Đề bài
Cho khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]có đáy là hình chữ nhật với \[AB = \sqrt 3 \], \[AD = \sqrt 7 \]. Hai mặt bên \[\left[ {ABB'A'} \right]\] và \[\left[ {ADD'A'} \right]\] lần lượt tạo với đáy những góc450và600. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải chi tiết
Kẻ \[\eqalign{ & A'H \bot \left[ {ABCD} \right]\left[ {H \in \left[ {ABCD} \right]} \right], \cr & HM \bot AD\left[ {M \in AD} \right],HK \bot AB\left[ {K \in AB} \right]. \cr} \]
Theo định lí ba đường vuông góc, ta có
\[AD \bot A'M,AB \bot A'K\]
\[ \Rightarrow \widehat {A'MH} = {60^0},\;\widehat {A'KH} = {45^0}\]
Đặt \[A'H = x\]. Khi đó
\[A'H = x;\sin {60^0} = {{2 x } \over\sqrt 3}.\]
\[\eqalign{ & AM = \sqrt {A'{A^2} - A'{M^2}}\cr& = \sqrt {{{3 - 4{x^2}} \over 3}} = HK. \cr} \]
Nhưng \[HK = x\cot {45^0} = x,\]
suy ra \[x = \sqrt {{{3 - 4{x^2}} \over 3}} \Rightarrow x = \sqrt {{3 \over 7}.} \]
Vậy \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AD.AB.x \]\[= \sqrt 7 .\sqrt 3 .\sqrt {{3 \over 7}} = 3.\]