Hữu hạn điểm nghĩa là gì

Tính đơn điệu của hàm số(tính tăng giảm) là một trong những tính chất quan trọng của hàm số. Xem ngay các định nghĩa, định lý về tính đơn điệu của hàm số trong bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm chắc hơn trong việc khảo sát hàm số, thuộc chương trình toán lớp 12. Kiến thức đóng vai trò quan trọng trong các kì thì trên trường cũng như ôn thi THPT quốc gia.

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

Thông thường để xác định tính đơn điệu của hàm số người ta thường tính đạo hàm của nó. Nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, trong trường hợp đạo hàm âm trên khoảng nào thì hàm số sẽ nghịch biến. Kiến thức trên dựa vào các điểm lý thuyết sau:

1. Định nghĩa đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x, x K, x < x f(x) < f(x).

b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x, x K, x < x f(x) > f(x).

2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K .

a) Nếu f(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K .

b) Nếu f(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K .

c) Nếu f(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K .

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].

3. Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f(x) 0 với mọi x thuộc K và f(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f(x) 0 với mọi x thuộc K và f(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính đạo hàm f(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, ,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề rộng. Trong chủ đề này, các đề thi có thể khai thác được những câu hỏi mức vận dụng về tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì và cũng có thể khai thác được các câu hỏi khó về biện luận m thỏa mãn điều kiện cho trước. Dưới đây, chúng ta cùng tìm hiểu 7 dạng toán phổ biến nhất trong chuyên đề này. Nhưng trước hết bạn cần phải hiểu bản chất về tính đồng biến nghịch biến của hàm số.

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kì

Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x)

+) f(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

+) f(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Quy tắc:

+) Tính f(x), giải phương trình f(x) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f(x).

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x³ 3x² + 2

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

c. y = x³ + 2x

Hướng dẫn giải:

a. y = x³ 3x² + 2.

Hàm số xác định với mọi x R

Ta có: y = 3x² 6x, cho y = 0 3x² 6x = 0 x = 0, x = 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-;0) và (2;+).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Chú ý: Không được kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-;0) (2;+)

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

Hàm số xác định với mọi x R

Ta có: y = -3x² + 6x 3, cho y = 0 -3x² + 6x 3 = 0 x = 1 (nghiệm kép)

y 0, x R hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định R

c. y = x³ + 2x

Hàm số xác định với mọi x R

y = 3x² + 2, cho y = 0 3x² + 2 = 0 (vô nghiệm)

y > 0, x R hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x 2x² + 1

b. y = -x + x² 2

c. y= ¼ x + 2x² 1

Hướng dẫn giải:

a. y = x 2x² + 1

Hàm số xác định với mọi x R

y = 4x³ 4x = 4x (x² 1), cho y = 0 4x (x² 1) = 0 x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+)
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-;-1) và (0;1)

b. y = -x + x² 2

Hàm số xác định với mọi x R

y = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)

Cho y = 0 2x (-2x² + 1) = 0

x = 0 hoặc

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Hàm số đồng biến trên các khoảng:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

c. y= ¼ x + 2x² 1

Hàm số xác định với mọi x R

y = x³ + 4x = x (x² + 4), cho y = 0 x (x² + 4) = 0 x = 0 (do x² + 4 vô nghiệm)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +) và nghịch biến trên các khoảng (-; 0).

Dạng 2. Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

Phương pháp giải

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ việc nhìn các khoảng mà đồ thị đi lên hoặc đi xuống.

• Khoảng mà đồ thị đi lên: hàm đồng biến;
• Khoảng mà đồ thị đi xuống: hàm nghịch biến.

