Đề bài
Bài 1 [2,5 điểm].
Tính:
a] \[A = \left[ { - 1436} \right] - \left[ { - 1586 + \left| { - 532} \right|} \right]\]\[ - \left[ {568 + 468} \right] + 1434\]
b] \[B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}}\]
Bài 2 [2 điểm].
a] Tìm số nguyên \[x\] sao cho: \[{\left| { - 2} \right|^{10}} - [x + 24]\] \[ = 80 - \left[ {[ - 4]{{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\]
b] Tìm các cặp số nguyên \[\left[ {x;y} \right]\] sao cho: \[\left| {x - 4} \right| + \left| {y + 5} \right| = 1\]
Bài 3 [2,0 điểm].
Số học sinh khối THCS của trường THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam tham gia thi độ nghi thức trong khoảng từ \[800\] đến \[1000\] em, được xếp thành các hàng. Nếu xếp mỗi hàng\[20\] thì dư \[9\] em; nếuxếp mỗi hàng \[30\] thì thiếu \[21\] em; nếuxếp mỗi hàng \[35\] thì thiếu \[26\] em. Hỏi có tất cả bao nhiêu em dự thi nghi thức đội?
Bài 4 [2,5 điểm].
Cho đoạn thẳng AB có độ dài \[9cm\], điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho \[AC = 3cm\]. Điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho \[CD = \dfrac{1}{3}DB\].
a] Tính độ dài của các đoạn thẳng CB, CD và AD.
b] Chứng minh điểm D là trung điểm của AB.
Bài 5 [1 điểm].
a] Tìm số tự nhiên \[a\] nhỏ nhất sao cho khi \[a\] chia cho \[5\]; cho \[7\]; cho \[9\] có số dư theo thứ tự là \[4\,;\,\,2\,;\,\,7.\]
b] [Dành riêng cho lớp 6A] Tính: \[A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + \cdot \cdot \cdot + {2017.2018^2}\]
Lời giải chi tiết
Bài 1.
\[\begin{array}{l}a]\,\,A = \left[ { - 1436} \right] - \left[ { - 1586 + \left| { - 532} \right|} \right] - \left[ {568 + 468} \right] + 1434\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = [ - 1436] - \left[ { - 1586 + 532} \right] - \left[ {568 + 468} \right] + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = [ - 1436] + 1586 - 532 - 568 - 468 + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\rm{[}}[ - 1436] - 568{\rm{]}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{[1586}}\,\,{\rm{ + 1434]}} - \,[532 + 468]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,[ - 2004] + 3020 - 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,1016 - 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,16\\b]\,\,B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}} = \dfrac{{{{\left[ {{{2.3}^2}} \right]}^6}{{.2}^{12}}.{{\left[ {{2^2}} \right]}^3}.{{\left[ {{3^2}} \right]}^3}}}{{{{\left[ {{2^4}} \right]}^3}.{{\left[ {2.3} \right]}^9}.{{\left[ {{3^3}} \right]}^3}}} = \dfrac{{{2^6}{{.3}^{12}}{{.2}^{12}}{{.2}^6}{{.3}^6}}}{{{2^{12}}{{.2}^9}{{.3}^9}{{.3}^9}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left[ {{2^6}{{.2}^{12}}{{.2}^6}} \right].\left[ {{3^{12}}{{.3}^6}} \right]}}{{\left[ {{2^{12}}{{.2}^9}} \right].\left[ {{3^9}{{.3}^9}} \right]}} = \dfrac{{{2^{24}}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = \dfrac{{{2^{21}}{{.2}^3}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = {2^3}.\end{array}\]
Bài 2:
\[\begin{array}{l}a]\;{\left| { - 2} \right|^{10}} - [x + 24] = 80 - \left[ {[ - 4]{{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\\\;\;\;\;\;{2^{10}} - [x + 24]\;\;\; = 80 - \left[ {[ - 4].25 + 16.5} \right]\\\;\;\;\;1024 - [x + 24] = 80 - \left[ { - 100 + 80} \right]\\\;\;\;\;1024 - x - 24 = 80 + 100 - 80\\\;\;\;\;1024 - 24 - x = 80 - 80 + 100\\\;\;\;\;\;1000 - x\;\;\;\;\;\;\; = 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 1000 - 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 900.\end{array}\]
b] Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| \ge 0\\\left| {y + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.\,\,\] [với mọi \[x \in \mathbb{Z}\,,\,\,\,y \in \mathbb{Z}\]]
Vì \[1 = 1 + 0 = 0 + 1\] nên suy ra\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 0\\\left| {y + 5} \right| = 1\end{array} \right.\,\,\]hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\]
+] Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\]
\[\left| {x - 4} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 4\]
\[\left| {y + 5} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 1\]hoặc \[y + 5 = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y = - 4\] hoặc \[y = - 6\]
Với trường hợp 1 có hai cặp [x; y] thỏa mãn là \[x = 4\,;\,\,y = - 4\,\] và \[x = 4\,;\,\,y = - 6\].
+] Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,\]
\[\left| {x - 4} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 1\]hoặc \[x - 4 = - 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 5\] hoặc \[x = 3\]
\[\left| {y + 5} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,y = - 5\]
Với trường hợp 2 có hai cặp [x; y] thỏa mãn là \[x = 3\,\,;\,\,y = - 5\,\] và \[x = 5\,\,;\,\,y = - 5\].
Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài: \[\left[ {x;\;y} \right] = \left\{ {\left[ {4; - 4} \right];\;\left[ {4; - 6} \right];\;\left[ {3; - 5} \right];\;\left[ {5; - 5} \right]} \right\}.\]
Bài 3
Gọi \[x\]là số học sinh dự thi nghi thức đội\[[800 < x < 1000]\].
Nếu xếp mỗi hàng \[20\] thì dư \[9\] em nên ta có \[[x - 9]\,\, \vdots \,\,20\].
Nếu xếp mỗi hàng \[30\] thì thiếu \[21\]em, tức là nếuxếp mỗi hàng \[30\] thì sẽ dư 9 em, do đó \[[x - 9]\,\, \vdots \,\,30\].
Nếu xếp mỗi hàng \[35\] thì thiếu \[26\]em, tức là nếuxếp mỗi hàng \[35\] thì sẽ dư 9 em, do đó \[[x - 9]\,\, \vdots \,\,35\].
Vậy \[[x - 9]\,\, \vdots \,\,20\,\,;\,\,[x - 9]\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,[x - 9]\,\, \vdots \,\,35\]suy ra \[x - 9 \in BC\,[20;\,\,30;\,\,35]\]
Ta có: \[20\, = {2^2}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,30 = 2.3.5\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,35 = 5.7\].
\[BCNN[20\,;\,\,30\,;\,\,35] = {2^2}.3.5.7 = 420\].
\[BC{\rm{ }}[20;{\rm{ 30}};{\rm{ 35}}] = B\left[ {420} \right] = \left\{ {0;{\rm{ 420}};{\rm{ 840}};{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\]
Do đó: \[x - 9 \in \left\{ {0;{\rm{ 42}}0;{\rm{ 84}}0;{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\]
Suy ra \[x \in \left\{ {9;{\rm{ 429}};{\rm{ 849}};{\rm{ 1269}};{\rm{ }} \ldots } \right\}\]
Lại có \[800 < x < 1000\] nên\[x = 849\] .
Vậy có tất cả \[849\] em dự thi nghi thức đội.
