Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] với \[AC < AB.\] Trên tia đối của tia \[BC\] lấy điểm \[D\] sao cho \[BD = AB.\] Trên tia đối của tia \[CB\] lấy điểm \[E\] sao cho \[CE = AC.\] Vẽ các đoạn thẳng \[AD, AE.\]
a] Hãy so sánh góc \[ADC\] và góc \[AEB.\]
b] Hãy so sánh các đoạn thẳng \[AD\] và \[AE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.
Lời giải chi tiết
a]Tam giác \[ABC\] có \[AC < AB\] [theo giả thiết] nên \[\widehat {ACB} > \widehat {ABC}\][1] [quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác].
\[BD = BA\] [theo giả thiết]nên tam giác \[ABD\] cân tại \[B\], do đó \[\widehat {ADB} = \widehat {DAB}\].
Góc \[ABC\] làgóc ngoài ở đỉnh \[B\] của tam giác \[ABD\] nên
\[\widehat {ABC} = \widehat {ADB} + \widehat {DAB}\] hay \[\widehat B = 2 \widehat D\] [2]
\[CE=CA\] [theo giả thiết] nên tam giác \[ACE\] cân ở đỉnh, do đó \[\widehat {CAE} = \widehat {CEA}\].
Góc \[ACB\] làgóc ngoài ở đỉnh \[C\] của tam giác \[ACE\] hay \[\widehat C = 2\widehat E \] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra\[\widehat {ADC} < \widehat {AEB}\]
b] Trong tam giác \[AED\], ta có \[\widehat {ADE} < \widehat {AED}\][theo câu a]
Suy ra \[ AD > AE\] [quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác].