1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x]xác định và liên tục trên khoảng [a;b] [có thể a là -∞; b là +∞] và điểm x 0 ∈[a;b]. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f[x]< f[x 0 ] với mọi x ∈ [x 0 - h;x 0 + h] và x≠x_0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực đại tại x 0. Nếu tồn tại số h >0 sao cho f[x] >f[x 0 ] với mọi x ∈ [x 0 - h;x 0 + h] và x ≠ x 0 thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x 0. 2.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y=f[x] liên tục trên K=[x 0 - h;x 0 + h]và có đạo hàm trên K hoặc trên K{x 0 }, với h >0. Nếu f'[x]> 0 trên khoảng [x 0 - h;x 0 ] và f'[x] 0 trên [x 0 ;x 0 + h] thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số f[x]. Minh họa bằng bảng biến thiến
Chú ý.
Nếu hàm sốy=f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số; f[x 0 ] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, kí hiệu là fCÑ [fCT], còn điểm M[x 0 ;f[x 0 ]] được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và được gọi chung là cực trị của hàm số. 3 tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tínhf'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x]bằng 0 hoặc f'[x] không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f'[x]. Giải phương trình f'[x]và ký hiệuxi [i=1,2,3,...]là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f''[x] và f''[xi ]. Bước 4. Dựa vào dấu của f''[xi ]suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2x 3 - 6x + 2. Hướng dẫn Tập xác định D = R.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0. Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x 3 + 3x 3 - 3x + 2 Tập xác định D = R. Tính y' = -3x 2 + 6x-3. Cho y'= 0 ⇔ -3x 2 + 6x-3 = 0 ⇔ x = 1. Bảng biến thiên
Trong tr�ờng hợp h�m số f[x] �ạt cực �ại hay cực tiểu tại �iểm c thì �iểm c gọi l� �iểm cực trị của h�m số còn f[c] gọi l� gi� trị cực trị của h�m số. [2*]
�ể một h�m số f[x] c� �iểm cực trị thì �ạo h�m của f[x] phải bằng kh�ng, tức l� tiếp tuyến tại c�c gi� trị cực trị lu�n c�ng ph��ng với trục ho�nh. Nh�ng ��y mới chỉ l� �iều kiện cần v� ch�a �ủ �ể h�m số f[x] �ạt ��ợc �iểm cực trị tại �iểm m� c� �ạo h�m của f[x] bằng 0. V� dụ ta x�t h�m số
Một l� x�t dấu gi� trị của �ạo h�m cấp một f[x] bằng c�ch lập bảng biến thi�n [3*]. Nếu thấy c� thay �ổi từ �m sang d��ng, ngụ ý cho biết �iểm �� thuộc cực tiểu hoặc dấu của n� thay �ổi từ d��ng sang �m, ngụ ý l� �iểm cực �ại.
Hai l� x�t dấu của �ạo h�m cấp 2 của h�m số f[x]. Nếu tại �iểm cực trị m� �ạo h�m cấp 2 lu�n d��ng, ngụ ý cho biết h�m số cực tiểu tại �iểm ��; ng�ợc lại thì thuộc về cực �ại. Tr�ờng hợp dấu của �ạo h�m cấp 2 thay �ổi, thì �iểm �� l� �iểm uốn.
V� dụ minh họa
- Tìm cực �ại v� cực tiểu nếu c� của h�m số .
C�ch 1.
�ạo h�m:
Giải
V� tìm giới hạn
Lập bảng biến thi�n:
C�ch 2.
�ạo h�m cấp 1:
Giải
V�
�ạo h�m cấp 2: f�[x] = 6x � 6.
Tại �iểm x = -1, f�[-1] = -12 < 0 [lu�n �m] cho cực �ại; tại �iểm x = 3, f�[3] = 12 > 0 [lu�n d��ng] cho cực tiểu.
Vậy kết luận cho cả hai c�ch: Tại �iểm [-1, 10] h�m số �ạt cực �ại v� tại �iểm [3, -22] h�m số �ạt cực tiểu.
