 thì
⇔ √x < 1 ⇔ x < 1. Kết hợp với điều kiện ban đầu 0 < x < 1
Bài 2:
a]
Từ [1] ta có: x = 2m – my thay vào [2] ta được:
Để hệ [*] có nghiệm duy nhất thì phương trình [**] phải có nghiệm duy nhất.
[**] có nghiệm duy nhất ⇔ 1 – m2 ≠ 0
Khi đó: [1 – m2]y = –2m2 – m + 1
Vì x = 2m – my
Hệ phương trình có nghiêm duy nhất khi
b] Để hệ [*] vô nghiệm thì phương trình [**] phải vô nghiệm.
[**] vô nghiệm
Vậy m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 3:
Gọi thời gian An làm một mình xong công việc là x [h]; thời gian Khoa làm một mình xong công việc là y [h] [y > x > 9]
Vì Khoa làm một mình xong công việc lâu hơn An là 9h nên ta có phương trình: y – x = 9 [1]
1h An làm được
1h Khoa làm được
Vì cả hai bạn cùng làm thì sau 6 giờ xong công việc nên ta có phương trình:
⇔
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy An làm một mình thì 9h xong công việc; Khoa làm một mình thì 18h xong công việc.
Bài 4:
a] Tứ giác BEFI có:
Do đó:
Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF
b] Vì AB ⊥ CD nên
suy ra
Xét ∆ACF và ∆AEC có
Suy ra: ∆ACF đồng dạng với ∆AEC [g – g]
⇒ AE.AF = AC2
c] Theo câu b] ta có
Mặt khác
Bài 5:
Ta có [a + b]2 – 4ab = [a – b]2 ≥ 0 ⇒ [a + b]2 ≥ 4ab
⇔
Vậy: min P = √2.
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 3]
Bài 1 [2 điểm]: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a] x2 – 5x + 6 = 0
b]
Bài 2 [2 điểm]: Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ vòi hai chảy trong 3 giờ thì được 75% bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 3 [2 điểm]: Cho hàm số y = ax2.
a] Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y = –2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1.
b] Vẽ đồ thị của hàm số y = –2x + 3 và của hàm số y = ax2 với giá trị của a vừa tìm được trong câu a] trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Bài 4 [3, 5 điểm]: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là một điểm thuộc cạnh AC [M khác A và C ]. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng :
a] ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn.
b] NM là tia phân giác của góc
c] BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2.
Bài 5 [0,5 điểm]: Cho các số a, b, c ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1.
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a] x2 – 5x + 6 = 0
Δ = b2 – 4ac = [–5]2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2; 3}
b]
Đặt:
Lấy [1] + [2] ta được:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm [x; y] là [1; –1].
Bài 2:
Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x [h]; vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y [h] [x; y > 0].
Một giờ vòi thứ nhất sẽ chảy được
Một giờ vòi thứ hai sẽ chảy được
Đổi 4h 48’ = 4,8h
75% =
Vì hai vòi chảy trong 4,8h thì đầy bể nên ta có phương trình:
Vì vòi thứ nhất chảy trong 4h; vòi thứ hai chảy trong 3h thì được
Thừ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Đặt
Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 8h sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 12h sẽ đầy bể.
Bài 3:
a] Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = –2x + 3 nên tọa độ A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Ta có: y = –2.1 + 3 = 1
Vậy điểm A [1; 1]
Điểm A [1; 1] thuộc đồ thị hàm số y = ax2 nên tọa độ A nghiệm đúng phương trình parabol.
Ta có: 1 = a.12 ⇔ a = 1
Vậy hàm số đã cho là y = x2
b] Vẽ đồ thị hàm số y = x2
Các giá trị của x và y:
| x | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y = x2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Vẽ đồ thị hàm số y = –2x + 3
Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ [0; 3]
Cho y = 0 thì x = 1,5 ⇒ [1,5; 0]
Bài 4:
a] Xét tứ giác ABNM ta có:
Từ [1] và [2] suy ra ABNM là tứ giác nội tiếp [tổng hai góc đối bằng 180o]
Xét tứ giác ABCI có:
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC
⇒ ABCI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b] Tứ giác ABNM nội tiếp suy ra
Tứ giác MNCI nội tiếp suy ra
Tứ giác ABCI nội tiếp suy ra
Từ [3], [4], [5] suy ra
c] ∆BNM và ∆BIC có chung góc B và
Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB.
Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 [6].
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AB2 + AC2 [7].
Từ [6] và [7] suy ra điều phải chứng minh.
