1. Kiến thức cần nhớ
a. Bất phương trình một ẩn
- Là mệnh đề chứa biến có dạng \[f\left[ x \right] < g\left[ x \right]\] [hoặc \[f\left[ x \right] \le g\left[ x \right],f\left[ x \right] > g\left[ x \right],f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\]] trong đó, \[f\left[ x \right],g\left[ x \right]\] là các biểu thức của \[x\].
- Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm [tập nghiệm] của nó. Khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
b. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số $x$ để $f\left[ x \right]$ và $g\left[ x \right]$ có nghĩa là điều kiện xác định [hay gọi tắt là điều kiện] của bất phương trình $\left[ 1 \right].$
c. Bất phương trình tương đương
- Định nghĩa: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm [có thể rỗng] là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu \[\Leftrightarrow\] để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
- Phép biến đổi tương đương
+] Cộng [trừ]
Cộng [trừ] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
$P\left[ x \right] < Q\left[ x \right] \Leftrightarrow P\left[ x \right] + f\left[ x \right] < Q\left[ x \right] + f\left[ x \right]$
+] Nhân [chia]
- Nhân [chia] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương [mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình] ta được một bất phương trình tương đương.
- Nhân [chia] hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm [mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình] và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
$P\left[ x \right] < Q\left[ x \right] \Leftrightarrow P\left[ x \right].f\left[ x \right] < Q\left[ x \right].f\left[ x \right],\,\,\,\,f\left[ x \right] > 0,\,\,\forall x$
$P\left[ x \right] < Q\left[ x \right] \Leftrightarrow P\left[ x \right].f\left[ x \right] > Q\left[ x \right].f\left[ x \right],\,\,\,\,f\left[ x \right] < 0,\,\,\forall x$
+] Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.
$P\left[ x \right] < Q\left[ x \right] \Leftrightarrow {P^2}\left[ x \right] < {Q^2}\left[ x \right],\,\,\,\,\,P\left[ x \right] \ge 0,\,\,Q\left[ x \right] \ge 0,\,\,\forall x$
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết:
- Biểu thức \[\dfrac{{f\left[ x \right]}}{{g\left[ x \right]}}\] xác định nếu \[g\left[ x \right] \ne 0\].
- Biểu thức \[\sqrt {f\left[ x \right]} \] xác định nếu \[f\left[ x \right] \ge 0\].
Dạng 2: Xét tính tương đương của các bất phương trình.
Phương pháp:
- Cách 1: Xét các phép biến đổi từ phương trình này sang phương trình kia có tương đương hay không.
Sử dụng các phép biến đổi tương đương thường gặp [cộng, trừ, nhân, chia [biểu thức không âm], bình phương hai vế không âm, nâng lũy thừa bậc lẻ,…]
- Cách 2: Giải các bất phương trình và kiểm tra tập nghiệm của chúng có trùng nhau hay không.
Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm rỗng vẫn được coi là tương đương.
Dạng 3: Giải bất phương trình.
Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi tương đương để tìm tập nghiệm của bất phương trình.
Với Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
- Phương trình tương đương: Hai phương trình f1[x] = g1[x] và f2[x] = g2[x] được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇔ f2[x] = g2[x]
- Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.
- Phương trình hệ quả: f2[x] = g2[x] gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1[x] = g1[x] nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1[x] = g1[x]
- Kí hiệu là f1[x] = g1[x] ⇒ f2[x] = g2[x]
- Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng:
+ Cộng [trừ] cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân [chia] vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
Bình phương hai vế của phương trình [hai vế luôn cùng dấu] ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
Bài 1: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;2}
Bài 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện [*]
Nếu x ≠ 3. thì [*]
Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3
Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = {3}
Bài 3: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≥ -1.
Ta có x = -1 là một nghiệm.
Nếu x > -1 thì √[x+1] > 0. Do đó phương trình tương đương
x2 - x - 2 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = -1, x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = {-1; 2}
b. ĐKXĐ: x > 2
Với điều kiện đó phương trình tương đương với phương trình
x2 = 1 - [x - 2]⇔ x2 + x - 3 = 0
Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm
Bài 4: Giải phương trình
Hướng dẫn:
a. Điều kiện: x ≠ 1.
Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 1 hoặc x = 2
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b. ĐKXĐ :
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x = -3
Bài 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
x2 + mx - 1 = 0 [1] và [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0 [2]
Hướng dẫn:
Giả sử hai phương trình [1] và [2] tương đương
Ta có [m-1]x2 + 2[m-2]x + m - 3 = 0
⇔
Do hai phương trình tương đương nên x = -1 cũng là nghiệm của phương trình [1]
Thay x = -1 vào phương trình [1] ta được m = 0
Với m = 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.