Giải bài toán bằng cách lập phương trình bài 45
|
Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng.. Bài 45 trang 31 sgk toán 8 tập 2 – Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán 8
Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa.Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng (x nguyên dương) Số tấm thảm len mỗi ngày dự định dệt: \({x \over {20}}\) Số tấm thảm len thực tế đã dệt: x + 24 Số tấm thảm len mỗi ngày đã dệt:\({{x + 24} \over {18}}\) Vì năng suất của xí nghiệp tăng 20% nên số thảm thực tế dệt trong một ngày bằng 120% số thảm dự định dệt trong một ngày; ta có phương trình: Quảng cáo\({{x + 24} \over {18}} = 120\% .{x \over {20}}\) ⇔ \({{x + 24} \over {18}} = {6 \over 5}.{x \over {20}}\) ⇔\(50\left( {x + 24} \right) = 54x\) ⇔\(50x + 1200 = 54x\) ⇔\(4x = 1200\) ⇔\(x = 300\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy số tấm thảm len dự định dệt là 300 tấm. Giải SGK Toán 8 Bài 45 Trang 31 SGK Toán 8 tập 2 biên soạn và đăng tải với hướng dẫn chi tiết lời giải giúp cho các em học sinh tham khảo, ôn tập, củng cố kỹ năng giải Toán 8. Mời các em học sinh cùng tham khảo chi tiết. Bài 45 Trang 31 SGK Toán 8 - Tập 2
Hướng dẫn giải Bước 1: Đặt số tấm thảm len phải dệt là ẩn, đặt điều kiện cho ẩn. Bước 2: Biểu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn. Bước 3: Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng và giải phương trình đó. Bước 4: Kết hợp điều kiện đưa ra kết luận. Lời giải chi tiết Gọi x là năng suất dự tính của xí nghiệp (sản phẩm/ngày); (x ∈ N*) ⇒ Số thảm len dệt được theo dự tính là: 20x (thảm). Sau khi cải tiến, năng suất của xí nghiệp đã tăng 20% nên năng suất trên thực tế là: x + 20%.x = x + 0,2x = 1,2x (sản phẩm/ngày). Sau 18 ngày, xí nghiệp dệt được: 18.1,2x = 21,6.x (thảm) Vì sau 18 ngày, xí nghiệp không những hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nên ta có phương trình: 21,6.x = 20x + 24 ⇔ 21,6x – 20x = 24 ⇔ 1,6x = 24 ⇔ x = 15 (thỏa mãn) Vậy số thảm mà xí nghiệp phải dệt ban đầu là: 20.15 = 300 (thảm). ------------------------------------------------------------- Trên đây là lời giải chi tiết bài tập Toán 8 bài 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp) cho các em học sinh tham khảo, nắm được cách giải các dạng toán Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn Toán 8 Tập 2. Với lời giải hướng dẫn chi tiết các bạn có thể so sánh kết quả của mình từ đó nắm chắc kiến thức Toán lớp 8. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác với GiaiToan để có thêm nhiều tài liệu chất lượng miễn phí nhé!
Bài 45 (trang 31 SGK Toán 8 tập 2) Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa. Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. Lời giải: Cách 1: * Phân tích: Ta có: Số sản phẩm dệt được = năng suất . số ngày dệt.
18.1,2x = 20x + 24 * Giải: Gọi x là năng suất dự tính của xí nghiệp (x > 0, sản phẩm/ngày). ⇒ Số thảm len dệt được theo dự tính là: 20x (thảm). Sau khi cải tiến, năng suất của xí nghiệp đã tăng 20% nên năng suất trên thực tế là: x + 20%.x = x + 0,2x = 1,2x (sản phẩm/ngày). Sau 18 ngày, xí nghiệp dệt được: 18.1,2x = 21,6.x (thảm). Vì sau 18 ngày, xí nghiệp không những hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nên ta có phương trình: 21,6.x = 20x + 24 ⇔ 21,6x – 20x = 24 ⇔ 1,6x = 24 ⇔ x = 15 (thỏa mãn) Vậy số thảm mà xí nghiệp phải dệt ban đầu là: 20.15 = 300 (thảm). Cách 2:  Tham khảo toàn bộ: Giải Toán 8
Bài 45 trang 31 sgk toán 8 tập 2 Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt một số tấm thảm len trong 20 ngày. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất dệt của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày, không những xí nghiệp đã hoàn thành số thảm cần dệt mà còn dệt thêm được 24 tấm nữa.Tính số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng. Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số tấm thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng (x nguyên dương) Số tấm thảm len mỗi ngày dự định dệt: \({x \over {20}}\) Số tấm thảm len thực tế đã dệt: x + 24 Số tấm thảm len mỗi ngày đã dệt:\({{x + 24} \over {18}}\) Vì năng suất của xí nghiệp tăng 20% nên số thảm thực tế dệt trong một ngày bằng 120% số thảm dự định dệt trong một ngày; ta có phương trình: \({{x + 24} \over {18}} = 120\% .{x \over {20}}\) ⇔ \({{x + 24} \over {18}} = {6 \over 5}.{x \over {20}}\) ⇔\(50\left( {x + 24} \right) = 54x\) ⇔\(50x + 1200 = 54x\) ⇔\(4x = 1200\) ⇔\(x = 300\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy số tấm thảm len dự định dệt là 300 tấm. Bài 46 trang 31 sgk toán 8 tập 2 Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Nhưng sau khi đi được một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính quãng đường AB Hướng dẫn làm bài: Gọi x là quãng đường AB (x > 0; km) Đoạn đường đi trong 1 giờ: 48 km Đoạn đường còn lại: x – 48 Thời gian dự đinh:\({{x - 48} \over {48}}\) Thời gian thực tế:\({{x - 48} \over {54}}\) Nếu không bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút thì ô tô sẽ đến sớm nên: \({{x - 48} \over {48}} - {{x - 48} \over {54}} = {1 \over 6}\) ⇔\(9\left( {x - 48} \right) - 8\left( {x - 48} \right) = 72\) ⇔\(9x - 432 - 8x + 384 = 72\) ⇔\(x = 120\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy quãng đường AB bằng 120 km. Bài 47 trang 32 sgk toán 8 tập 2 Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất mỗi tháng là a% (a là một số cho trước) và lãi tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. a)Hãy viết biểu thức biểu thị: +Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; +Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có được sau tháng thứ nhất; +Tổng số tiền lãi có được sau tháng thứ hai. b)Nếu lãi suất là 1,2% (tức là a = 1,2) và sau 2 tháng tổng só tiền lãi là 48,288 nghìn đồng, thì lúc đầu bà An đã gửi bao nhiêu tiền tiết kiệm? Hướng dẫn làm bài: a) Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm: x đồng Lãi suất là a% tháng nên số tiền lãi sau tháng thứ nhất a%.x Số tiền lãi có được sau tháng thứ hai: Tổng số tiền lãi sau hai tháng: \(a\% x + \left( {1 + a\% } \right)x.a\% = \left( {2 + a\% } \right).a\% x\) b) Vì sau hai tháng bà An lãi 48288 đồng với lãi suất 1,2% nên: \(\left( {2 + 1,2\% } \right)1,2\% x = 48288 \Leftrightarrow x = {{48288} \over {2,012.0,012}}\) ⇔\(x = 2000000\) Vậy bà An đã gửi tiết kiệm 2000 000 đồng. Bài 48 trang 32 sgk toán 8 tập 2 Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số dân năm ngoái của tỉnh A (0 < x < 4 000 000; x ∈ N Số dân tỉnh B: 4000 000 – x Số dân của tỉnh A năm nay: 1,011.x Số dân của tỉnh B năm nay: 1,012 (4000000 – x ) Vì dân số tỉnh A năm nay hơn tỉnh B là 8072000 người nên ta có phương trình: \(1,011x - 1,012\left( {4000000 - x} \right) = 807200\) ⇔\(1,011x - 4048000 + 1,012x = 807200\) ⇔\(2,023x = 4855200\) ⇔ 9x = 2 400 000 (thỏa điều kiện đặt ra) Vậy dân số của tỉnh A: 2 400 000 người Dân số của tỉnh B: 1 600 000 người Bài 49 trang 32 sgk toán 8 tập 2 Đố: Lan có một miếng bìa hình tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 3cm. Lan tính rằng nếu cắt từ miếng bìa đó ra một hình chữ nhật ấy có diện tích bằng một nửa diện tích của miếng bìa ban đầu. Tính độ dài cạnh AC của tam giác ABC.
