Điều kiện để phương trình bậc nhất có tập nghiệm là R

Cho phương trình $ax + b = 0$. Chọn mệnh đề đúng:

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

Phương trình ${x^2} - \left[ {2 + \sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0$:

Phương trình ${x^2} + m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:

Hai số $1 - \sqrt 2 $ và $1 + \sqrt 2 $ là các nghiệm của phương trình:

Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :

Phương trình $\left[ {{m^2}-2m} \right]x = {m^2}-3m + 2$ có nghiệm khi:

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  [1]
Hệ số	Kết luận
a ≠ 0	[1] có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b ≠ 0	[1] vô nghiệm
b = 0	[1] nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu [m-1][m-6] ≠ 0

thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -[m+1]/[m-6]

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Quảng cáo

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 5m + 6]x = m2 - 2m vô nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [m2 - 1]x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho nghiệm đúng với ∀x ∈ R hay phương trình có vô số nghiệm khi

Bài 5: Cho phương trình m2x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn:

Phương trình viết lại [m2 - 4]x = 3m - 6.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ≠ -2

Bài 6: Cho hai hàm số y = [m + 1]2x - 2 và y = [3m + 7]x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.

Hướng dẫn:

Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

[m + 1]2x - 2 = [3m + 7]x + m có nghiệm duy nhất

⇔ [m2 - m - 6]x = 2 + m có nghiệm duy nhất

Quảng cáo

Bài 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình [m2 - 9]x = 3m[m - 3] có nghiệm duy nhất ?

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2-9 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±3

Vì m ∈ Z, m ∈ [-10; 10] nên

m ∈ {-10; -9; -8;...; -4; -2; -1; 0; 1; 2; 4;...; 10}

Vậy 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé!

Phương trình có nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình có nghiệm

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

\[f[x_{1}, x_{2},…] = g[x_{1}, x_{2},…]\]     [1]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = f[x_{1}, x_{2},…] – g[x_{1}, x_{2},…]\]     [2]

\[h[x_{1}, x_{2},…] = 0\]     [3]

\[ax^{2} + bx + c = 0\]     [4]

Trong đó \[x_{1}, x_{2}\],… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình [1] có \[f[x_1,x_2,…]\] là vế trái, \[g[x_1,x_2,…]\] là vế phải.

Ở [4] ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là bộ \[x_{1}, x_{2},…\] tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức tổng quát

• Phương trình \[f[x] = 0\] có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi \[\left\{\begin{matrix} x = a\\ f[a] = 0 \end{matrix}\right.\], điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như \[f[x,y,z,..] = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ y = b\\ z = c\\ f[a,b,c] = 0 \end{matrix}\right.\]
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \[S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 \[ax^{2} + bx + c = 0 [a\neq 0]\] có nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thì \[S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\]

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:

• Có 2 nghiệm dương là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\]
• Có 2 nghiệm âm là: \[\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\]
• Có 2 nghiệm trái dấu là: \[\Delta \geq 0; P< 0\]

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} ax + by = c [d] [a^{2} + b^{2} \neq 0]\\ a’x + b’y = c’ [d’] [a’^{2} + b'{2} \neq 0] \end{matrix}\right.\]
• Hệ phương trình có một nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] cắt [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} [a’,b’\neq 0]\]
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \[\Leftrightarrow\] [d] trùng [d’] \[\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} [a’,b’, c’\neq 0]\]
• Hệ phương trình vô nghiệm \[\Leftrightarrow [d]\parallel [d’] \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} [a’,b’,c’ \neq 0]\]

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \[\sin x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\cos x = m\]
• Phương trình có nghiệm nếu \[\left | m \right |\leq -1\]. Khi đó ta chọn một góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] thì nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\]
• Phương trình \[\tan x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan x = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \[\csc x = m\]
• Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\]. Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \[x^{2} – 2[m+3]x + 4m-1 =0\] [1]. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình [2] có hai nghiệm dương

\[\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+3]^{2} – [4m-1]\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2[m+3]>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+1]^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\]

Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \[x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\] [1]

Cách giải:

Đặt \[x^{2} = y \geq 0\]. Điều kiện để phương trình [2] có nghiệm là phương trình \[y^{2} + my + 2m – 4 = 0\] [3] có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \[\Delta = m^{2} – 4[2m-4] = [m-4]^{2} \geq 0\] với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình [1] có hai nghiệm đều âm là:

\[\left\{\begin{matrix} P>0\\ S0\\ -m2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\]

Vậy điều kiện để phương trình [3] có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\leq 2\]

\[\Rightarrow\] phương trình [2] có nghiệm khi \[m\leq 2\]

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\[\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\]

Cách giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = \frac{m+1-mx}{2}\]

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \[2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\]

\[\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\]

\[x[m^{2} – 4] = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x[m-2][m+2] = [m – 2][m – 1]\]

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\] thì \[x = \frac{m-1}{m+2}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \[y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\]

\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\]

Ta cần tìm \[m\in \mathbb{Z}\] sao cho \[x,y\in \mathbb{Z}\]

Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \[\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Các giá trị này thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\]

Vậy \[m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

[Nguồn: www.youtube.com]

Xem thêm:

Please follow and like us: