Đề bài
Cho tam giác ABC nhọn [AB < AC], vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.
a] Chứng minh rằng \[\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\]
b] Kẻ \[MI \bot AH\left[ {I \in AH} \right]\] , gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.
Lời giải chi tiết
a] Ta có MN là đường trung trực của BC [gt] \[ \Rightarrow MN \bot BC.\]
Mà \[AH \bot BC\] [AH là đường cao của tam giác ABC]. Nên MN // AH.
M thuộc đường trung trực của BC [gt].
=> MB = MC => MBC cân tại M
Do đó MN là đường phân giác của MBC
\[ \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {NMC}.\]
Mà \[\widehat {NMC} = \widehat {HAC}\] [hai góc đồng vị và MN // AH]
Vậy \[\widehat {BMN} = \widehat {HAC}.\]
b] Ta có \[\widehat {BMN} = \widehat {HAC} \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {KAM}\]
Mà \[\widehat {BMN} = \widehat {AKM}\] [hai góc so le trong và MN // AH]. Nên \[\widehat {KAM} = \widehat {AKM}.\]
Do đó AKM cân tại M.
Lại có MI là đường cao của tam giác AKM [\[MI \bot AK\] tại I].
Nên MI cũng là đường trung tuyến của tam giác AKM.
Vậy I là trung điểm của AK.