Hướng dẫn làm bài: Gọi x (cm) là cạnh AC (x > 0). Gọi hình chữ nhật là MNPA thì MC = x – 2 (cm) Vì MN // AB nên \({{MN} \over {AB}} = {{MC} \over {AC}}\) =>\(MN = {{AB.MC} \over {AC}} = {{3\left( {x - 2} \right)} \over x}\) Diện tích hình chữ nhật : \(2.{{3\left( {x - 2} \right)} \over x} = {{6\left( {x - 2} \right)} \over x}\) Diện tích hình tam giác :\({1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3x = {3 \over 2}x\) Vì diện tích hình chữ nhật bằng một nửa diện tích hình tam giác \({3 \over 2}x = 2{{6\left( {x - 2} \right)} \over x} \Leftrightarrow 3{x^2} = 24 - 48\) ⇔\(3{x^2} - 24x + 48 = 0\) ⇔\({x^2} - 8x + 16 = 0\) ⇔\({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\) ⇔\(x = 4\) (thỏa điều kiện đặt ra) Vậy AC = 4cm. Giaibaitap.me Page 2
Bài 50 trang 33 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình: a) \(3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300\) ; b) \({{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 5} - {{2 + 3x} \over {10}} = 7 - {{3\left( {2x + 1} \right)} \over 4}\) ; c)\({{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\) ; d) \({{3x + 2} \over 2} - {{3x + 1} \over 6} = 2x + {5 \over 3}\) . Hướng dẫn làm bài: a) \(3 - 4x\left( {25 - 2x} \right) = 8{x^2} + x - 300\) ⇔\(3 - 100x + 8{x^2} = 8{x^2} + x - 300\) ⇔\( - 101x = - 303\) ⇔\(x = 3\) Vậy phương trình có nghiệm x = 3. b) \({{2\left( {1 - 3x} \right)} \over 5} - {{2 + 3x} \over {10}} = 7 - {{3\left( {2x + 1} \right)} \over 4}\) ⇔\(8\left( {1 - 3x} \right) - 2\left( {3 + 2x} \right) = 140 - 15\left( {2x + 1} \right)\) ⇔\(8 - 24x - 6 - 4x = 140 - 30x - 15\) ⇔\( - 28x + 2 = 125 - 30x\) ⇔\(2x = 123\) ⇔\(x = {{123} \over 2}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{123} \over 2}\) c)\({{5x + 2} \over 6} - {{8x - 1} \over 3} = {{4x + 2} \over 5} - 5\) ⇔\(5\left( {5x + 2} \right) - 10\left( {8x - 1} \right) = 6\left( {4x + 2} \right) - 150\) ⇔\(25x + 10 - 80x + 10 = 24x + 12 - 150\) ⇔\( - 55x + 20 = 24x - 138\) ⇔\( - 79x = - 158\) ⇔\(x = 2\) Vậy phương có nghiệm x = 2. d).\({{3x + 2} \over 2} - {{3x + 1} \over 6} = 2x + {5 \over 3}\) ⇔\(3\left( {3x + 2} \right) - \left( {3x + 1} \right) = 12x + 10\) ⇔\(9x + 6 - 3x - 1 = 12x + 10\) ⇔\(6x + 5 = 12x + 10\) ⇔\( - 6x = 5\) ⇔\(x = {{ - 5} \over 6}\) Vậy phương trình có nghiệm \(x = {{ - 5} \over 6}\) . Bài 51 trang 33 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: a) \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\) b) \(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\) c) \({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right);\) d) \(2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\) Hướng dẫn làm bài: a)\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 3} \right) - \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 3 - 5x + 8} \right) = 0\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {5 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{ - 1} \over 2}} \cr {x = {5 \over 2}} \cr} } \right.} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = {{ - 1} \over 2};x = {5 \over 2}\) . b)\(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1 - 3x + 5} \right)\) ⇔\(\left( {2x - 1} \right)\left( {4 - x} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{2x - 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {1 \over 2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.\) Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = {1 \over 2};x = 4\) c) \({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\) ⇔\({\left( {x + 1} \right)^2} = \left[ {2(x - 1} \right){]^2}\) ⇔\(\left( {x + 1 - 2x + 2} \right)\left( {x + 1 + 2x - 2} \right) = 0\) ⇔\(\left( {3 - x} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{3 - x = 0} \cr {3x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = {1 \over 3}} \cr} } \right.} \right.\) d) \(2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\) ⇔\(x\left( {2{x^2} + 5x - 3} \right) = 0\) ⇔\(x\left[ {2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0\) ⇔\(x\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 3 = 0} \cr {2x - 1 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = - 3} \cr {x = {1 \over 2}} \cr} } \right.\) Vậy phương trình có ba nghiệm x = 0; x = -3; x =\({1 \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm . Bài 52 trang 33 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình: a) \({1 \over {2x - 3}} - {3 \over {x\left( {2x - 3} \right)}} = {5 \over x}\) ; b) \({{x + 2} \over {x - 2}} - {1 \over x} = {2 \over {x\left( {x - 2} \right)}}\) ; c) \({{x + 1} \over {x - 2}} + {{x - 1} \over {x + 2}} = {{2\left( {{x^2} + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}};\) d) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right)\) Hướng dẫn làm bài: a) \({1 \over {2x - 3}} - {3 \over {x\left( {2x - 3} \right)}} = {5 \over x}\) ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne {3 \over 2}\) Khử mẫu ta được:\(x - 3 = 5\left( {2x - 3} \right) \Leftrightarrow x - 3 = 10x - 15\) ⇔\( - 9x = - 12\) ⇔\(x = {4 \over 3}\) \(x = {4 \over 3}\) thỏa điều kiện đặt ra Vậy phương trình có nghiệm \(x = {4 \over 3}\) b) \({{x + 2} \over {x - 2}} - {1 \over x} = {2 \over {x\left( {x - 2} \right)}}\) ĐKXĐ:\(x \ne 0,x \ne 2\) Khử mẫu ta được:\(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x + 2 = 2\) ⇔\({x^2} + x = 0\) ⇔\(x\left( {x + 1} \right) = 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0 } \cr {x = - 1} \cr} } \right.} \right.\) X = 0 không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có nghiệm x =-1 c) \({{x + 1} \over {x - 2}} + {{x - 1} \over {x + 2}} = {{2\left( {{x^2} + 2} \right)} \over {{x^2} - 4}}\) ĐKXĐ : \(x \ne 2;x \ne - 2\) Khử mẫu ta được: \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) ⇔\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 1} \right){x^2} + x + 2x + 2 + {x^2} - x - 2x + 2 = 2{x^2} + 4\left( {x - 2} \right) = 2\left( {{x^2} + 2} \right)\) ⇔\(2{x^2} + 4 = 2{x^2} + 4\) ⇔(0x = 0\left( {\forall x \in R} \right)\) Mà ĐKXĐ :\(x \ne \pm 2\) Vậy phương trình có vô số nghiệm \(x \in R;x \ne 2;x \ne - 2\) d) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right)\) Phương trình đã cho tương đương với: \(\left( {{{3x + 8} \over {2 - 7x}} + 1} \right)\left( {2x + 3 - x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{{3x + 8 + 2 - 7x} \over {2 - 7x}}} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) ⇔\(\left( {10 - 4x} \right)\left( {x + 8} \right) = 0\) vì \(2 - 7x \ne 0\) ⇔\(\left[ {\matrix{{10 - 4x = 0} \cr {x + 8 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[{\matrix{{x = {5 \over 2}} \cr {x = - 8} \cr} } \right.} \right.