Bài 5:
Vì b, c ∈ [0; 1] nên suy ra b2 ≤ b; c3 ≤ c. Do đó:
a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ a + b + c – ab – bc – ca [1].
Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = [a – 1][b – 1][c – 1] – abc + 1 [2]
Vì a, b, c ∈ [0; 1] nên [a – 1][b – 1][c – 1] ≤ 0 ; –abc ≤ 0
Do đó từ [2] suy ra: a + b + c – ab – bc – ca ≤ 1 [3].
Từ [1] và [3] suy ra: a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1.
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 4]
I. Trắc nghiệm [1 điểm]
Câu 1: Hệ phương trình
Khi nào hệ vô nghiệm
A]
B]
C]
D]
Câu 2: Một nghiệm của phương trình 2x + 3y = 1 là
A] [–1; 2]
B] [2; –3]
C] [2; –1]
D] [4; 1]
Câu 3: Khẳng định nào sau đây sai
A] Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn
B] Góc nội tiếp có số đo bằng với số đo cung bị chắn
C] Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn có số đo bằng
D] Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng
Câu 4: Gọi l là độ dài cung α; bán kính đường tròn là R; số đo cung α là n [độ]. Đọ dài cung α là:
A]
B]
C]
D]
II. Tự luận
Bài 1 [2 điểm]: Cho biểu thức:
a] Rút gọn P.
b] Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 2 [2 điểm]:
a] Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = –x + 2 và Parabol [P]: y = x2.
b] Cho hệ phương trình:
Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm duy nhất [x; y] = [2; –1].
Bài 3 [2 điểm]: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 60m. Nếu tăng chiều dài lên 4 lần và chiều rộng lên 3 lần thì chu vi khu vườn sẽ tăng 162m. Tìm diện tích khi vườn.
Bài 4 [3,5 điểm]: Cho đường tròn [O], đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =
a] Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp .
b] Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC.
c] Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Bài 5 [0,5 điểm]: Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 6 và 2x + y ≤ 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K = x2 – 2x – y.
ĐÁP ÁN
I. Trắc nghiệm [1 điểm]
Câu 1: Hệ phương trình
Khi nào hệ vô nghiệm
A]
B]
C]
D]
Lời giải
Hệ vô nghiệm khi
Câu 2: Một nghiệm của phương trình 2x + 3y = 1 là
A] [-1; 2]
B] [2; -3]
C] [2; -1]
D] [4; 1]
Lời giải:
Ta có: 2.2 + 3.[-1] = 4 – 3 = 1. Vậy [2; -1] là nghiệm của phương trình 2x + 3y = 1
Câu 3: Khẳng định nào sau đây sai
A] Góc ở tâm có số đo bằng số đo cung bị chắn
B] Góc nội tiếp có số đo bằng với số đo cung bị chắn
C] Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn có số đo bằng
D] Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng
Lời giải:
B sai vì Góc nội tiếp có số đo bằng
Câu 4: Công thức tính độ dài cung tròn là:
A]
B]
C]
D]
Lời giải:
Công thức tính độ dài cung tròn là
II. Tự luận
Bài 1:
1] Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta có:
2] Ta có:
P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 ⋮ [a + 2]
Bài 2:
a] Hoành độ giao điểm của đường thẳng [d] và Parabol [P] là nghiệm của phương trình:
–x + 2 = x2 ⇔ x2 + x – 2 = 0.
Có a = 1; b = 1; c = –2 nên a + b + c = 0
Phương trình này có tổng các hệ số bằng 0 nên có 2 nghiệm là
+ Với x = 1 thì y = 1, ta có giao điểm thứ nhất là [1;1]
+ Với x = -2 thì y = 4, ta có giao điểm thứ hai là [–2; 4]
Vậy [d] giao với [P] tại 2 điểm có tọa độ là [1; 1] và [–2; 4]
b] Thay x = 2 và y = –1 vào hệ đã cho ta được:
Thử lại : Thay a = 5 và b = 3 vào hệ đã cho thì hệ có nghiệm duy nhất [2; –1].
Vậy a = 5; b = 3 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất [2; –1].
Bài 3:
Gọi chiều dài của khu vườn là x [m]; chiều rộng của khu vườn là y [m] [x > y > 0]
Vì chu vi khu vườn là 60m nên ta có phương trình:
2.[x + y] = 60
⇔ x + y = 60:2
⇔ x + y = 30 [1]
Nếu tăng chiều dài lên 4 lần thì chiều dài mới là 4x [m]; nếu tăng chiều rộng lên 3 lần thì chiều rộng mới là 3y [m].
