Phương trình \[\sin 2x + 3\sin 4x = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[\sqrt 3 {\cot ^2}x - 4\cot x + \sqrt 3 = 0\] có nghiệm là:
Nghiệm của phương trình \[4{\sin ^2}2x + 8{\cos ^2}x - 9 = 0\] là:
Phương trình \[\sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x + 1 = 0\] có nghiệm là:
Phương trình \[{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \sin x - \cos x\] có nghiệm là:
Giải phương trình \[\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\].
Giải phương trình \[\left[ {\sin x + \sqrt 3 \cos x} \right].\sin 3x = 2\].
Giải phương trình \[\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x\].
Giải phương trình \[1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\].
Giải phương trình \[\cos x + \cos 3x + 2\cos 5x = 0\].
Giải phương trình \[\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\].
Với Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx+ bcosx = c
Trong đó: a, b và c là hằng số.
+ Cách giải phương trình:
• Cách 1:
• Cách 2:
* Chú ý:
+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2
+ Bất đẳng thức bunhia-xcopski:
Ví dụ 1. Cho phương trình a. sinx+ b cosx= c .Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:
A. a2 + b2 > c2
B. a2 + b2 < c2
C. a2+ b2 ≥ c2
D. a2+ b2 ≤ c2
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 2. Cho các phương trình sau:
[I]. 2cosx + 4= 0
[II]. – 4sinx =1
[III]. 2cosx – sinx= 2
[IV]. sin2 x + 2sinx – 3= 0
[V] . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0
Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Lời giải
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :
a. sinx+ b. cosx= c [ trong đó a khác 0 hoặc b khác 0]
Ta xét các phương trình :
+[I]: 2cosx+ 4= 0 ⇒ 2cosx = - 4 có a= 0; b=2 và c=- 4
⇒ [I] có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.
+ [II]. – 4sinx = 1 có a= -4; b= 0 và c= 1
⇒ [II] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ [III]. 2cos x- sinx= 2 có a= -1; b= 2 và c= 2
⇒ [III] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
+ [IV]. sin2 x + 2sinx – 3= 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c [với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]
⇒ [IV] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
[V] . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0 ⇒ 7sinx[1+ 2cosx] = 0
Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên [V] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Chọn A.
Ví dụ 3. Cho các phương trình sau:
[1]. 3cosx+2 = 0
[2]. 4- 2sinx= 0
[3]. – 2sinx+ cosx= 3
[4]. cos2x- sinx = 0
[5].cosx- sin3x. sinx= 0
[6].sin2x – sinx. cosx+ 2cos2 x= 0
Hỏi trong các phương trình trên có bao nhiêu phương trình đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
A. 2 B. 4 C. 3 D. 5
Lời giải
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :
a.sinx+ b cosx= c [ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]
Trong các phương trình đã cho có các phương trình : [1]; [2]; [3] đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho các phương trình:
[I]. 2sinx- 3cos x= 1
[II].4sinx + 5cos x=10.
[III]. - 3sinx – 2cosx= 3
[IV] . – 5sinx + cosx= 3
Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.
A. 1 B.2 C. 3 D.4
Lời giải
+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:
a. sinx+ b. cosx = c
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2
+ Ta xét các phương án :
[I]. 2sinx- 3cos x= 1 có a= 2; b=- 3; c= 1
⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 13 ≥ 1]
⇒ [I] là phương trình có nghiệm.
[II].4sinx + 5cos x=10 có a= 4; b= 5; c= 10
⇒ a2 + b2 < c2 [41 < 100]
⇒ [II] là phương trình vô nghiệm
[III]. - 3sinx – 2cosx= 3 có a= - 3; b= - 2 và c= 3
⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 13 ≥ 9]
⇒ [III] là phương trình có nghiệm
[IV] . – 5sinx + cosx= 3 có a= - 5; b= 1 và c= 3
⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 26 ≥ 9]
⇒ [IV] có nghiệm
Vậy có 3 phương trình có nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 5. Cho các phương trình sau:
[1].2sinx - √3 cosx= √5
[2]. - √5sin2x + cos2x = 5
[3].√7 cosx= 3
[4]. 3√2 sinx= -4
Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?