\) Cả hai giá trị đều thích hợp với ĐKXĐ. Vậy phương trình có hai nghiệm :\(x = {5 \over 2};x = - 8\) Bài 53 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Giải phương trình: \({{x + 1} \over 9} + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + {{x + 4} \over 6}\) Hướng dẫn làm bài: Cộng 2 vào hai vế của phương trình, ta được: \({{x + 1} \over 9} + 1 + {{x + 2} \over 8} = {{x + 3} \over 7} + 1 + {{x + 4} \over 6} + 1\) ⇔\({{x + 10} \over 9} + {{x + 10} \over 8} = {{x + 10} \over 7} + {{x + 10} \over 6}\) ⇔\(\left( {x + 10} \right)\left( {{1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6}} \right) = 0\) Vì \({1 \over 9} < {1 \over 7};{1 \over 8} < {1 \over 6}\) nên \({1 \over 9} + {1 \over 8} - {1 \over 7} - {1 \over 6} < 0\) ⇔x+10 = 0 ⇔x= -10 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -10. Bài 54 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B,biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Hướng dẫn làm bài: Gọi x (km) là khoảng cách giữa hai bến A và B, với x > 0. Vận tốc khi xuôi dòng:\({x \over 4}\) Vận tốc khi ngược dòng: \({x \over 5}\) Vận tốc dòng nước: 2 km/h Hiệu vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng bằng 2 lần vận tốc dòng nước, do đó: \({x \over 4} - {x \over 5} = 4 \Leftrightarrow 5{\rm{x}} - 4{\rm{x}} = 80\) ⇔\(x = 80\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy khoảng cách giữa hai bến là 80 km. Bài 55 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Biết rằng 200 g một dung dịch chứa 50g muối. Hỏi phải pha thêm bao nhiêu gam nước vào dung dịch đó để được một dung dịch chứa 20% muối? Hướng dẫn làm bài: Gọi x (g) là khối lượng nước phải pha thêm, với x > 0. Khối lượng dung dịch mới: 200 + x Vì dung dịch mới có nồng độ 20% nên: \({{50} \over {200 + x}} = {{20} \over {100}} \Leftrightarrow {{50} \over {200 + x}} = {1 \over 5}\) ⇔\(250 = 200 + x\) ⇔ \(x = 50\) (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy phải pha thêm 50g nước thì được dung dịch là 20% muối Bài 56 trang 34 sgk toán 8 tập 2 Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt được tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa là nếu người sử dụng càng dùng nhiều điện thì giá mỗi số điện (1kWh) càng tăng lên theo các mức như sau: Mức thứ nhât: Tính cho 100 số điện đầu tiền; Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150, mỗi số đắt hơn 150 đồng so với mức thứ nhât; Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200, mỗi số đắt hơn 200 đồng so với mức thứ hai; v.v… Ngoài ra, người sử dụng còn phải trả thêm 10% thuê giá trị gia tăng (thuế VAT). Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện và phải trả 95700 đồng. Hỏi mỗi số điện ở mức thứ nhất giá là bao nhiêu? Hướng dẫn làm bài: Gọi x (đồng) là giá điện ở mức thứ nhất. Số tiền phải trả ở mức 1: 100x Số tiền phải trả ở mức 2: 50(x + 150) Số tiền phải trả ở mức: 15(x + 350) Số tiền phải trả chưa tính thuế VAT: 100x + 50(x + 150) + 15(x + 350) = 165x + 7500 + 5250 = 165x + 12750 Số tiền thuế VAT (165 x+12750).0,1 Ta có: 165x + 12750 + (165x + 12750).0,1 = 95700 ⇔ (165x + 12750) (1 + 0,1) = 95700 ⇔ 165x + 12750 = 87000 ⇔ 165x = 74250 ⇔ x = 450 (thỏa điều kiện đặt ra). Vậy giá điện ở mức thấp nhất là 450 đồng. Giaibaitap.me Giải các phương trình: Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Bài 29 trang 48 sgk toán 8 tập 2 a)Giá trị của biểu thức 2x – 5 không âm; b)Giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5. Hướng dẫn làm bài: a)Ta có bất phương trình: 2x – 5 ≥ 0 ⇔ 2x > 5 ⇔\(x \ge {5 \over 2}\) Vậy để cho 2x – 5 không âm thì \(x \ge {5 \over 2}\) . b)Tìm x sao cho giá trị của biểu thức -3x không lớn hơn giá trị của biểu thức -7x + 5. Ta có : -3x ≤ -7x + 5 ⇔-3x + 7x ≤ 5 ⇔2x ≤ 5 ⇔x ≤\({5 \over 2}\) Vậy để cho giá trị của -3x không lớn hơn giá trị của -7x + 5 thì \(x \le {5 \over 2}\) . Bài 30 trang 48 sgk toán 8 tập 2 Một người có số tiền không quá 70 000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá: loại 2000 đồng và loại 5000 đồng. Hỏi người đó có bao nhiêu tờ giấy bạc loại 5000 đồng? Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số tờ giấy bạc loại 5000 đồng. Số tờ giấy bạc loại 2000 đồng là 15 – x (với 0 Vì số tiền không quá 70000 nên 5000x + 2000(15 – x ) ≤ 70000 5000x + 30000 – 2000x ≤ 70000 3000x ≤ 40000 x ≤\({{40} \over 3}\) So với điều kiện thì \(0 < x \le {{40} \over 3}\) mà x là số nguyên dương nên x có thể là số nguyên dương từ 1 đến 13. Vậy số từ giấy bạc loại 5000đ người ấy có thể có là các số nguyên dương từ 1 đến 13. Bài 31 trang 48 sgk toán 8 tập 2 Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) \({{15 - 6x} \over 3} > 5\) b) \({{8 - 11x} \over 4} < 13\) c) \({1 \over 4}\left( {x - 1} \right) < {{x - 4} \over 6}\) d) \({{2 - x} \over 3} < {{3 - 2x} \over 5}\) Hướng dẫn làm bài: a) \({{15 - 6x} \over 3} > 5 \Leftrightarrow 15 - 6x > 15\) ⇔-6x > 0 ⇔x < 0 Vậy tập nghiệm là S ={x/x<0}. Biểu diễn trên trục số:
b) \({{8 - 11x} \over 4} < 13 \Leftrightarrow 8 - 11x < 52\) ⇔-11x< 44 ⇔x> -4 Vậy tập hợp nghiệm: x > -4 Biểu diễn trên trục số:
c) \({1 \over 4}\left( {x - 1} \right) < {{x - 4} \over 6} \Leftrightarrow 12.{1 \over 4}\left( {x - 1} \right) < 12.{{x - 4} \over 6}\) ⇔3(x – 1) < 2 (x – 4) ⇔ 3x – 3 < 2x – 8 ⇔3x – 2x < -8 + 3 ⇔ x < -5 Vậy tập hợp nghiệm : S = {x/x < -5} Biểu diễn trên trục số:
d) \({{2 - x} \over 3} < {{3 - 2x} \over 5} \Leftrightarrow 15.{{2 - x} \over 3} < 15.{{3 - 2x} \over 5}\) ⇔5(2 – x) < 3(3 – 2x) ⇔ 10 – 5x < 9 – 6x ⇔6x – 5x < 9 – 10 ⇔ x < -1 Vậy tập nghiệm S = {x/x < -1}. Biểu diện trên trục số:
Bài 32 trang 48 sgk toán 8 tập 2 Giải các bất phương trình: a) 8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6); b)2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x +3). Hướng dẫn làm bài: a)8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6) ⇔ 8x + 3x + 3 > 5x – 2x + 6 ⇔ 8x + 3 > 6 ⇔8x > 3 ⇔x > \({3 \over 8}\) Vậy nghiệm của bất phương trình: x > \({3 \over 8}\) b) 2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x +3). ⇔12x2 – 2x > 12x2 – 8x + 9x – 6 ⇔12x2 – 2x > 12x2 + x – 6 ⇔-2x – x > - 6 ⇔-3x > -6 ⇔x < 2 Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2. Bài 33 trang 48 sgk toán 8 tập 2 Đố: Trong một kì thi, bạn Chiến phải thi bốn môn Văn, Toán, Tiếng Anh và Hóa. Chiến đã thi ba môn và được kết quả như bảng sau:
Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình các môn thi là 8 trở lên và không có môn nào bị điểm dưới 6. Biết môn Văn và Toán được tính hệ số 2. Hãy cho biết, để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là bao nhiêu? Hướng dẫn làm bài: a) Gọi x là điểm thi môn Toán, theo đề bài ta có điều kiện: 6 ≤ x ≤ 10 Điểm trung bình của bốn môn: \({{8.2 + 7 + 10 + x.2} \over 6} = {{33 + 2x} \over 6}\) Để được xếp loại giỏi thì: \({{33 + 2x} \over 6} \ge 8\) ⇔33 + 2x ≥ 48 ⇔2x ≥ 15 ⇔x ≥ 7,5 Vậy để đạt được loại giỏi thì bạn Chiến phải có điểm thi môn Toán ít nhất là 7. Bài 34 trang 49 sgk toán 8 tập 2 Đố. Tìm sai lầm trong các “lời giải” sau: a) Giải bất phương trình -2x > 23. Ta có: -2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25. Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 25. b) Giải bất phương trình \( - {3 \over 7}x > 12\) . Ta có: \( - {3 \over 7}x > 12 \Leftrightarrow \left( { - {7 \over 3}} \right).\left( { - {3 \over 7}} \right) > \left( { - {7 \over 3}} \right).12 \Leftrightarrow x > - 28\) Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -28. Hướng dẫn làm bài: a) -2x > 23 ⇔ x > 23 + 2 ⇔ x > 25. Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 25 Nhận xét: Sai lầm là: khi tìm x phải nhân hai vế với -\({1 \over 2}\) hoặc chia hai vế cho -2 và đổi chiều bất phương trình Lời giải đúng: -2x > 23 ⇔x < 23 : (-2) ⇔x < -11,5 Vậy nghiệm của bất phương trình: x < -11,5 b) \( - {3 \over 7}x > 12 \Leftrightarrow \left( { - {7 \over 3}} \right).\left( { - {3 \over 7}} \right) > \left( { - {7 \over 3}} \right).12 \Leftrightarrow x > - 28\) Vậy nghiệm của bất phương trình là x > -28. Nhận xét: Sai làm là nhân hai vế của bất phương trình cho mà không đổi chiều bất phương trình. Lời giải đúng: \( - {3 \over 7}x > 12 \Leftrightarrow \left( { - {7 \over 3}} \right).\left( { - {3 \over 7}x} \right) < \left( { - {7 \over 3}} \right).12\) ⇔ x < -28 Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -28. Giaibaitap.me Page 10
