Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn [O] tại C và tiếp xúc với đường tròn [O] tại D. Vẽ đường tròn [I] qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {CAD} + \widehat {CBD} = {180^o}\]
b] Tứ giác BCED là hình bình hành.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh tứ giác BCED có các cặp cạnh đối song song => BCED là hình bình hành.
+] Từ tứ giác ACED nội tiếp đường tròn \[\left[ I \right] \Rightarrow \widehat {CAD} + \widehat {CED} = {180^0}\] , từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat {AEC} = \widehat {ADC}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn \[\left[ I \right]\]]. Mà \[\widehat {ADC} = \widehat {ABD}\] [góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD của đường tròn \[\left[ {O'} \right]\]].
\[ \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ABD}\]. Mà hai góc này ở vị trí so le song \[ \Rightarrow BD\parallel EC\].
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \[BC\parallel DE\].
Từ đó suy ra tứ giác BCED là hình bình hành [Tứ giác có các cặp cạnh đối song song] \[ \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CED}\] [1] [hai góc đối của hình bình hành].
Tứ giác ACED nội tiếp đường tròn \[\left[ I \right] \Rightarrow \widehat {CAD} + \widehat {CED} = {180^0}\] [2].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow \widehat {CAD} + \widehat {CBD} = {180^0}\].
b] Tứ giác BCED là hình bình hành [cmt].