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:

• Tìm nghiệm của f(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
• Xét dấu f(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
• Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (-;0)

C. (1;+)

D. (0;1)

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (-;-1)

Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải

Tính

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó y > 0 ad cb > 0.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó y < 0 ad cb < 0.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

đồng biến trên khoảng (-;-6)

A. 2

B. 6

C. Vô số

D. 1

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = (-;-3m) (-3m; +)

Ta có

Hàm số đổng biến trên khoảng

Mà m nguyên nên m {1; 2}

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

nghịch biến trên khoảng (6;+)

A. 0

B. 6

C. 3

D. Vô số

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D = \{-3m};

Hàm số

nghịch biến trên khoảng (6;+) khi và chỉ khi:

Vì m m {-2; -1; 0}

Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên

Phương pháp giải

Hàm số đồng biến trên thì y 0, x

hoặc suy biến

Hàm số nghịch biến trên thì y 0, x

hoặc suy biến

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = (m2 1) x3 + (m 1) x2 x + 4 nghịch biến trên khoảng (-;+)

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Chọn C

TH1: m = 1. Ta có: y = x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên . Do đó nhận m = 1.

TH2: m = -1. Ta có: y = -2x2 x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên . Do đó loại m = -1.

TH3: m 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-;+) y 0 x , dấu = chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên .

3(m2 1) x2 + 2(m 1) x 1 0, x

Vì m nên m = 0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x3 mx2 + (4m + 9) x + 5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-;+)

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải

Chọn D

Ta có:

TXĐ: D =

y = -3x2 2mx + 4m + 9

Hàm số nghịch biến trên (-;+) khi y 0, x (-;+)

Có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Ví dụ 3: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

đồng biến trên khoảng (-;+)?

A. 4

B. 5

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

y = (m2 m) x2 + 4mx + 3

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-;+) y 0, x

Với m = 0 ta có y = 3 > 0 với x Hàm số đồng biến trên khoảng (-;+).

Với m = 1 ta có y = 4x + 3 > 0 x > -¾ m = 1 không thỏa mãn.

Với

ta có y 0, x

Tổng hợp các trường hợp ta được -3 m 0.

Vì m m {-3; -2; -1; 0}.

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

Dạng 5: Tìm m để hàm số lượng giác đơn điệu trên khoảng cho trước.

Để tìm hiểu chi tiết dạng toán này. Chúng ta có thể xem xét các ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

đồng biến trên khoảng

A. m 0 hoặc 1 m < 2

B. m 0

C. 1 m < 2

D. m 2

Lời giải

Chọn A

Đặt t = tan x , vì x

t {0; 1}

Xét hàm số

. Tập xác định: D = \{m}

Ta có

Ta thấy hàm số t(x) = tan x đồng biến trên khoảng

. Nên để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: f(t) > 0, t {0; 1}

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng

A.

B.

C. m 3

D. m < 3

Lời giải

Chọn A

Điều kiện: cos x m. Ta có:

Vì x sin x > 0, (cos x m)2 > 0, x ; cos x m

Để hàm số nghịch biến trên khoảng y < 0 x

Chú ý: Tập giá trị của hàm số y = cos x, x là (-1; 0)

Dạng 5. Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f(x)

Phương pháp giải

» Loại 1: Cho đồ thị y = f(x), hỏi tính đơn điệu của hàm y = f(x).

• Tìm nghiệm của f(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
• Xét dấu f(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
• Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

» Loại 2: Cho đồ thị y = f(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f(u).

Tính y = u f(u);

Giải phương trình f(u) = 0

(Nhìn đồ thị, suy ra nghiệm);

Lập bảng biến thiên của y = f(u), suy ra kết quả tương ứng.

» Loại 3: Cho đồ thị y = f(x), hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = g(x), trong đó g(x) có liên hệ với f(x).

• Tính y = g(x);
• Giải phương trình g(x) = 0 (thường dẫn đến việc giải phương trình liên quan đến f(x). Loại này ra nhìn hình để suy ra nghiệm);
• Lập bảng biến thiên của y = g(x), suy ra kết quả tương ứng.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2-x) đồng biến trên khoảng

A. (2;+)

B. (-2; 1)

C. (-; -2)

D. (1; 3)

Lời giải

Chọn B

Cách 1:

Ta thấy f(x) < 0 với

nên f(x) nghịch biến trên (1; 4) và (-; -1) suy ra g(x) = f(-x) đồng biến trên (-4; -1) và (1; +). Khi đó f (2 x) đồng biến trên khoảng (-2; 1) và (3; +)

Cách 2:

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) ta có f(x) < 0

Ta có (f (2 x)) = (2 x). f(2 x) = f(2 x)