Bài 4:
a] Trên tia AB ta có \[AC < AD\;\;\left[ {do\;\;3cm < 9cm} \right]\]nên C là điểm nằm giữa hai điểm A và B\[\begin{array}{l} \Rightarrow AC + CB = AB\\ \Rightarrow CB = AB - AC = 9 - 3 = 6\,\,[cm]\end{array}\]
+] Vì điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên CD + DB = BC [*]
Theo đề bài \[CD = \dfrac{1}{3}DB\] , thay vào [*] ta được:
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}DB + DB = BC\\ \Rightarrow \dfrac{4}{3}DB = BC\\ \Rightarrow DB = 6:\dfrac{4}{3} = 4,5\,\,[cm]\\ \Rightarrow CD = \dfrac{1}{3}DB = 4,5:3 = 1,5\,cm\end{array}\]
Trên tia BA ta có\[BD < BA\;\;\left[ {do\;\;4,5cm < 9cm} \right]\] nên D là điểm nằm giữa hai điểm B và A
\[\begin{array}{l} \Rightarrow BD + DA = BA\\ \Rightarrow DA = BA - BD = 9 - 4,5 = 4,5\,\,\,[cm]\\ \Rightarrow AD = 4,5cm\end{array}\]
b] Theo chứng minh trên ta có D là điểm nằm giữa hai điểm B và A.
Lại có AD = DB = 4,5cm.
Từ đó suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 5.
a] Theo đề bài ta có:
a chia cho 5 dư 4 nên \[\left[ {a - 4} \right]\; \vdots \;5 \Rightarrow 4\left[ {a - 4} \right]\; \vdots \;5 \Leftrightarrow \left[ {4a - 16} \right]\; \vdots \;5 \Rightarrow \left[ {4a - 1} \right]\; \vdots \;5\]
a chia cho 7 dư 2 nên \[\left[ {a - 2} \right]\; \vdots \;7 \Rightarrow 4\left[ {a - 2} \right]\; \vdots \;7 \Leftrightarrow \left[ {4a - 8} \right]\; \vdots \;7 \Rightarrow \left[ {4a - 1} \right]\; \vdots \;7\]
a chia cho 9 dư 7 nên \[\left[ {a - 7} \right]\; \vdots \;9 \Rightarrow 4\left[ {a - 7} \right]\; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left[ {4a - 28} \right]\; \vdots \;9 \Rightarrow \left[ {4a - 1} \right]\; \vdots \;9\]
\[ \Rightarrow \left[ {4a - 1} \right]\] chia hết cho \[5,\;7,\;9.\]
Hay \[\left[ {4a - 1} \right] = BC\left[ {5;\;7;\;9} \right]\]
Mà \[a\] nhỏ nhất \[ \Rightarrow \left[ {4a - 1} \right] = BCNN\left[ {5;\;7;\;9} \right] = 5.7.9 = 315.\]
\[ \Rightarrow 4a - 1 = 315 \Leftrightarrow 4a = 316 \Leftrightarrow a = 79.\]
Vậy \[a = 79\] là số cần tìm.
b] Ta có:
\[\begin{array}{l}A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + ..... + {2017.2018^2}\\ = 1.2.\left[ {3 - 1} \right] + 2.3.\left[ {4 - 1} \right] + 3.4.\left[ {5 - 1} \right] + ....... + 2017.2018.\left[ {2019 - 1} \right]\\ = \left[ {1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019} \right] - \left[ {1.2 + 2.3 + 3.4 + .....2017.2018} \right]\end{array}\]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019\\N = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 2017.2018\end{array} \right.\]
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left[ {5 - 1} \right] + 3.4.5.\left[ {6 - 2} \right] + ..... + 2017.2018.2019.\left[ {2020 - 2016} \right]\\\;\;\;\;\;\; = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.1 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ........ + 2017.2018.2019.2020 - 2016.2017.2018.2019\\\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019.2020\\ \Rightarrow M = \dfrac{{2017.2018.2019.2020}}{4} = 505.2017.2018.2019.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}3N = 1.2.3 + 2.3.\left[ {4 - 1} \right] + 3.4.\left[ {5 - 2} \right] + ...... + 2017.2018.\left[ {2019 - 2016} \right]\\\;\;\;\;\; = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ....... + 2017.2018.2019 - 2016.2017.2018\\\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019\\ \Rightarrow N = \dfrac{{2017.2018.2019}}{3} = 673.2017.2018.\end{array}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow A = M - N = 505.2017.2018.2019 - 673.2017.2018\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018\left[ {505.2019 - 673} \right]\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.1019528.\end{array}\]
Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 [Đề thi học kì 1] môn Toán 6 tại Tuyensinh247.com