Phương pháp nào để giải phương trình mũ và logarit nhanh và chính xác luôn là vấn đề quan tâm của các bạn học sinh THPT. Ở trong bài viết này, VUIHOC sẽ tổng hợp lại những phần kiến thức về phương trình mũ logarit quan trọng cùng với các cách giải phương trình mũ và logarit hay sử dụng nhất.
Đầu tiên, các em cùng VUIHOC đọc bảng dưới đây để có nhận định tổng quan về lý thuyết và các bài tập áp dụng giải phương trình mũ và logarit nhé!
Để tiện hơn cho ôn tập, các em tải file tổng hợp lý thuyết chung về phương trình mũ logarit và cách giải phương trình mũ và logarit dưới đây nhé!
Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ và logarit
1. Ôn tập lý thuyết chung về phương trình mũ và logarit
1.1. Lý thuyết phương trình mũ
Về định nghĩa:
Hiểu đơn giản, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ.
Theo định nghĩa đã được học trong chương trình THPT, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau:
Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với $a,b$ cho trước và $00$: $a^x=b\Rightarrow x=log_ab$
Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ:
Để giải phương trình mũ nói riêng và giải phương trình mũ logarit, các em cần ghi nhớ các công thức cơ bản của số mũ phục vụ áp dụng trong các bước biến đổi. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau:
Ngoài ra, các tính chất của số mũ cũng là một phần kiến thức cần nhớ. Tổng hợp tính chất của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây:
Các em cần lưu ý, các tính chất trên áp dụng khi số mũ đó đã xác định nhé!
1.2. Lý thuyết phương trình logarit
Về định nghĩa:
Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản $log_ab$
Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $\mathbb{R}$. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là $x=a^b$
Với điều kiện 00$ và a ≠ 1 ta có $a^{f[x]}=a^{g[x]}\Rightarrow f[x]=g[x]$
Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách giải phương trình mũ logarit đưa về cùng cơ số này:
Dạng 2: Dạng toán đặt ẩn phụ
Đây là phương pháp giải phương trình mũ và logarit thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ và logarit này, ta cần thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
Bước 5: Kết luận
Các phép ẩn phụ thường gặp như sau:
Trường hợp 1: Các số hạn trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f[x]}$ nên ta đặt $t=a^{f[x]}$
Lưu ý trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Trường hợp 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc $n$ đối với $a^{nf[x]}$ và $b^{nf[x]}$
Với dạng này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho anf[x] hoặc bnf[x] với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1.
Trường hợp 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo
- Loại 1: $A.a^{f[x]}+B.b^{f[x]}+C=0$ với $a.b=1$
\=> Đặt ẩn phụ $t=a^{f[x]}\Rightarrow b^{f[x]}=\frac{1}{t}$
- Loại 2: $A.a^{f[x]}+B.b^{f[x]}+C=0$ với $a.b=c^2$
\=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho $c^{f[x]}$ và đưa về dạng 1.
Ta cùng xét các ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách đặt ẩn phụ giải phương trình mũ nhé!
Dạng 3: Logarit hoá
Trong một số trường hợp, chúng ta không thể giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, các em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải phương trình mũ này được gọi là logarit hoá.
Dấu hiệu nhận biết bài toán phương trình mũ áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng $a^{f[x]}.b^{g[x]}.c^{h[x]}=d$ [tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau]. Khi đó, các em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số $a$ [hoặc $b$, hoặc $c$].
Các công thức logarit hoá phương trình mũ nói riêng và giải phương trình mũ logarit nói chung như sau:
Sau đây, các em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ:
Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình mũ
Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải phương trình mũ, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:
- Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x$ $[01$: Hàm số luôn đồng biến
- $0f[x0]=k$ do đó phương trình vô nghiệm.
+ Với $x Đưa về dạng phương trình ẩn $t$.
Dạng 4: Dùng đồ thị giải phương trình logarit
Giải phương trình: $log_ax=f[x] [0