A. 0 B.2 C. 1 D.3
Lời giải
Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c [ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 ]
Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:
a2 + b2 ≥ c2
⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:
a2+ b2 < c2
+ Ta xét các phương trình:
[1]: 2sinx - √3 cosx= √5 có a= 2; b= -√3 và c= √5
⇒ a2 + b2 > c2 [7 > 5]
⇒ Phương trình này có nghiệm
[2]. - √5sin2x + cos2x = 5 có a= -√5;b=1;c=5
⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 6 < 25]
⇒ phương trình [2] vô nghiệm.
[3]. √7 cosx= 3 có a= 0; b= √7 và c= 3
⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 7 < 9]
⇒ Phương trình [3] vô nghiệm
[4]. 3√2 sinx= -4 có a= 3√2; b=0 và c = -4
⇒ a2 + b2 > c2 [ vì 18 > 16]
⇒ Phương trình [4] có nghiệm
Vậy chỉ có phương trình [2] và [3] vô nghiệm
Chọn B.
Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A.2sinx- 10 cosx = 12
B. – sinx+ cosx= - 1
C. 2sinx= 2
D. –10 cosx+ 1=0
Lời giải
Xét phương án A: có a= 2; b= -10 và c= 12
⇒ a2 + b2 < c2 [104 < 144]
⇒ Phương trình này vô nghiệm.
Chọn A.
Ví dụ 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. √3 sinx+cosx=2.
B.√2 sin2x- √2 cos2x=-2.
C.
D.
Lời giải
+ Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2+B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.
+Phương trình ở đáp án C có dạng cos[x+a]= m với m= 2π/3 > 1 nên phương trình này vô nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 8. Cho phương trình m.sinx+ cosx= 2. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?
A.
B.
C. -√3 ≤ m ≤ √3
D. -√2 ≤ m ≤ √2
Lời giải
Phương trình: m.sinx+ cosx=2 có nghiệm khi và chỉ khi:
m2+ 12 ≥ 22
⇒ m2 + 1 ≥ 4 ⇒ m2 ≥ 3
Chọn A.
Ví dụ 9. Cho phương trình: m.sinx+ [m-2].cosx= √2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?
A. 1 ≤ m ≤ 3
B. m ≤ 2;m ≥ 3
C.m > 2; m < 3
D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Lời giải
Phương trình: m.sinx+ [m-2].cosx= √2 có nghiệm khi và chỉ khi:
m2+ [m-2]2 ≥ [√2]2
⇒ m2+m2 - 4m+4 ≥ 2 ⇒ 2m2 – 4m+ 2 ≥ 0
⇒ 2[m-1]2 ≥ 0 luôn đúng với mọi m.
⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
Chọn D.
Ví dụ 10. Cho phương trình sinx+ [m-1]cosx= 2m- 1. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.
A.
B.
C. – 1 < m < 2
D. - 2 ≤ m ≤ 1
Lời giải
Phương trình: sinx+ [m-1]cosx = 2m- 1 vô nghiệm khi và chỉ khi:
12 +[m-1]2 < [2m- 1]2
⇒ 1+ m2 – 2m+ 1 < 4m2 - 4m+ 1
⇒ -3m2 + 2m +1 < 0
Chọn A .
Ví dụ 11. Cho phương trình: [m-1].sinx+ cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm
A. m > 2
B. m < 2
C. m > 1
D. 1 < m < 2
Lời giải
Để phương trình: [m- 1]. sinx+ cosx= m vô nghiệm thì:
[m-1]2 +12 < m2
⇒ m2 -2m+ 1 + 12 < m2
⇒ 2-2m < 0 ⇒ m > 1.
Chọn C.
Ví dụ 13: Cho phương trình:
A.
B.
C. Không có giá trị nào của m.
D. m ≥ 3
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 14: Tìm m để phương trình: 2sin2 x+ m. sin2x = 2m vô nghiệm.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Ta có: 2sin2 x + m. sin2x = 2m
⇒ 1- cos2x + m. sin 2x= 2m
⇒ m.sin 2x – cos2x = 2m- 1
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:
Chọn D.