Chu vi khu vườn mới là: 2[4x + 3y] = 8x + 6y [m]
Vì chu vi khu vườn mới hơn chu vi khu vườn cũ 162m nên ta có phương trình:
[8x + 6y] – 2[x + y] = 162
⇔ 8x + 6y – 2x – 2y = 162
⇔ 6x + 4y = 162 [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Diện tích khu vườn ban đầu là:
S = 21.9 = 189 m2
Bài 4:
a] Theo giả thiết MN ⊥ AB tại I
mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp.
b] Theo giả thiết MN ⊥ AB, suy ra A là điểm chính giữa của
⇒
⇒ AM2 = AE.AC.
c] Theo trên
Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM ⇒ NO1 ⊥ BM. Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM có bán kính là O1M.
Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn [O1], bán kính O1M với đường tròn [O] trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.
Bài 5:
Từ
Suy ra : min K =
Ta có : 2x2 + xy ≤ 4x [x ≥ 0]
Suy ra: max K = 0 khi
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 5]
Bài 1 [2 điểm]: Cho biểu thức
a] Rút gọn biểu thức A.
b] Tính giá trị của A khi x = 2√2 + 3.
Bài 2 [2 điểm]: Cho hai hàm số: y = x2 và y = x + 2
a] Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
b] Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Bài 3 [2 điểm]: Một công ty dự định sản xuất một 1000 hộp khẩu trang so với quy định. Tuy nhiên do dịch bệnh Covid – 19 bùng phát nên công ty đã đẩy nhanh tiến độ mỗi ngày 10 hộp khẩu trang để kịp phục vụ thị trường do vậy công ty đã hoàn thành sớm hơn kế hoạch 5 ngày. Hỏi theo kế hoạch ban đầu công ty dự kiến sản xuất trong bao nhiêu ngày.
Bài 4 [3, 5 điểm]: Cho đường tròn [O; R] và điểm A nằm ngoài [O] sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với [O] [B, C là các tiếp điểm]. Vẽ cát tuyến AMN với [O] [M nằm giữa A và N và AMN không đi qua O]. Gọi I là trung điểm của MN.
a] Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C thuộc một đường tròn
b] Chứng minh AM.AN = 8R2
c] Tính độ dài AM, AN khi MN = R√3
Bài 5 [0, 5 điểm]: Cho ba số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a]
b] x = 2√2 + 3 = 2 + 2√2 + 1 = [√2]2 + 2√2.1 + 12 = [√2 + 1]2
Thay vào A ta được:
Bài 2:
a] Vẽ đồ thị thông qua bảng giá trị
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Vẽ đồ thị y = x + 2
Cho x = 0 ⇒ y = 2 ⇒ A[0; 2]
Cho y = 0 ⇒ x = −2 ⇒ B[−2; 0]
Đồ thị hàm số y = x + 2 qua các điểm A[0, 2] và B[-2,0].
b] Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
x2 = x + 2 hay x2 – x – 2 = 0.
Ta có: a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0 do đó phương trình có nghiệm
Với x = -1 ⇒ y = 1 ⇒ M[-1; 1]
Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ N[2; 4]
Vậy hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M [-1, 1] và N [2, 4].
Bài 3:
Gọi thời gian công ty dự định sản xuất khẩu trang là x [ngày] [x > 5]
Gọi năng suất làm vệc ban đầu của công ty là y [sản phẩm/ngày] [y > 0; y ∈ Ν*]
Vì ban đầu công ty dự định sản xuất 1000 hộp khẩu trang nên ta có phương trình: xy = 1000 [1]
Vì hoàn thành sớm hơn 5 ngày nên thời gian thực tế công ty sản xuất là x – 5 [ngày]
Vì mỗi ngày công ty làm thêm 10 hộp khẩu trang nên năng suất thực tế của công ty là y + 10 [sản phẩm/ngày]
Ta có phương trình: 1000 = [x – 5][y +10] [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy thời gian công ty dự định sản xuất khẩu trang là 25 ngày.
Bài 4:
a] Ta có:
Tương tự nên C thuộc đường tròn đường kính OA.
Do I là trung điểm của MN nên OI vuông góc với MN
⇒
Vậy 5 điểm O, A, B, C, I cùng thuộc đường tròn đườn kính OA
b] Xét ΔABM và ΔANB có:
⇒ ΔABM đồng dạng với ΔANB
⇒
Xét tam giác OAB vuông tại O có:
AB2 = OA2 – OB2 = [3R]2 – R2 = 8R2
c] Gọi độ dài AM là x
⇒ AN = x + R√3
Theo câu b ta có: x[x + R√3] = 8R2 ⇒ x2 + xR√3 – 8R2 = 0
Vậy
Bài 5:
Ta có: [a - b]2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab
a3 + b3 + abc = [a + b][a2 - ab + b2 ] + abc
a3 + b3 + abc ≥ [a + b][2ab - ab] + abc = ab[a + b] + abc
a3 + b3 + abc ≥ ab[a + b + c]
Vì a, b, c > 0 nên
Tương tự ta có:
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Phòng Giáo dục và Đào tạo .....
