Giải bài tập bài 1 hàm số lượng giác lớp 11

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Hàm số lượng giác chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 11.

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hàm số lượng giác lớp 11.

Giải bài tập Toán 11 Bài 1: Hàm số lượng giác

Trả lời hoạt động 1 trang 4 sgk Đại số và Giải tích 11: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:... 

a. 

b. Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x [rad] tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx [lấy π ≈ 3,14]

Phương pháp giải:

Nhập các giá trị tương ứng vào hàm sin, cos trên máy tính bỏ túi

Lời giải: 

a]

b]

Trả lời hoạt động 2 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin[-x], cosx và cos[-x].

Phương pháp giải:

B1: Vẽ hai góc x và −x trên đường tròn lượng giác.

B2: xác định sin[x],sin[−x],cos[x] và cos[−x] trên đường tròn lượng giác

B3: so sánh và rút ra KL.

Lời giải:

sin⁡x=−sin⁡[−x]

cos⁡x=cos⁡[−x]

Trả lời hoạt động 3 trang 6 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm những số T sao cho f[x + T] với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:...

a. 

b. 

Trả lời:

a. 

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức sin⁡[α+k2π]=sin⁡α 

Lời giải:

T=k2π[k∈Z] vì f[x+T]=sin⁡[x+k2π] =sin⁡x=f[x]

b. 

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tan⁡[α+kπ]=tan⁡α để chỉ ra T 

Lời giải:

T=kπ[k∈Z] vì f[x+T]=tan⁡[x+kπ] =tan⁡x=f[x]

Bài tập [trang 17, 18 sgk Đại số và Giải tích 11]

Bài 1 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [−π;3π2] để hàm số y=tan⁡x;

a. Nhận giá trị bằng 0;

b. Nhận giá trị bằng 1;

c. Nhận giá trị bằng dương;

d. Nhận giá trị bằng âm;

Trả lời:

a.

Phương pháp giải: 

B1: Vẽ đường thẳng y=0 [Ox]

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=0 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải: 

b.

Phương pháp giải: 

B1: Vẽ đường thẳng y=1 [Ox]

B2: Quan sát xem đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại những điểm nào.

B3: Chỉ lấy những điểm thuộc đoạn đã cho và KL.

Lời giải: 

Đường thẳng y=1 cắt đồ thị y=tan⁡x tại ba điểm có hoành độ π4;π4±π.

Vậy x=−3π4;x=π4;x=5π4.

c. 

Phương pháp giải: 

B1: Quan sát đồ thị hàm số, tìm các giá trị x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành [hay tanx >0].

B2. Lấy các điểm thuộc đoạn đề bài yêu cầu và Kết luận.

Lời giải: 

Trong các khoảng [−π;−π2]; [0;π2]; [π;3π2], đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Vậy x∈[−π;−π2]∪[0;π2]∪[π;3π2]

d.

Phương pháp giải: 

Quan sát đồ thị hàm số, tìm các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải: 

Trong các khoảng [−π2;0],[π2;π], đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Vậy x∈[−π2;0]∪[π2;π].

Bài 2 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm tập xác định của các hàm số:

a. 

b. 

c. 

d. 

Trả lời: 

a.

Phương pháp giải: 

Lời giải:

b.

Phương pháp giải:

Lời giải:

c. 

Phương pháp giải:

Lời giải:

d. 

Phương pháp giải:

Lời giải:

Bài 3 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số y=sin⁡x, hãy vẽ đồ thị của hàm số y=|sin⁡x|

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có

Bài 4 trang 17 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng sin2[x+kπ]=sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y=sin2x.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính tuần hoàn và chu kì của hàm số y=sin⁡x: Hàm y=sin⁡x là hàm tuần hoàn với chu kì 2π.

Lời giải:

Hàm y=sin⁡x là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta có: 

sin⁡2[x+kπ]=sin⁡[2x+k2π]=sin⁡2x∀k∈Z

Ta có:

f[x]=sin⁡2x⇒f[x+π]=sin⁡2[x+π]=sin⁡[2x+k2π]=sin⁡2x=f[x]

⇒ Hàm số y=sin2x tuần là hàm tuần hoàn với chu kì π.