Để hàm số y = f (2 x) đồng biến thì (f (2 x)) > 0 f(2 x) < 0

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f(x) như sau:

Hàm số y = f (5 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3; 4)

B. (1; 3)

C. (-; -3)

D. (4; 5)

Lời giải

Chọn D

Ta có y = f(5 2x) = -2f(5 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (5 2x) đồng biến trên khoảng (4; 5)

Dạng 7. Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập

Phương pháp giải

» Loại 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định

Đồng biến trên

hoặc suy biến

Nghịch biến trên thì

hoặc suy biến

» Loại 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập

Ta thường gặp hai trường hợp:

Nếu phương trình y = 0 giải được nghiệm đẹp: Ta thiết lập bảng xét dấu y theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó ép khoảng mà dấu y không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Nếu phương trình y = 0 có nghiệm xấu : Ta sử dụng 1 trong 2 cách sau

• Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm (sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể).
• Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách này xét sau).

»Loại 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập

Giải phương trình y = 0, tìm nghiệm.

Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó ép khoảng mà dấu y không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số

với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

A. 4

B. Vô số

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn D

D = \ {m};

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y < 0, x D m2 4m < 0 0 < m < 4

Mà m nên có 3 giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

nghịch biến trên khoảng (10; +)?

A. Vô số

B. 4

C. 5

D. 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = \ {-5m}

Hàm số nghịch biến trên (10; +) khi và chỉ khi

Mà m nên m {-2; -1; 0; 1}

Tài liệu tính đơn điệu của hàm số file PDF

Bộ tài liệu hay nhất về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bao gồm: Lý thuyết, ví dụ và các bài tập vận dụng được tuyển chọn. Bạn nên xem kĩ tài liệu nào hay trước khi tải về và sử dụng để giúp quá trình học tập đạt được hiệu quả cao nhất.

#1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Phùng Hoàng Em
Số trang	17
Lời giải chi tiết	Không

Mục lục tài liệu:

Dạng 1: Ứng dụng đạo hàm tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước

Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên R

Dạng 4: Tìm m để hàm số phân thức đơn điệu trên khoảng xác định

Dạng 5: Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị hàm f'(x)

Dạng 6: Biện luận đơn điệu hàm đa thức trên khoảng

Dạng 7: Biện luận đơn điệu của hàm phân thức

#2. Các dạng toán thường gặp THPTQG về tính đơn điệu của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Nguyễn Bảo Vương
Số trang	59
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu:

Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị

Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước

Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

Dạng 5. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước

Dạng 6. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước

Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị hàm số f(x)

Dạng 8. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f(x)

#3. Hướng dẫn giải các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Đặng Việt Đông
Số trang	53
Lời giải chi tiết	Lời giải ngắn gọn

Mục lục tài liệu:

Lý thuyết về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số

Các bài tập ví dụ có lời giải

#4. Tính đơn điệu của hàm số ẩn cho bởi f'(x)

Tính đơn điệu của hàm số ẩn cho bởi f'(x)
Tác giả	Thầy Quảng Thuận
Số trang	46
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu:

Kiến thức về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Tính chất tổng hiệu liên quan với tính đồng biến

Bài tập mẫu

Bài tập tương tự và phát triển

#5. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Tác giả	Nhóm toán VD VDC
Số trang	49
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu:

Dạng 1: Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho trước là hàm số dạng đa thức đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm là hàm số dạng phân thức hữu tỉ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số chứa căn đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số lượng giác đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số mũ đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm f(x) là hàm số logarit đồng biến, nghịch biến trên tập D cho trước.

#6. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Thông tin tài liệu
Tác giả	Thầy Lê Hải Trung
Số trang	25
Lời giải chi tiết	Có

Mục lục tài liệu:

Lý thuyết về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

Ví dụ minh họa

Bài tập luyện tập trắc nghiệm

Đáp án trắc nghiệm

Trên đây là bài viết chi tiết về chủ đề tính đơn điệu của hàm số. Để thuần thục được dạng toán này, các bạn cần nắm vững các định lý, định nghĩ về tính đơn điệu, tính đạo hàm và quy tắc xét dấu cùng cách giải bất phương trình cơ bản.