Bài 35 trang 51 sgk toán 8 tập 2 Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức: a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0; b) B = |4x| -2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0; c) C = |x - 4| - 2x + 12 khi x > 5; d) D = 3x + 2 + |x + 5| Hướng dẫn giải: a) A = 3x + 2 + |5x| => A = 3x + 2 + 5x khi x ≥ 0 A = 3x + 2 - 5x khi x < 0 Vậy A = 8x + 2 khi x ≥ 0 A = -2x + 2 khi x < 0 b) B = 4x - 2x + 12 khi x ≥ 0 B = -4x -2x + 12 khi x < 0 Vậy B = 2x + 12 khi x ≥ 0 B = -6x khi x < 0 c) Với x > 5 => x - 4 > 1 hay x - 4 dương nên C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8 Vậy với x > 5 thì C = -x + 8 d) D= 3x + 2 + x+ 5 khi x + 5 ≥ 0 D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0 Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5 D = 2x - 3 khi x < -5 Bài 36 trang 51 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình: a) |2x| = x - 6; b) |-3x| = x - 8; c) |4x| = 2x + 12; d) |-5x| - 16 = 3x. Hướng dẫn giải: a) |2x| = x - 6 |2x| = x - 6 ⇔ 2x = x - 6 khi x ≥ 0 ⇔ x = -6 không thoả mãn x ≥ 0 |2x| = x - 6 ⇔ -2x = x - 6 khi x < 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2 không thoả mãn x < 0 Vậy phương trình vô nghiệm b) |-3x| = x - 8 |-3x| = x - 8 ⇔ -3x = x - 8 khi -3x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ⇔ 4x = 8 ⇔ x = 2 (không thoả mãn ≤ 0) |-3x| = x - 8 ⇔ 3x = x - 8 khi -3x < 0 ⇔ x > 0 ⇔ 2x = -8 ⇔ x = -4 (không thoả mãn x < 0) Vậy phương trình vô nghiệm c) |4x| = 2x + 12 |4x| = 2x + 12 ⇔ 4x = 2x + 12 khi 4x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6 (thoả mãn điều kiện x ≥ 0) |4x| = 2x + 12 ⇔ -4x = 2x + 12 khi 4x < 0 ⇔ x < 0 ⇔ 6x = -12 ⇔ x = -2 (thoả mãn điều kiện x < 0) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 6 và x = -2 d) |-5x| - 16 = 3x |-5x| - 16 = 3x ⇔ -5x - 16 = 3x khi -5x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ⇔ 8x = -16 ⇔ x = -2 (thoả mãn điều kiện x ≤ 0) |-5x| - 16 = 3x ⇔ 5x -16 = 3x khi -5x < 0 ⇔ x > 0 ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8 (thoả mãn điều kiện x > 0) Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x= 8 Bài 37 trang 51 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình: a) |x - 7| = 2x + 3; b) |x + 4| = 2x - 5; c) |x + 3| = 3x - 1; d) |x - 4| + 3x = 5. Hướng dẫn giải: a) |x - 7| = 2x + 3 |x - 7| = 2x + 3 ⇔ x - 7 = 2x + 3 khi x - 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 ⇔ x = -10 (không thoả mãn điều kiện x ≥ 7) |x - 7| = 2x + 3 ⇔ -x + 7 = 2x + 3 khi x - 7 < 0 ⇔ x < 7 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = \( \frac{4}{3}\) (thoả mãn điều kiện x < 7) Vậy phương trình có nghiệm x = \( \frac{4}{3}\) b) |x + 4| = 2x - 5 ⇔ x + 4 = 2x - 5 khi x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ -4 ⇔ x = 9 ( thoả mãn điều kiện x ≥ -4) |x + 4| = 2x - 5 ⇔ -x - 4 = 2x - 5 khi x + 4 < 0 ⇔ x < -4 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = \( \frac{1}{3}\) (không thoả mãn điều kiện x < -4) Vậy phương trình có nghiệm x = 9 c) |x + 3| = 3x - 1 |x + 3| = 3x - 1 ⇔ x + 3 = 3x - 1 khi x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3 ⇔ 3x = 4 ⇔ x = \( \frac{4}{3}\) (thoả mãn điều kiện x ≥ -3) |x + 3| = 3x - 1 ⇔ -x - 3 = 3x - 1 khi x < -3 ⇔ 4x = -2 ⇔ x = \( -\frac{1}{2}\) (không thoả mãn điều kiện x < -3) Vậy phương trình có nghiệm x = \( \frac{4}{3}\) d) |x - 4| + 3x = 5 |x - 4| + 3x = 5 ⇔ x - 4 + 3x = 5 khi x ≥ 4 ⇔ 4x = 9 ⇔ x = \( \frac{9}{4}\) (không thoả mãn điều kiện x ≥ 4) |x - 4| + 3x = 5 ⇔ -x + 4 + 3x = 5 khi x < 4 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = \( \frac{1}{2}\) Giaibaitap.me Page 11
Bài 38 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Cho m > n, chứng minh: a)m + 2 > n +2; b)-2m < -2n; c)2m – 5 > 2n – 5; d)4 – 3m < 4 – 3n. Hướng dẫn làm bài: a) Ta có m > n => m + 2 > n + 2 (cộng vào hai vế với 2) b) Ta có m > n => - 2m < - 2n (nhân vào hai vế với -2) c) m > n => 2m > 2n (nhân hai vế với 2) =>2m – 5 > 2n – 5 (cộng vào hai vế với -2) d) m > n => -3m < -3n (nhân hai vế với -3) =>4 – 3m < 4 – 3n (cộng vào hai vế với 4) Bài 39 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Kiểm tra xem -2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau: a)-3x + 2 > -5; b)10 – 2x < 2; c)x2 – 5 < 1; d)|x| < 3; e)|x| > 2; f)x + 1 > 7 – 2x. Hướng dẫn làm bài: a)Thay x = -2 vào bất phương trình: -3x + 2 > -5 -3 (-2) + 2 > -5 ⇔ 6 +2 > -5 ⇔ 8 > -5 (khẳng định đúng). Vậy x = -2 là nghiệm của -3x + 2 > -5 b)Thay x = -2 vào bất phương trình: 10 – 2x < 2 được 10 – 2(-2) < 2 ⇔ 10 + 4 < 2 ⇔ 14 < 2 (sai) c)Thay x = -2 vào bất phương trình x2 – 5 < 1 được (-2)2 – 5 < 1 ⇔ 4 – 5 < 1 ⇔ -1 < 1 (đúng) Vậy x = -2 là nghiệm của x2 – 5 < 1 d)Thay x = -2 vào bất phương trình |x | < 2 được |-2| < 3 ⇔ 2 < 3 (đúng) Vậy x = -2 là nghiệm của |x| < 3. e)Thay x = -2 vào bất phương trình |x| > 2 được |-2| > 2 ⇔ 2 > 2 (sai) Vậy x = -2 không là nghiệm của |x| > 2. f)Thay x = -2 vào bất phương trình x + 1 > 7 – 2x được (-2) + 1 > 7 – 2(-2) ⇔ -1 > 11 (sai) Vậy x = -2 không là nghiệm của x + 1 > 7 – 2x Bài 40 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Giải các bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) x – 1 < 3; b) x + 2 > 1; c) 0,2x < 0,6; d) 4 + 2x < 5. Hướng dẫn làm bài: a)x – 1 < 3 ⇔ x < 1 + 3 ⇔ x < 4 Vậy tập nghiệm S = {x/x <4} Biểu diễn trên trục số
b)x +2 > 1 ⇔ x > 1 – 2 ⇔ x > -1 Vậy tập nghiệm S = {x/x > -1}. Biểu diễn trên trục số
c)0,2x < 0,6 ⇔ 5.0,2x < 5.0,6 ⇔ x < 3 Vậy tập nghiệm S = {x/x < 3}. Biểu diễn trên trục số
d)4 +2x < 5 ⇔ 2x < 5 – 4 ⇔ x < Vậy tập nghiệm S ={x/ x < } Biểu diễn trên trục số