Xét hàm số y=sin⁡2x trên đoạn [0;π].

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

Bài 5 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số y=cos⁡x, tìm các giá trị của x để cos⁡x=12.

Phương pháp giải:

Lời giải: 

Nghiệm của phương trình cos⁡x=12  là các hoành độ giao điểm của đường thẳng y=12 và đồ thị y=cos⁡x.

Trong đó đường thẳng y=12 là đường thẳng song song với trục hoành, đi qua điểm A[0,12], còn hàm số y=cosx có đồ thị như hình dưới

Cách 1:

Ta xác định các giao điểm, lấy hoành độ [tức là gióng xuống trục Ox]

Suy ra x=±π3+k2π[k∈Z].

Cách 2: Xét trong đoạn [−π;π] và sử dụng tính tuần hoàn để suy ra tất cả các giá trị của x

Dễ thấy: trong đoạn này chỉ có giao điểm ứng với x=±π3 thỏa mãn  cos⁡x=12

Suy ra các giá trị của x là x=±π3+k2π[k∈Z].

Bài 6 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số y=sin⁡x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số y=sin⁡x và nằm phía trên trục hoành trong khoảng [−π;π]

B2: dựa vào chu kì tuần hoàn của hàm số y=sin⁡x suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải: 

Bài 7 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Dựa vào đồ thị hàm số y=cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. 

Phương pháp giải:

B1: Tìm các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số y=cosx và nằm phía dưới trục hoành trong khoảng [0;2π]

B2: Dựa vào chu kì tuần hoàn của đồ thị hàm số y=cosx suy ra tất cả các khoảng chứa các điểm thuộc đồ thị hàm số và nằm phía dưới trục hoành. 

Lời giải: 

Bài 8 trang 18 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

a. 

b. 

Trả lời: 

a.

Phương pháp giải:

Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos: −1≤sin⁡x≤1;−1≤cos⁡x≤1.

Lời giải: 

y=2cos⁡x+1

Điều kiện: cos⁡x≥0.

Vì −1≤cos⁡x≤1 nên kết hợp điều kiện ta có 0≤cos⁡x≤1⇒0≤cos⁡x≤1

⇒0≤2cos⁡x≤2 ⇒0+1≤2cos⁡x+1≤2+1 ⇒1≤y≤3.

Do dó maxy=3 khi cos⁡x=1⇔x=k2π.

b.

Phương pháp giải:

Sử dụng tập giá trị của hàm sin và cos: −1≤sin⁡x≤1;−1≤cos⁡x≤1.

Lời giải: 

y=3−2sin⁡x

ta có: −1≤sin⁡x≤1 ⇒2≥−2sin⁡x≥−2 ⇒3+2≥3−2sin⁡x≥3−2 ⇒5≥y≥1.

Vậy maxy=5 khi sin⁡x=−1⇔x=−π2+k2π.

Lý thuyết Bài 1. Hàm số lượng giác

 1. Hàm số y=sin⁡x

- Có TXĐ D=R, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [−1;1]. 

- Đồng biến trên mỗi khoảng [−π2+k2π;π2+k2π] và nghịch biến trên mỗi khoảng [π2+k2π;3π2+k2π]

- Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm O[0;0]

2. Hàm sốy=cos⁡x

- Có TXĐ D=R, là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì 2π, nhận mọi giá trị thuộc đoạn [−1;1].

- Đồng biến trên mỗi khoảng [−π+k2π;k2π] và nghịch biến trên mỗi khoảng [k2π;π+k2π]

- Có đồ thị là đường hình sin đi qua điểm [0;1]

3. Hàm số y=tan⁡x

- Có TXĐ D=R∖{π2+kπ,k∈Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.

- Đồng biến trên mỗi khoảng [−π2+kπ;π2+kπ].

4. Hàm số y=cot⁡x

- Có TXĐ D=R∖{kπ,k∈Z}, là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì π, nhận mọi giá trị thuộc R.

- Nghịch biến trên mỗi khoảng [kπ;π+kπ].