Câu 1:Cho các phương trình sau:
[I]. – 4sinx + 2= 0
[II]. 10cosx = 0
[III]. – 4cosx + 2sinx= 1
[IV]. 2sin2 x - 12sinx + 9= 0
[V] . -2sinx - 2.sinx.cosx=0
Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
A. 3
B. 1
C. 2
D. 4
Lời giải:
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :
a. sinx+ b. cosx= c [ trong đó a khác 0 hoặc b khác 0]
Ta xét các phương trình :
+[I]: - 4sinx + 2= 0 ⇒ - 4sinx = - 2 có a= -4; b=0 và c=- 2
⇒ [I] có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.
+ [II]. 10 cosx= 0 có a= 0; b=10 và c = 0
⇒ [II] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
+ [III]. – 4cosx + 2sinx = 1 có a= 2; b= -4 và c= 1
⇒ [III] có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
+ [IV].2sin2 x -12sinx + 9 = 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c [với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]
⇒ [IV] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
[V] . -2sinx - 2.sinx.cosx = 0 ⇒ - 2sinx[ 1+ cosx]= 0
Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên [V] không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Chọn A.
Câu 2:Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
A. sinx + cosx= 0
B. – 10sinx = 0
C. 8- cosx =0
D. 2sin2x + cosx = 1
Lời giải:
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :
a.sinx+ b cosx = c [ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0] ⇒ a. sinx+ b.cosx – c= 0
Trong các phương trình đã cho có các phương trình : A; B; C đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.
Phương trình D: 2sin2x + cosx= 1chưa có dạng phương trình bậc nhất.
Chọn D.
Câu 3:Cho các phương trình:
[I]. 10sinx- cos x= 2
[II]. - 3sinx = 2.
[III]. 2sinx - 6cosx= 8
[IV] . 2cosx= 3
Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.
A. 1
B.2
C. 3
D.4
Lời giải:
+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:
a. sinx+ b. cosx = c
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2
+ Ta xét các phương án : [I]. 10sinx- cos x= 2
[I]. 10sinx – cosx= 2 có a= 10; b= -1 và c = 2
⇒ a2 + b2 ≥ c2 [ 101 ≥ 4]
⇒ [I] là phương trình có nghiệm.
[II]. – 3sinx = 2 có a= - 3; b = 0 và c= 2
⇒ a2 + b2 > c2 [ 9 > 4]
⇒ [II] là phương trình có nghiệm
[III]. 2sinx – 6cosx= 8 có a= 2; b= - 6 và c= 8
⇒ a2 + b2 < c2 [ 40 < 64]
⇒ [III] là phương trình vô nghiệm
[IV] . 2cosx= 3 có a= 0; b= 2 và c= 3
⇒ a2 + b2 < c2 [ 4 < 9]
⇒ [IV] vô nghiệm
Vậy có 2 phương trình có nghiệm.
Chọn B.
Câu 4:Cho các phương trình sau:
[1].- sinx + 2√3 cosx= √15
[2]. √5sin2x + 3cos2x = - 5
[3].√15 cosx= 4
[4]. -2√2 sinx= 1
Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?
A. 0
B.2
C. 1
D.3
Lời giải:
Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c[ với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0]
Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:
a2 + b2 ≥ c2
⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:
a2+ b2 < c2
+ Ta xét các phương trình
[1]: -sinx + 2√3cosx= √15 có a= -1 ; b= 2√3 và c= √15
⇒ a2 + b2 < c2 [13 < 15]
⇒ Phương trình này vô nghiệm
[2]. √5sin2x + 3cos2x = -5 có a= √5;b=3;c=-5
⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 14 < 25]
⇒ phương trình [2] vô nghiệm.
[3]. √15 cosx= 4 có a= 0; b= √15 và c= 4
⇒ a2 + b2 < c2 [ vì 15 < 16]
⇒ Phương trình [3] vô nghiệm
[4]. - 2√2 sinx= 1 có a= -2√2; b=0 và c = 1
⇒ a2 + b2 > c2 [ vì 8 > 1]
⇒ Phương trình [4] có nghiệm
Vậy có ba phương trình [1],[2] và [3] vô nghiệm
Chọn D.