D�ng phần mềm GraphFunc vẽ �ồ thị v� kiểm chứng c�c gi� trị cực trị
Ta cần �iền h�m số f[x] theo c� ph�p x^3 �3*x^2 �9*x + 5 v�o khung gõ tại nhãn hiệu f[x]= tr�n phần mềm GraphFunc. Sau �� bấm n�t Graph It! �ể vẽ. �ồ thị của h�m số f[x] ��ợc vẽ hiển thị b�n tay tr�i. Dựa v�o �ồ thị, ta c� thể thấy ngay cực �ại v� cực tiểu. Muốn x�c �ịnh gi� trị của c�c cực trị n�y ta phải d�ng chức n�ng Function trong phần mềm. Ta l�m thao t�c n�y nh� sau: Từ chức n�ng Function tr�n hộp k�o của GraphFunc, ta chọn Extremum. ��a con chuột bấm v�o gần c�c �ỉnh của �ồ thị h�m số, gi� trị của cực trị sẽ ��ợc x�c �ịnh v� hiển thị. Xem Hình 1, ta thấy gi� trị cực �ại m� GraphFunc tự �ộng t�nh ��ợc khi ��a con chuột tới v� bấm v�o những chỗ gần �ỉnh l� x = -1,000000000001462 v� tại �iểm n�y f[x] = 10,0. Ch� ý gi� trị �ạo h�m cấp 1 của n� rất nhỏ coi nh� gần bằng 0 v� gi� trị �ạo h�m cấp 2 l� �12,00000000000772, coi nh� bằng �12. T��ng tự, ta l�m giống thao t�c vừa n�i tr�n cho tr�ờng hợp x�c �ịnh gi� trị cực tiểu, ta thu ��ợc kết quả x = -3 v� f[x] = -22,000000000000004. Xem Hình 2.
Hình 1: Tại �iểm x = -1, h�m số �ạt cực �ại v� c� gi� f[-1] = 10.
[ta thấy GraphFunc tự �ộng x�c �ịnh gi� trị x = -1,000000000001462, coi nh� bằng �1]
Hình 2: Tại �iểm x = 3, h�m số �ạt cực tiểu v� c� gi� trị l� f[3] = -22.
[ta thấy GraphFunc tự �ộng x�c �ịnh gi� trị x = 3,000000000003935, coi nh� bằng 3]
Vậy, GraphFunc c� chức n�ng [Extremum] gi�p tìm c�c gi� trị cực trị của �ồ thị h�m số f[x].
Ng�y 25 th�ng 11 n�m 2006.
Mọi ý kiến x�y dựng v� b�i vở xin li�n lạc dothi@seriesmathstudy.com.
Trở về To�n Trực Tuyến
Copyright 2005- //toantructuyen.seriesmathstudy.com. All rights reserved. Contact us. Ghi rõ nguồn "//toantructuyen.seriesmathstudy.com" khi bạn ��ng lại th�ng tin từ website n�y.
[1*] Trong to�n học tiếng Việt �ã th�nh lập chuẩn cho một số t�n gọi, nh�ng ��i khi vẫn l�m cho ng�ời �ọc nhầm lẫn c�c t�n gọi. Cần ph�n biệt: �iểm cực tiểu x=c của h�m số f[x], gi� trị cực tiểu f[c], v� �iểm cực tiểu của �ồ thị h�m số [c, f[c]]. Hy vọng sau n�y, t�n gọi ��ợc r�t ngắn nữa!
[2*] Một h�m số f[x] c� thể c� một hay nhiều �iểm cực trị trong khoảng �ang x�t hoặc kh�ng c� �iểm cực trị n�o.
Giá trị cực đại của hàm số là gì?
Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ.
Giá trị cực tiểu nằm ở đâu?
Định nghĩa về giá trị cực đại và giá trị cực tiểu x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}. Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực trị nám ở đâu?
Địa điểm cực trị.
Cực đại cục bộ là gì?
Cực trị J [ f ] được gọi là cực đại cục bộ [hoặc cực đại yếu] nếu ΔJ ≤ 0 tại mọi điểm trong một vùng lân cận nhỏ tùy ý của f, và cực tiểu cục bộ [hoặc cực tiểu yếu] nếu ΔJ ≥ 0. Một cực đại [cực tiểu] mạnh là một giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của phiếm hàm trên toàn bộ không gian hàm.