Bài 41 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Giải các bất phương trình: a) \({{2 - x} \over 4} < 5;\) b)\(3 \le {{2x + 3} \over 5}a\) c) \({{4x - 5} \over 3} > {{7 - x} \over 5}\) ; d)\({{2x + 3} \over { - 4}} \ge {{4 - x} \over { - 3}}\) . Hướng dẫn làm bài: a) \({{2 - x} \over 4} < 5 \Leftrightarrow 2 - x\left\langle {20 \Leftrightarrow x} \right\rangle - 18\) Vậy nghiệm của bất phương trình: x > -18 b) \(3 \le {{2x + 3} \over 5} \Leftrightarrow 15 \le 2x + 3\) ⇔\(15 - 3 \le 2x \Leftrightarrow 12 \le 2x \Leftrightarrow 6 \le x\) Vậy nghiệm của bất phương trình: \(x \ge 6\) c) \({{4x - 5} \over 3} > {{7 - x} \over 5} \Leftrightarrow 5\left( {4x - 5} \right) > 3\left( {7 - x} \right)\) ⇔20 x – 25 > 21 – 3x ⇔23x > 46 ⇔x > 2 Vậy nghiệm của bất phương trình: x > 2 d) \({{2x + 3} \over { - 4}} \ge {{4 - x} \over { - 3}} \Leftrightarrow \left( { - 12} \right)\left( {{{2x + 3} \over { - 4}}} \right) \le \left( { - 12} \right)\left( {{{4 - x} \over { - 3}}} \right)\) ⇔3(2x + 3) ≤ 4(4 – x) ⇔ 6x + 9 ≤ 16 – 4x ⇔6x + 4x ≤ 16 – 9 ⇔ 10x ≤ 7 ⇔\(x \le {7 \over {10}}\) Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le {7 \over {10}}\) Giaibaitap.me Page 12
Bài 42 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Giải các bất phương trình: a) 3 – 2x > 4; b) 3x + 4 < 2; c) (x – 3)2 < x2 – 3; d) (x-3)(x+3) < (x+2)2 + 3. Hướng dẫn làm bài: a)3 – 2x > 4 ⇔ 3 – 4 > 2x ⇔ -1 > 2x ⇔\( - {1 \over 2} > x\) Vậy nghiệm của bất phương trình: \(x < {{ - 1} \over 2}\) b)3x + 4 < 2 ⇔3x < 2 – 4 ⇔ 3x < -2 ⇔\(x < {{ - 2} \over 3}\) Vậy nghiệm của bất phương trình:\(x < {{ - 2} \over 3}\) c)(x – 3)2 < x2 – 3 ⇔x2 – 6x + 9 ⇔x2 – 6x – x2 < -3 – 9 ⇔-6x < -12 ⇔x > 2 Vậy nghiệm của bất phương trình : x > 2 d)(x-3)(x+3) < (x+2)2 + 3 ⇔ x2 – 9 < x2 + 4x + 4 +3 ⇔x2 – x2 – 4x < 4 + 3 + 9 ⇔-4x < 16 ⇔x > -4 Vậy nghiệm của bất phương trình x > -4. Bài 43 trang 53 sgk toán 8 tập 2 Tìm x sao cho: a) Giá trị của biểu thức 5 – 2x là số dương; b) Giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của biểu thức 4x – 5; c) Giá trị của biểu thức 2x +1 không nhỏ hơn giá trị của biểu thức x + 3; d) Giá trị của biểu thức x2 +1 không lớn hơn giá trị của biểu thức (x – 2)2. Hướng dẫn làm bài: a) Ta có bất phương trình 5 – 2x > 0. ⇔5 > 2x ⇔ x < \({5 \over 2}\). b) Ta có bất phương trình : x + 3 < 4x – 5 ⇔x – 4x < -5 – 3 ⇔-3x < -8 ⇔x > \({8 \over 3}\) Vậy để cho x + 3 nhỏ hơn 4x – 5 thì x >\({8 \over 3}\) . c) Ta có bất phương trình : 2x +1 ≥ x + 3 ⇔ 2x – x ≥ 3 – 1 ⇔ x ≥ 2 Vậy để cho 2x +1 không nhỏ hơn x + 3 thì x ≥ 2 d) Ta có bất phương trình : x2 + 1 ≤ (x – 2)2 ⇔ x2 + 1 ≤ x2 – 4x + 4 ⇔x2 – x2 + 4x ≤ 4 – 1 ⇔4x ≤ 3 ⇔\(x \le {3 \over 4}\) Vậy để cho giá trị của x2 + 1 không lớn hơn giá trị của (x – 2)2 thì \(x \le {3 \over 4}\) Bài 44 trang 54 sgk toán 8 tập 2 Đố. Trong một cuộc thi đố vui. Ban tổ chức quy định mỗi người dự thi phải trả lời 10 câu hỏi ở vòng sơ tuyển. Mỗi câu hỏi này có sẵn 4 đáp án, nhưng trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Người dự thi chọn đáp án đúng sẽ được 5 điểm, chọn đáp án sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho mỗi người dự thi 10 điểm và quy định người nào có tổng số điểm từ 40 trở lên mới được dự thi ở vòng tiếp theo. Hỏi người dự thi phải trả lời chính xác bao nhiêu câu hỏi ở vong sơ tuyển thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau? Hướng dẫn làm bài: Gọi x là số câu trả lời đúng Số câu trả lời sai: 10 – x Sau khi trả lời 10 câu thì người dự thi sẽ có: 5x – (10 – x) + 10 Để được dự thi tiếp vòng sau thì 5x – (10 – x ) +10 ≥ 40 ⇔ 5x - 10 + x + 10 ≥ 40 ⇔6x ≥ 40 ⇔ x ≥\({{20} \over 3}\) Vì x là số nguyên dương nhỏ hơn hay bằng 10 nên \({{20} \over 3} \le x \le 10\) Vậy người dự thi phải trả lời chính xác ít nhất 7 câu hỏi thì mới được dự thi tiếp ở vòng sau. Bài 45 trang 54 sgk toán 8 tập 2 Giải các phương trình: a)|3x| = x + 8; b)|-2x| = 4x + 18; c)|x – 5| = 3x; d)|x + 2| = 2x – 10. Hướng dẫn làm bài: a)|3x| = x + 8 ⇔\(\left[ {\matrix{{3x = x + 8;x \ge 0} \cr { - 3x = x + 8;x < 0} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{2x = 8} \cr { - 4x = 8} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 4 ; } \cr {x = - 2 ;} \cr} } \right.\) x = 4 thỏa mãn ĐK x ≥ 0 và x = -2 thỏa mãn ĐK x < 0 Vậy tập hợp nghiệm S = {4;-2} b)|-2x| = 4x + 18 vì |-2x| = |2x| ⇔ |2x| = 4x +18 ⇔ \(\left[ {\matrix{{2x = 4x + 18;x \ge 0} \cr { - 2x = 4x + 18;x < 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 2x = 18} \cr { - 6x = 18} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = - 9;} \cr {x = - 3} \cr} } \right.\) x = -9 không thỏa mãn ĐK x ≥ 0 Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-3} c)|x – 5| = 3x ⇔\(\left[ {\matrix{{x - 5 = 3x;x \ge 5} \cr { - x + 5 = 3x;x < 5} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{ - 5 = 2x} \cr {5 = 4x} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = - {5 \over 2}} \cr {x = {5 \over 4}} \cr} } \right.\) \(x = - {5 \over 2}\) không thỏa mãn ĐK x ≥ 5 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {{5 \over 4}} \right\}\) d) |x + 2| = 2x – 10. ⇔\(\left[ {\matrix{{x + 2 = 2x - 10;x \ge - 2} \cr { - x - 2 = 2x - 10;x < - 2} \cr} } \right.\) ⇔\(\left[ {\matrix{{x = 12} \cr {x = {8 \over 3}} \cr} } \right.\) \(x = {8 \over 3}\) không thỏa mãn điều kiện x < -2 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình S ={12 } Giaibaitap.me Page 13
Page 14
Bài 6 trang 62 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình 13 và giải thích vì sao chúng song song. Giải: Trên hình 13a ta có: \(\frac{AP}{PB}\) = \(\frac{3}{8}\); \(\frac{AM}{MC}\)= \(\frac{5}{15}\) = \(\frac{1}{3}\) vì \(\frac{3}{8}\) ≠ \(\frac{1}{3}\) nên \(\frac{AP}{PB}\) ≠ \(\frac{AM}{MC}\) => PM và MC không song song. Ta có \(\left.\begin{matrix} &\frac{CN}{NB}=\frac{21}{7}=3 \\ & \frac{CM}{MA}=\frac{15}{5}=3 \end{matrix}\right\} => \frac{CM}{MA}=\frac{CN}{NB}\) => MN//AB Trong hình 13b Ta có: \(\frac{OA'}{A'A}\) = \(\frac{2}{3}\); \(\frac{OB'}{B'B}\) = \(\frac{3}{4,5}\) = \(\frac{2}{3}\) => \(\frac{OA'}{A'A}\) = \(\frac{OB'}{B'B}\) => A'B' // AB (1) Mà \(\widehat{B"A"O}\) = \(\widehat{OA'B'}\) lại so le trong Suy ra A"B" // A'B' (2) Từ 1 và 2 suy ra AB // A'B' // A"B" Bài 7 trang 62 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tính các độ dài x,y trong hình 14. Giải: * Trong hình 14a MN // EF => \(\frac{MN}{EF}\) = \(\frac{MD}{DE}\) mà DE = MD + ME = 9.5 + 28 = 37.5 Nên \(\frac{8}{x}\) = \(\frac{9,5}{37,5}\) => x= \(\frac{8.37.5}{9.5}\) = \(\frac{600}{19}\) ≈ 31,6 * Trong hình 14b Ta có A'B' ⊥ AA'(gt) và AB ⊥ AA'(gt) => A'B' // AB => \(\frac{A'O}{OA}\) = \(\frac{A'B'}{AB}\) hay \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{4,2}{x}\) x = \(\frac{6.4,2}{3}\) = 8.4 ∆ABO vuông tại A => OB2 = y2 = OA2 + AB2 => y2 = 62+ 8,42 => y2 = 106,56 => y ≈ 10,3 Bài 8 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 a) Để chi đoạn thẳng AB thành ba đoạn bằng nhau, người ta đã làm như hình 15. Hãy mô tả cách làm trên và giải thích vì sao các đoạn AC,CD,DB bằng nhau? b) Bằng cách tương tự, hãy chi đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có cách nào khác với cách làm trên mà vẫn có thể chia đoạn AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau? Giải: a) Mô tả cách làm: Vẽ đoạn PQ song song với AB. PQ có độ dài bằng 3 đơn vị - Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA. - Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D. Chứng minh AC=CD=DB ∆OPE và ∆OBD có PE//DB nên \(\frac{DB}{PE}\) = \(\frac{OD}{OE}\) (1) ∆OEF và ∆ODC có PE // CD nên \(\frac{CD}{EF}\) = \(\frac{OD}{OE}\) (2) Từ 1 và 