Câu 5:Phương trình nào sau đây vô nghiệm
A. - 4sinx + 4 cosx = 4
B. – sinx + 10cosx= 11
C. -100sinx= 50
D. 48cosx+ 1=0
Lời giải:
Xét phương án B: có a= -1; b= 10 và c= 11
⇒ a2 + b2 < c2 [101 < 121]
⇒ Phương trình này vô nghiệm.
Chọn B.
Câu 6:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. √2 sinx-√2 cosx=2.
B.√19 sin3x- 9cos3x=9.
C. cos[x-π/3]= 3π
D. cos[ x-100] + 2sin[x-100] = 1
Lời giải:
+Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2 + B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.
+Phương trình ở đáp án C có dạng cos[x+a]= m với m= 3.π > 1 nên phương trình này vô nghiệm.
Chọn C.
Câu 7:Cho phương trình 2sinx+m.cosx= 3. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?
A.
B.
C. -√3 ≤ m ≤ √3
D. -√5 ≤ m ≤ √5
Lời giải:
Phương trình: 2.sinx+m. cosx=3 có nghiệm khi và chỉ khi:
22+ m2 ≥ 32
m2 + 4 ≥ 9 ⇒ m2 ≥ 5
Chọn B.
Câu 8:Cho phương trình: 2m.sinx+ [m+ 1].cosx = 2√2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?
A.
B. m ≤ 2;m ≥ 3
C.
D. 2 ≤ m ≤ 3
Lời giải:
Phương trình: 2m.sinx + [m+1].cosx= 2√2 có nghiệm khi và chỉ khi:
⇒ 4m2+ [m+1]2 ≥ [2√2]2
⇒ 4m2+m2 +2m+1 ≥ 8 ⇒ 5m2 +2m -7 ≥ 0
Chọn C.
Câu 9:Câu 9. Cho phương trình sinx- 3mcosx= 3m. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.
A.
B.
C. – 2 < m < 1
D. Đáp án khác
Lời giải:
Phương trình: sinx – 3m.cosx = 3m vô nghiệm khi và chỉ khi:
12 +[-3m]2 < [3m]2
⇒ 1+ 9m2 < 9m2
⇒ 1 < 0 vô lí
⇒ Với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Chọn D
Câu 10:Câu 10. Cho phương trình: 2sinx+ [2-m] cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm
A. m < 2
B. m > 2
C. m > 1
D. 1 < m < 2
Lời giải:
Để phương trình: 2. sinx+ [2-m]cosx= m vô nghiệm thì:
22 +[2-m]2 < m2
⇒ 4+ 4- 4m+ m2 < m2
⇒ 8 -4m < 0 ⇒ m > 2.
Chọn B .
Câu 11:Cho phương trình: 2m.sin2x – [m2 + 2].cos2 x+ 1= 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là
A. m > 1 hoặc m < -2
B.- 2 ≤ m
C.- 1 ≤ m ≤ 2
D.
Lời giải:
Ta có: 2m.sin2x - [m2 +2].cos2x + 1= 0
⇒ 4m. sinx - [m2 +2]cos 2x + m2 +2+ 2=0
⇒ 4m. sinx – [m2 +2].cos2x + m2 + 4= 0
Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Do đó; điều kiện để phương trình có nghiệm là :
16m2 +[m2 +2]2 ≥ [m2 +4]2
⇒ 16m2 + m4 + 4m2 + 4 ≥ m4 + 8m2 + 16
⇒ 12m2 ≥ 12 hay m2 ≥ 1
Câu 12:Tìm m để phương trình: sinx .cosx+ cos2 x=m có nghiệm là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: sinx. cosx+ cos2 x= m
⇒ sin2x + 1+ cos2x = 2m
⇒ sin 2x+ cos2x= 2m -1
Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là :
12 + 12 ≥ [2m-1]2
⇒ 2 ≥ 4m2-4m+1
⇒ 4m2 – 4m- 1 ≤ 0
Chọn A.