Đề thi Giữa kì 2
Năm học 2021 - 2022
Bài thi môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: phút
[không kể thời gian phát đề]
[Đề số 6]
Bài 1 [2 điểm]: Cho biểu các biểu thức:
a] Tính A khi x =
b] Rút gọn B
c] Cho P = B: A. Tìm x để P < 3
Bài 2 [2 điểm]: Cho hệ phương trình với m là tham số
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài 3 [2 điểm]: Hai xí nghiệp tổng cộng phải làm 360 dụng cụ. Trên thực tế xí nghiệp I vượt mức 12%, xí nghiệp II vượt mức 10% nên tổng dụng cụ làm được là 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm so với dự định.
Bài 4 [3, 5 điểm]: Trên đường tròn [O] đường kính AB, lấy điểm D [D khác A; D khác B]. Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BD. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AB [C khác A và C khác B]. Đường thẳng CE cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai là F. GỌi G là giao điểm của AE và DF.
a] Chứng minh:
b] Chứng minh CG vuông góc với AD.
c] Kẻ đường thẳng đi qua C, song song với AD và cắt DF tại H. Chứng minh CH = CB.
Bài 5 [0,5 điểm]: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: x + y + x = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
ĐÁP ÁN
Bài 1:
a] Thay x =
b]
c] Ta có:
P = B : A =
Kết hợp với điều kiện đề bài thì để P < 3 thì 0 < x < 9
Bài 2:
Từ phương trình [1] ta có:
y = mx – 2m thay vào phương trình [2] ta có:
4x – m[mx – 2m] = m + 6
⇔ 4x – m2x + 2m2 = m + 6
⇔ [4 – m2]x + 2m2 – m – 6 = 0 [II]
Để hệ phương trình [I] có nghiệm thì phương trình [II] phải có nghiệm.
Để phương trình [II] có nghiệm ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: [II] có nghiệm duy nhất
Trường hợp 2: Phương trình [II] có vô số nghiệm
Kết hợp hai trường hợp ta được m ≠ –2 thì hệ phương trình luôn có nghiệm.
Bài 3:
Gọi số dụng cụ xí nghiệp I phải làm là x [dụng cụ] [x > 0; x ∈ N*]
Gọi số dụng cụ xí nghiệp II phải làm là y [dụng cụ] [y > 0; x ∈ N*]
Vì ban đầu cả hai xí nghiệp phải làm 360 dụng cụ nên ta có phương trình:
x + y = 360 [1]
Vì xí nghiệp I vớt mức 12% nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp I làm được là: [100 + 12]%x = 112%x = 1,12x
Vì xí nghiệp II vượt mức 10 % nên số dụng cụ thực tế xí nghiệp II làm được là: [100 + 10]%y = 110%y = 1,1y.
Thực tế cả hai xí nghiệp đã làm được 400 dụng cụ nên ta có phương trình:
1,12x + 1,1y = 400 [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ phương trình:
Vậy số dụng cụ xí nghiệp I cần làm theo kế hoạch là 200 dụng cụ; số dụng cụ xí nghiệp II cần làm theo kế hoạch là 160 dụng cụ.
Bài 4:
a] Xét đường tròn [O], ta có:
⇒
Xét tứ giác AGCF có:
⇒ 2 đỉnh A và F cùng nhìn cạnh GC dưới hai góc bằng nhau,
⇒ Tứ giác AGCF là tứ giác nội tiếp.
b] Tứ giác AGCF là tứ giác nội tiếp
⇒
Mà
⇒
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Do đó BD // GC
MÀ BD vuông góc với AD [
⇒ GC ⊥ AD
c] Gọi M là giao điểm của AB và DF
Do CH // AD nên ta có:
Lại có: AE là phân giác góc
⇒
Mặt khác, ta lại có: CG // BD nên:
Từ [1]; [2]; [3] ⇒
Bài 5:
Ta có:
Ta lại có:
Vậy
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Bộ đề thi năm học 2021 - 2022 các lớp các môn học được Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm tổng hợp và biên soạn theo Thông tư mới nhất của Bộ Giáo dục và Đào tạo, được chọn lọc từ đề thi của các trường trên cả nước.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.