Tính chất trực tâm trong tam giác là tài liệu rất hữu ích mà hôm nay Download.vn muốn giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 7 tham khảo.
Tài liệu bao gồm toàn bộ kiến thức lý thuyết và các dạng bài tập về tính chất trực tâm của tam giác. Đây là chủ đề quan trọng trong kiến thức Toán học đối với các em học sinh. Nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Tính chất trực tâm trong tam giác
- 1. Khái niệm Trực tâm
- 2. Khái niệm đường cao của một tam giác
- 3. Tính chất ba đường cao của tam giác
- 4. Bài tập thực hành có đáp án
- 5. Bài tập tự luyện
1. Khái niệm Trực tâm
Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.
+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó
2. Khái niệm đường cao của một tam giác
Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.
3. Tính chất ba đường cao của tam giác
- Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.
- Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:
*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.
*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.
Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC
Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC
Vậy CH vuông góc với AB.
4. Bài tập thực hành có đáp án
A. Trắc nghiệm
Câu 1.
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B [MA < MB]. Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.
Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Đáp án: D
Câu 2
Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.
Đáp án: A
Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho
A. Tam giác cân tại F
B. Tam giác vuông tại D
C. Tam giác cân tại D
D. Tam giác cân tại C
Đáp án: A
B, Tự luận
Bài 1
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
GIẢI
+ Xét ΔABC vuông tại A
AB AC AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB
hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà AB cắt AC tại A
A là trực tâm của tam giác vuông ABC.
Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông
+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF [E thuộc AB, F thuộc AC], trực tâm H.
+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó
Vậy E nằm ngoài A và B
tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB tia CE nằm bên ngoài ΔABC.
+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.
+ Trực tâm H là giao của BF và CE H nằm bên ngoài ΔABC.
Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 2: Cho hình vẽ
a] Chứng minh NS LM
b] Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
GIẢI
a] Trong ΔMNL có:
LP MN nên LP là đường cao của ΔMNL.
MQ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.
Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S
Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.
đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.
hay SN ML.
b]
+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :
ΔNMQ vuông tại Q có:
Bài 3:
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K [J ở giữa I và K].
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN IM.
GIẢI
Vẽ hình minh họa:
Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.
l d tại J, và M, J l MJ ⟘ IK MJ là đường cao của ΔMKI.
N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK IN ⟘ MK IN là đường cao của ΔMKI.
IN và MJ cắt nhau tại N .
Theo tính chất ba đường cao của ta giác N là trực tâm của ΔMKI.
KN cũng là đường cao của ΔMKI KN ⟘ MI.
Vậy KN IM
5. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.
Bài 2: Cho đường tròn [O, R] , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.
Bài 3: Cho ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a] Chứng minh: IJ EF
b] Chứng minh: IE JE
Bài 4: Cho ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.
a] Chứng minh: JTEFJTEF
b] Chứng minh: IEJEIEJE
c] Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.
d] Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC
Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.
Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn [ABC].
Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.
Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.