2 suy ra: \(\frac{DB}{PE}\) = \(\frac{CD}{EF}\) mà PE = EF nên DB = CD. Chứng minh tương tự: \(\frac{AC}{DF}\) = \(\frac{CD}{EF}\) nên AC = CD. Vây: DB = CD = AC. b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau: Ta có thể chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau như cách sau: Vẽ 6 đường thẳng song song cách đều nhau( có thể dùng thước kẻ để vẽ liên tiếp). Đặt đầu mút A và B ở hai đường thẳng ngoài cùng thì các đường thẳng song song căt AB chia thành 5 phần bằng nhau. Bài 9 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh AB sao cho AD= 13,5cm, DB= 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách tự điểm A và B đến cạnh AC Giải: Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ B và D đến cạnh AC. Ta có DH // BK (cùng vuông góc với AC) => \(\frac{DH}{BK}\) = \(\frac{AD}{AB}\) Mà AB = AD + DB => AB = 13,5 + 4,5 = 18 (cm) Vậy \(\frac{DH}{BK}\) = \(\frac{13,5}{18}\) = \(\frac{3}{4}\) Vậy tỉ số khoảng cách từ điểm D và B đến AC bằng \(\frac{3}{4}\) Bài 10 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB,AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B', C' và H'(h.16) a) Chứng minh rằng: \(\frac{AH'}{AH}\) = \(\frac{B'C'}{BC}\). b) Áp dụng: Cho biết AH' = \(\frac{1}{3}\) AH và diện tích tam giác ABC là 67.5 cm2 Tính diện tích tam giác AB'C'. Giải: a) Chứng minh \(\frac{AH'}{AH}\) = \(\frac{B'C'}{BC}\) Vì B'C' // với BC => \(\frac{B'C'}{BC}\) = \(\frac{AB'}{AB}\) (1) Trong ∆ABH có BH' // BH => \(\frac{AH'}{AH}\) = \(\frac{AB'}{BC}\) (2) Từ 1 và 2 => \(\frac{B'C'}{BC}\) = \(\frac{AH'}{AH}\) b) B'C' // BC mà AH ⊥ BC nên AH' ⊥ B'C' hay AH' là đường cao của tam giác AB'C'. Áp dụng kết quả câu a) ta có: AH' = \(\frac{1}{3}\) AH \(\frac{B'C'}{BC}\) = \(\frac{AH'}{AH}\) = \(\frac{1}{3}\) => B'C' = \(\frac{1}{3}\) BC => SAB’C’= \(\frac{1}{2}\) AH'.B'C' = \(\frac{1}{2}\).\(\frac{1}{3}\)AH.\(\frac{1}{3}\)BC =>SAB’C’= (\(\frac{1}{2}\)AH.BC)\(\frac{1}{9}\) mà SABC= \(\frac{1}{2}\)AH.BC = 67,5 cm2 Vậy SAB’C’= \(\frac{1}{9}\).67,5= 7,5 cm2 Giaibaitap.me Page 15
Bài 11 trang 63 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tam giác ABC có BC= 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I,K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K vẽ các đường EF // BC, MN // BC(h.17) a) Tính độ dài đoạn MN và EF. b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích của tam giác ABC là 270 cm2
Giải: a) ∆ABC có MN // BC. => \(\frac{MN}{CB}\) = \(\frac{AK}{AH}\)(kết quả bài tập 10) Mà AK = KI = IH Nên \(\frac{AK}{AH}\) = \(\frac{1}{3}\) => \(\frac{MN}{CB}\) = \(\frac{1}{3}\) => MN = \(\frac{1}{3}\)BC = \(\frac{1}{3}\).15 = 5 cm. ∆ABC có EF // BC => \(\frac{EF}{BC}\) = \(\frac{AI}{AH}\) = \(\frac{2}{3}\) => EF = \(\frac{2}{3}\).15 =10 cm. b) Áp dụng kết quả ở câu b của bài 10 ta có: SAMN= \(\frac{1}{9}\).SABC= 30 cm2 SAEF= \(\frac{4}{9}\).SABC= 120 cm2 Do đó SMNEF = SAEF - SAMN = 90 cm2 Bài 12 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Có thể đo dược chiều rông của một khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia hay không? Người ta tiền hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tình chiều rộng của khúc sông mà không cần phải sang bờ bên kia(h18). Nhìn hình vẽ, Hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB=x theo BC=a a, B'C'= a', BB'= h. Giải: mô tả cách làm: * Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia( chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B' thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chình là khoảng cách cần đo. * Trên hai đường thẳng vuông góc với AB' tại B và B' lấy C và C' thẳng hàng với A. * Đo độ dài các đoạn BB'= h, BC= a, B'B'= a'. Giải Ta có: \(\frac{AB}{AB'}\) = \(\frac{BC}{BC'}\) mà AB' = x + h nên \(\frac{x}{x+ h}\) = \(\frac{a}{a'}\) <=> a'x = ax + ah <=> a'x - ax = ah <=> x(a' - a) = ah x= \(\frac{ah}{a'-a}\) Vậy khoảng cách AB bằng \(\frac{ah}{a'-a}\) Bài 13 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường bằng dụng cụ do đơn giản được không? Hình 19: thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm: Hai cọc thẳng đứng và sợi dây FC, Cọc 1 có chiều cao DK= h. Các khoảng cách BC= a, DC= b đo được bằng thước thông dụng. a) Em hay cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào ? b) Tính chiều cao AB theo h, a, b. a) Cách tiến hành: - Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A,F,K nằm trên đường thẳng. - Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất( 3 điểm F,K,C thẳng hàng). b) ∆BC có AB // EF nên \(\frac{EF}{AB}\) = \(\frac{EC}{BC}\) => AB = \(\frac{EF.BC}{EC}\) = \(\frac{h.a}{b}\) Vậy chiều cao của bức tường là: AB = \(\frac{h.a}{b}\). Bài 14 trang 64 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Cho ba đoạn thẳng có độ dài là m,n,p( cùng đơn vị đo). Dựng đoạn thẳng có độ dài x sao cho: a) \(\frac{x}{m}\)= 2; b) \(\frac{x}{n}\) = \(\frac{2}{3}\); c) \(\frac{m}{x}\) = \(\frac{n}{p}\) Giải: a) Cách dựng: - Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau. - Trên tia Oy đặt điểm B sao cho OB = 2 đơn vị. - Lấy trung điểm của OB, - Nối MA. - Vẽ đường thẳng đi qua B và song song với MA cắt Ox tại C thì \(\frac{OC}{OA}\) = \(\frac{OB}{OM}\); OB = 2 OM => \(\frac{x}{m}\) = 2 b) Cách dựng: - Vẽ hai tia Ox và Oy không đối nhau. - Trên tia Ox đặt hai đoạn OA= 2 đơn vị, OB= 3 đơn vị. - Trên tia Oy đặt đoạn OB' = n - Nối BB' - Vẽ đường thẳng qua A song song với BB' cắt Oy tại A' và OA' = x. Ta có: AA' // BB' => \(\frac{OA'}{OB'}\) = \(\frac{OA}{OB}\) hay \(\frac{x}{n}\) = \(\frac{2}{3}\) c) Cách dựng: - Vẽ tia Ox, Oy không đối nhau. - Trên tia Ox đặt đoạn OA= m, OB= n. - Trên tia Oy đặt đoạn OB' = p. - Vẽ đường thẳng qua A và song song với BB' cắt Oy tại A' thì OA' = x. Thật vậy: AA' // BB' => \(\frac{OA}{x}\) = \(\frac{OB}{OB'}\) hay \(\frac{m}{x}\) = \(\frac{n}{p}\) Giaibaitap.me Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Bài 35 trang 79 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\) thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng \(k\). Giải: \(∆A'B'C' ∽ ∆ABC\) theo tỉ số \(k= \frac{A'B'}{AB}\) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'}\) (1) \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat {BAC}\) (2) \(A'D'\) là phân giác góc \(\widehat {B'A'C'}\) nên \(\widehat {B'A'D'} = {1 \over 2}\widehat {B'A'C'}\) (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra: \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{B'A'D'}\) Xét \(∆A'B'D'\) và \(∆ABD\) có: +) \(\widehat{B}\) = \(\widehat{B'}\) +) \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{B'A'D'}\) \(\Rightarrow ∆A'B'D' ∽ ∆ABD\) theo tỉ số \( \frac{A'B'}{AB}\)= \(\frac{A'D'}{AD}=k\) Bài 36 trang 79 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tính độ dài x của đường thẳng BD trong hình 43(Làm tròn đến chữ thập phân thứ nhất), biết rằng ABCD là hinh thang(AD // CD); AB= 12,5cm; CD= 28,5cm \(\widehat{DAB}\) = \(\widehat{DBC}\). Giải xét ∆ABD và ∆BDC có: \(\widehat{DBC}\) = \(\widehat{DBC}\)(gt) \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{BDC}\) => ∆ABD ∽ ∆BDC(trường hợp 3) => \(\frac{AB}{BD}\) = \(\frac{DB}{DC}\) => BD2 = AB.DC => BD = √(AB.DC) = √(12,5.8,5) => BD = 10,3 cm Bài 37 trang 79 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Hình 44 cho biết \(\widehat{EBA}\) = \(\widehat{BDC}\). a) Trong hình vẽ, có bao nhiêu tam giác vuông? Hãy kể tên các tam giác đó. b) Cho biết AE = 10cm, AB = 15cm, BC = 12cn, Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD, ED(làm tròn đén chữ số thập phân thứ nhất). c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích hai tam giác AEB và BCD. Giải: \(\widehat{EBA}\) = \(\widehat{BDC}\).