Đường tròn (C) đi qua điểm M(2=1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy có phương trình là

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và qua điểm M[2; 1].

Bài toán: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M[2;1]

Để lập được phương trình đường tròn trong trường hợp này các em cần phân tích được hai yêu cầu:

+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy => khoảng cách từ tâm I[a;b] của đường tròn tới hai trục tọa độ là bằng nhau và bằng bán kính R.
+ Đường tròn đi qua điểm M nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn.

Xem thêm bài giảng khác:

Sau đây thầy sẽ trình bày chi tiết lời giải cho bài toán này:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm là [C] có dạng: $[x-a]^2+[y-b]^2=R^2$ với tâm đường tròn là $I[a;b]$ và bán kính là R.

Khoảng cách từ điểm I tới trục Ox [y=0] là: $d[I;Ox]=|b|$

Khoảng cách từ điểm I tới trục Oy [x=0] là: $d[I;Oy]=|a|$

Vì đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy nên ta có:

$d[I;Ox]=d[I;Oy]=R$

=> $|a|=|b|=R$ => a=b hoặc a=-b

Vì điểm $M[2;1]$ thuộc đường tròn nên ta có:

$[2-a]^2+[1-b]^2=R^2$ => $[2-a]^2+[1-b]^2=a^2$ [1]

Trường hợp 1: Với $a=b$ thì $I[a;a]$

ta có [1] $[2-a]^2+[1-a]^2=a^2$

$4-4a+a^2+1-2a+a^2=a^2$

$a^2-6a+5=0$

$a=1$ hoặc $a=5$

Với $a=1$ ta có $b=1, R=1$. vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $[x-1]^2+[y-1]^2=1$

Với $a=5$ ta có $b=5, R=5$. vậy phương trình đường tròn cần tìm là: $[x-5]^2+[y-5]^2=25$

Trường hợp 2: Với $a=-b$ hay $b=-a$ thì $I[a;-a]$

ta có [1] $[2-a]^2+[1+a]^2=a^2$

$4-4a+a^2+1+2a+a^2=a^2$

$a^2-2a+5=0$ [phương trình này vô nghiệm]

Vậy có hai đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M[2;1] có phương trình là:

$[x-1]^2+[y-1]^2=1$ và $[x-5]^2+[y-5]^2=25$

Chú ý:

Ngoài cách gọi phương trình đường tròn chính tắc như trong lời giải trên thì các em có thể gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát là: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Vì M[2;1] thuộc góc phần tư [I] nên \[A\left[ {a;a} \right],\,\,a > 0.\]

Khi đó: \[R = {a^2} = I{M^2} = {\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {a - 1} \right]^2}\]

\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1 \to I\left[ {1;1} \right],R = 1 \to \left[ C \right]:{\left[ {x - 1} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 1\\ a = 5 \to I\left[ {5;5} \right],\,R = 5 \to \left[ C \right]:{\left[ {x - 5} \right]^2} + {\left[ {y - 5} \right]^2} = 25 \end{array} \right..\]

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Số câu hỏi: 38

Gọi đường tròn cần tìm là [C] có tâm I[a ; b] và bán kính bằng R.

[C] tiếp xúc với Ox ⇒ R = d[I ; Ox] = |b|

[C] tiếp xúc với Oy ⇒ R = d[I ; Oy] = |a|

⇒ |a| = |b|

⇒ a = b hoặc a = –b.

+ TH1: Xét a = b thì I[a; a], R = |a|

Ta có: M ∈ [C] ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ [2 – a]2 + [1 – a]2 = a2

⇔ 4- 4a + a2 + 1 – 2a + a2 = a2

⇔ 2a2 – 6a + 5- a2 =0

⇔ a2 – 6a + 5 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = 5.

* a = 1 ⇒ I[1; 1] và R = 1.

Ta có phương trình đường tròn [C]: [x – 1]2 + [y – 1]2 = 1.

* a = 5 ⇒ I[5; 5], R = 5.

Ta có phương trình đường tròn [C] : [x – 5]2 + [y – 5]2 = 25.

+ TH2: Xét a = –b thì I[a; –a], R = |a|

Ta có: M ∈ [C] ⇒ IM = R ⇒ IM2 = R2

⇒ [2 – a]2 + [1 + a]2 = a2

⇔ 4 – 4a + a2 + 1+ 2a + a2 - a2 = 0

⇔ a2 – 2a + 5 = 0 [Phương trình vô nghiệm]

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là: [C]: [x – 1]2 + [y – 1]2 = 1 hoặc [C] : [x – 5]2 + [y – 5]2 = 25.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của [C]
b, Viết phương trình tiếp tuyến với [C] đi qua điểm A[-1; 0]
c, Viết phương trình tiếp tuyến với [C] vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.

Xem đáp án » 30/03/2020 12,631

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a, x2 + y2– 2x – 2y - 2 = 0
b, 16x2 + 16y2 + 16x – 8y -11 = 0
c, x2 + y2 - 4x + 6y – 3 = 0

Xem đáp án » 30/03/2020 8,177

Cho hai điểm A[3; -4] và B[-3; 4].
Viết phương trình đường tròn [C] nhận AB là đường kính.

Xem đáp án » 30/03/2020 7,553

Lập phương trình đường tròn [C] trong các trường hợp sau:
a, [C] có tâm I[-2; 3] và đi qua M[2; -3];
b, [C] có tâm I[-1; 2] và tiếp xúc với đường thẳng x – 2y +7 =0
c, [C] có đường kính AB với A = [1; 1] và B = [7; 5].

Xem đáp án » 30/03/2020 7,064

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
a, A[1; 2], B[5; 2], C[1; -3]
b, M[-2; 4], N[5; 5], P[6; -2]

Xem đáp án » 30/03/2020 5,333

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0

Xem đáp án » 30/03/2020 4,743