(gt) mà \(\widehat{BCD}\) + \(\widehat{CBD}\) = 900 => \(\widehat{EBA}\) + \(\widehat{CBD}\) = 900 Vậy \(\widehat{EBD}\) = 900 Vậy trong hình vẽ có ba tam giác vuông đó là: ∆ABE, ∆CBD, ∆EBD. b) ∆ABE và ∆CDB có: \(\widehat{A}\) = \(\widehat{C}\) = 900 \(\widehat{ABE}\) = \(\widehat{CDB}\) => ∆ABE ∽ ∆CDB => \(\frac{AB}{CD}\) = \(\frac{AE}{CB}\) => CD = \(\frac{AB.CB}{AE}\) = 18 (cm) ∆ABE vuông tại A => BE = \(\sqrt{AE^{2}+AB^{2}}\) = \(\sqrt{10^{2}+15^{2}}\) = 21,6 (cm). ∆EBD vuông tại B => ED = \(\sqrt{EB^{2}+BD^{2}}\) = \(\sqrt{325+ 468}\) = 28.2 (cm) c) Ta có: \(S_{ABE}\) + \(S_{DBC}\) = \(\frac{1}{2}\)AE.AB + \(\frac{1}{2}\)BC.CD = \(\frac{1}{2}\). 10.15 + \(\frac{1}{2}\)12.18 = 75 + 108 = 183 cm2 \(S_{ACDE}\)= \(\frac{1}{2}\)(AE + CD).AC = \(\frac{1}{2}\)(10 + 18).27= 378 cm2 => \(S_{EBD}\)= \(S_{EBD}\) - (\(S_{ABE}\) + \(S_{DBC}\)) = 378 - 183 = 195cm2 \(S_{EBD}\)> \(S_{ABE}\) + \(S_{DBC}\) Bài 38 trang 79 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tính độ dài x,y của các đoạn thẳng trong hình 45. Giải: \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{BDE}\), lại so le trong => AB // DE => ∆ABC ∽ ∆EDC => \(\frac{AB}{ED}\) = \(\frac{BC}{DC}\) = \(\frac{AC}{EC}\) => \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{x}{3,5}\) = \(\frac{2}{y}\) => x = \(\frac{3. 3,5}{6}\) = 1.75; y = \(\frac{6.2}{3}\) = 4 Giaibaitap.me Page 22
Page 23
Bài 43 trang 80 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Cho hình bình hành ABCD(h46) có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 7cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho AE = 8cm. Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại F, a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng? hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng. b) Tính độ dài đoạn EF và BF, biết rằng DE = 10cm. Giải: a) BE // DC => ∆BEF ∽ ∆CDF AD // BF => ∆ADE ∽ ∆BFE. Do đó: ∆ADE ∽ ∆CFD b) BE = AB - AE = 12 - 8 = 4cm ∆ADE ∽ ∆BFE => \(\frac{AE}{BE}\) = \(\frac{AD}{BF}\) = \(\frac{DE}{EF}\) => \(\frac{8}{4}\) = \(\frac{7}{BF}\) = \(\frac{10}{EF}\) => BF = 3,5 cm. EF = 5 cm. Bài 44 trang 80 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Cho tam giác ABC có các cạnh AB= 24cm, AC = 28cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M,N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên AD. a) Tính tỉ số \(\frac{BM}{CN}\) b) Chứng minh rằng \(\frac{AM}{AN}\) = \(\frac{DM}{DN}\) Giải: a) AD là đường phân giác của ∆ABC => \(\frac{DB}{DC}\) = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{DB}{DC}\) = \(\frac{24}{28}\) = \(\frac{6}{7}\) Mà BM // CN (cùng vuông góc với AD). => ∆BMD ∽ ∆CND => \(\frac{BM}{CN}\) = \(\frac{BD}{CD}\) Vậy \(\frac{BM}{CN}\) = \(\frac{6}{7}\) b) ∆ABM và ∆ACN có: \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{CAN}\) \(\widehat{BMA}\) = \(\widehat{CNA}\) = 900 => ∆ABM ∽ ∆ACN => \(\frac{AM}{AN}\) = \(\frac{AB}{AC}\). mà \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{DB}{DC}\) (cmt) và \(\frac{BD}{CD}\) = \(\frac{DM}{DN}\) => \(\frac{AM}{AN}\) = \(\frac{DM}{DN}\) Bài 44 trang 80 sgk toán 8 tập 2 Cho tam giác ABC có các cạnh AB = 24 cm, AC = 28 cm. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD. a)Tính tỉ số \({{BM} \over {CN}}\). b)Chứng minh rằng \({{AM} \over {AN}} = {{DM} \over {DN}}\) . Hướng dẫn làm bài:
a) AD là đường phân giác trong ∆ABC =>\({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}} = > {{DB} \over {DC}} = {{24} \over {28}} = {6 \over 7}\) Mà BM // CN (cùng vuông góc với AD). =>∆BMD ∽ ∆CND =>\({{BM} \over {CN}} = {{BD} \over {CD}}\) Vậy:\({{BM} \over {CN}} = {6 \over 7}\) b) ∆ABM và ∆CAN có: \(\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\) (AD là phân giác \(\widehat {BAC}\) ) \(\widehat {BMA} = \widehat {CNA} = {90^0}\) =>∆ABM ∽∆ACN =>\({{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AC}}\) Mà \({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\) (chứng minh trên) Và \({{DB} \over {DC}} = {{DM} \over {DN}}\) (∆BMD ∽∆CND) =>\({{AM} \over {AN}} = {{DM} \over {DN}}\) Bài 45 trang 80 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Hai tam giác ABC và DEF có \(\widehat{A}\) = \(\widehat{D}\), \(\widehat{B}\) = \(\widehat{E}\), AB = 8cm, BC = 10cm, DE= 8cm. Tính độ dài các cạnh AC, DF và EF, biết rằng cạnh AC dài hơn cạnh DF là 3cm. Giải: ∆ABC ∽ ∆DEF vì có \(\widehat{A}\) = \(\widehat{D}\), \(\widehat{B}\) = \(\widehat{E}\) nên đồng dạng. Vì ∆ABC ∽ ∆DEF => \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{CA}{FD}\) Hay \(\frac{8}{6}\) = \(\frac{10}{EF}\) = \(\frac{CA}{FD}\) Suy ra: EF = 7,5 cm Vì \(\frac{8}{6}\) = \(\frac{CA}{FD}\) => \(\frac{CA}{8}\) = \(\frac{FD}{6}\) = \(\frac{CA - FD}{8-6}\) = 3/2 => CD = \(\frac{8.3}{2}\) = 12 cm FD = 12 -3 = 9cm Giaibaitap.me Page 24
Bài 46 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Trên hình 50, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng? Giải ∆ADC ∽ ∆ABE vì góc A chung và \(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 900 ∆DEF ∆BCF vì \(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 900 , \( \widehat{DEF}\) = \( \widehat{BFC}\) ∆DFE ∆BAE vì ( \(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 900 , góc A chung) ∆BFC ∆DAC vì (\(\widehat{D}\) = \(\widehat{B}\) = 900, góc C chung) Bài 47 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54 cm2 Tính độ dài cách cạnh của tam giác A'B'C'. Giải: Vì ∆ABC ∽ ∆A'B'C' => \( \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}\) = \( (\frac{AB}{A'B'})^{2}\) mà ∆ABC có độ dài các cạnh là 3,4,5 nên là tam giác vuông Suy ra: \( S_{ABC}\) = \( \frac{1}{2}\).3.4= 6 Do đó: \( \frac{6}{54}\) = \( (\frac{AB}{A'B'})^{2}\) <=> \( (\frac{AB}{A'B'})^{2}\) = \( \frac{1}{9}\) => \( \frac{AB}{A'B'}\) = \( \frac{1}{3}\). => A'B' = 3 AB = 3.3 Tức là mỗi cạnh của tam giác A'B'C' gấp 3 lần của cạnh của tam giác ABC. Vậy ba cạnh của tam giác A'B'C là 9cm, 12cm, 15cm. Bài 48 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là 4.5m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện. Giải: Cùng một thời điểm tia nằng mặt trời và mặt nhất bằng nhau nên hai tam giác vuông ∆ABC và ∆A'B'C' đồng dạng. ∆ABC ∽ ∆A'B'C => \( \frac{AB}{A'B'}\) = \( \frac{AC}{A'C'}\) => AB = \( \frac{AC.A'B'}{A'C'}\) => AB = \( \frac{4,5.2,1}{0,6}\) = 15,75 m Bài 49 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Ở hình 51, tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH a) Trong hình vẽ có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng?. b) Cho biết: AB = 12,45 cm, AC = 20,50cm. Tính độ dài các đoạn BC, AH, BH và CH. Giải: a) ∆ABC ∽ ∆HBA vì \( \widehat{A}\) = \( \widehat{H}\) = 900 ,\( \widehat{B}\) chung ∆ABC ∽ ∆HAC vì \( \widehat{A}\) = \( \widehat{H}\) = 900, \( \widehat{C}\) chung b) ∆ABC vuông tại A => BC2 = AB2 + AC2 => BC2 = 12,452 + 20,502 = 575,2525 => BC= √575,2525 ≈ 24 cm ∆ABC ∽ ∆HBA => \( \frac{AB}{HB}\) = \( \frac{BC}{BA}\) => HB = \( \frac{AB^{2}}{BC}\) ≈ \( \frac{12,45^{2}}{24}\) ≈ 6,5 cm => CH = BC - BH = 24 - 6,5 ≈ 17,5 cm. Mặt khác: \( \frac{AC}{AH}\) = \( \frac{AB.AC}{BC}\) = \( \frac{12,45.20,25}{24}\) => AH = 10,6 cm Bài 50 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài 36,9m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 1,62m. Tính chiều cao của ống khói. Giải: Tương tự bài 48. ∆ABC ∽ ∆A'B'C' \( \frac{AB}{A'B'}\) = \( \frac{AC}{A'C'}\) => \( AB= \frac{A'B'.AC}{A'C'}\) => \( AB= \frac{36,9.2,1}{1,62}\) => AB ≈ 47,8m Bài 51 trang 84 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài 25cm và 36cm. Tính chu vi và diện tích của tam giác vuông đó(h.53) Hướng dẫn: Trước tiên tìm cách AH từ các tam giác vuông đồng dạng, sau đó tính các cạnh của tam giác ABC. Giải: ∆AHB ∽ ∆CHA vì \(\widehat{AHB} = \widehat{AHC}\) = 900, \(\widehat{BAH} = \widehat{ACH}\) \(\frac{AH}{CH }= \frac{BH}{CH}\) => AH2 = CH.BH = 25.36 => AH2 = 900 => AH = 300 Vậy \(S_{ABC}\) = \(\frac{1}{2}\) AH.BC = \(\frac{1}{2}\).30.(25 + 26) = 915 cm2 Bài 52 trang 85 - Sách giáo khoa toán 8 tập 2 Cho một tam giác vuông, trong đó có cạnh huyền dài 20cm và một cạnh góc vuông dài 12cm. Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vuông kia trên cạnh huyền. Giải: ∆ABC vuông tại A có đường cao AH, BC = 20cm, AB = 12cm. Ta tính HC, ∆ABC ∽ ∆CBA vì Góc B chung, \( \widehat{A}\) = \( \widehat{H}\) = 900 => \(\frac{AH}{CB}= \frac{BH}{BA}\) => AB2 = HB.CB => BH = \(\frac{AB^{2}}{CB}= \frac{12^{2}}{20}\) = 7,2 (cm) => CH = BC - BH = 20 - 7,2 = 12,8 Giaibaitap.me Page 25
Page 26
Bài 56 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a)AB = 5cm, CD = 15 cm; b)AB = 45 dm, CD = 150 cm; c)AB = 5CD. Giải a)AB = 5cm và CD = 15cm =>\({{AB} \over {CD}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\) b)AB = 45dm = 450cm và CD = 150 cm =>\({{AB} \over {CD}} = {{450} \over {150}} = 3\) c)AB = 5CD =>\({{AB} \over {CD}} = 5\) Bài 57 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm H, D, M. Giải
+Nhận xét: D luôn nằm giữa H và M. +Chứng minh: AD là đường phân giác của ∆ABC. =>\({{AB} \over {AC}} = {{DB} \over {DC}}\) AB < AC =>DB < DC => DB + DC < DC + DC =>BD + DC < 2DC hay BC < 2DC => DC >\({{BC} \over 2}\) Mà \(MC = {{BC} \over 2}\) (M là trung điểm của BC) =>DC > MC =>M nằm giữa D và C (1) +Mặt khác: \(\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\) (∆CAH vuông tại H) \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) (tổng 3 góc ∆ABC) =>\(\widehat {CAH} = {{\hat A + \hat B + \hat C} \over 2} - \hat C\) =>\(\widehat {CAH} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B} \over 2} - {{\hat C} \over 2} = {{\hat A} \over 2} + {{\hat B - \hat C} \over 2}\) Vì AB < AC =>\(\widehat C < \widehat B \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\) Do đó: \(\widehat {CAH} > {{\hat A} \over 2}\) hay \(\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\) =>Tia AD nằm giữa hai tia AH và AC =>D nằm giữa hai điểm H và C (2) Từ (1) và (2) => D nằm giữa H và M. Bài 58 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (H.66). a)Chứng minh BK = CH. b)Chứng minh KH//BC. c)Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK. Hướng dẫn câu c): -Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH. -Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.
Giải a)Xét hai tam giác vuông BKC và CHB có: \(\widehat {KBC} = \widehat {HCB}\) (∆ABC cân tại A) BC là cạnh chung =>∆BKC = ∆CHB =>BK = CH b)Ta có : AB = AC (∆ABC cân tại A) BK = CH (∆BKC = ∆CHB) => AK = AH Do đó : \({{AK} \over {AB}} = {{AH} \over {AC}}\) =>KH // BC (định lí Ta lét đảo) c)BH cắt CK tại M =>M là trực tâm của ∆ABC =>AM ⊥ BC tại I. Ta có : ∆AIC ∽ ∆BHC vì \(\left\{ {\matrix{{\hat I = \hat H = {{90}^0}} \cr {\hat Cchung} \cr} } \right.\) =>\({{IC} \over {HC}} = {{AC} \over {BC}}hay{{{a \over 2}} \over {HC}} = {b \over a} = > HC = {{{a^2}} \over {2b}}\) =>\(AH = b - {{{a^2}} \over {2b}} = {{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}\) Mà HK // BC => \({{HK} \over {BC}} = {{AH} \over {AC}} = > HK = {{BC.AH} \over {AC}}\) =>\(HK = {a \over b}\left( {{{2{b^2} - {a^2}} \over {2b}}} \right) = {{2a{b^2} - {a^2}} \over {2{b^2}}}\) Bài 59 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Hình thang ABCD (AB//CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD. Giải Qua O kẻ đường thẳng song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt tại E, F. Ta có: OE = OF (xem cách chứng minh ở bài tập 20) Do đó: \({{AN} \over {EO}} = {{KN} \over {KO}}\) (AN // EO) Mà \({{BN} \over {OF}} = {{KN} \over {KO}}\) (BN // OF) =>\({{AN} \over {EO}} = {{BN} \over {FO}}\) Mà OE = OF =>AN = BN hay N là trung điểm của AB. Chứng minh tương tự: \({{DM} \over {OE}} = {{CM} \over {OF}} = > MD = MC\) =>M là trung điểm của CD. Bài 60 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Cho tam giác vuông ABC, và đường phân giác BD (D thuộc cạnh AC). a)Tính tỉ số . b)Cho biết độ dài AB = 12,5 cm, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác ABC. Giải
a)Tam giác BCA vuông tại A có nên là một nửa tam giác đều =>\({{AB} \over {BC}} = {1 \over 2}\) Vì BD là đường phân giác của ∆ABC nên: \({{DA} \over {DC}} = {{BA} \over {BC}}\) b)∆ABC vuông tại A nên AC2 = BC2 – AB2, BC = 2AB =>AC2 = 4AB2 – AB2 = 3AB2 =>AC=\(\sqrt {3A{B^2}} = AB\sqrt 3 = 12,5\sqrt 3 \approx 21,65\left( {cm} \right)\) Gọi p là chu vi ∆ABC =>p = AB + BC + CA =>p = 3AB + AC = 3.12,5 + 12,5\(\sqrt 3 \) =>p = 12,5 (3+\(\sqrt 3 ) \approx 59,15\left( {cm} \right)\) Và \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC \approx 135,31(c{m^2})\) Bài 61 trang 92 sgk toán 8 tập 2 Tứ giác ABCD có AB = 4cm, BC = 20 cm, CD = 25 cm, DA = 8cm, đường chéo BD = 10cm. a)Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kích thước đã cho ở trên. b)Các tam giác ABD và BDC có đồng dạng với nhau không? Vì sao? c)Chứng minh rằng AB // CD. Giải a)Vẽ ∆DBC biết BD = 10 cm, BC = 20 cm, DC = 25 cm. Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa C vẽ hai cung tròn tâm B và tâm D bán kính lần lượt là 4 cm và 8 cm. Hai cung này cắt nhau tại A. Vẽ các đoạn BA, DA được tứ giác ABCD. b)Ta có: \({{AB} \over {BD}} = {4 \over {10}} = {2 \over 5};{{BD} \over {DC}} = {{10} \over {25}} = {2 \over 5};{{AD} \over {BC}} = {8 \over {20}} = {2 \over 5}\) =>\({{AB} \over {BD}} = {{BD} \over {DC}} = {{AD} \over {BC}} = > \Delta ABD\Delta BDC\) c)∆ABD∽ ∆BDC =>\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) lại so le trong. =>AB // DC hay ABCD là hình thang. Giaibaitap.me |
