Mẹo tách phương trình bậc 3
Giải phương trình bậc 3 dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 là một dạng toán khó và chúng ta ít gặp cả ở bậc THCS và THPT. Ở các bậc học này chúng ta chỉ gặp một số dạng đặc biệt (cách giải không quá phức tạp) của phương trình bậc 3. Ở lớp 9 chúng ta sẽ gặp một số dạng phương trình bậc 3 ở dạng x3 = a hoặc dạng tổng quát là ax3 + bx2 + cx + d = 0 nhưng biết trước 1 nghiệm của phương trình này (hoặc dễ dàng tính nhẩm được 1 nghiệm của phương trình này). I. Cách giải phương trình bậc 3 1. Cách giải phương trình bậc 3 dạng x3 = a Cách giải dạng phương trình này sử dụng căn thức bậc 3, ta có:
2. Cách giải phương trình bậc 3 dạng ax3 + bx2 + cx + d = 0 Với dạng phương trình này đề thường cho trước 1 nghiệm (hoặc ta dễ dàng tính nhẩm được nghiệm của pt, thường là 0; ±1/2: ±1; ±2). - Nếu x = α là nghiệm của phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 thì ax3 + bx2 + cx + d = (x - α).f(x) - Để tìm f(x) ta lấy đa thức ax3 + bx2 + cx + d chia cho (x - α). - Giả sử f(x) = ax2 + Bx + C, khi đó phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 được đưa về phương trình dạng tích (x - α).(ax2 + Bx + C) = 0. * Lưu ý:Để tìm f(x) ngoài cách chia đa thức ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne bậc 3 sau: Khi đó: ax3 + bx2 + cx + d = (x - α).(ax2 + Bx + C) ax3 + bx2 + cx + d = 0 ⇔ (x - α).(ax2 + Bx + C) = 0 » Đừng bỏ lỡ: Cách sử dụng lược đồ Hoocne để chia đa thức II. Bài tập giải phương trình bậc 3 * Bài tập 1: Giải phương trình bậc 3 sau: x3 = 8 * Lời giải: - Ta có: Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. * Bài tập 2: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 = -128 * Lời giải: - Ta có: Vậy x = -4 là nghiệm của phương trình. * Bài tập 3: Giải phương trình bậc 3 sau: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0. * Lời giải: - Dễ dàng nhận thấy các hệ số của phương trình bậc 3 là: a + b + c + d = 2 + 5 - 1 - 6 = 0 nên có thể nhẩm được phương trình bậc 3 này có 1 nghiệm x = 1. Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (2x3 + 5x2 - x - 6) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 2x3 + 5x2 - x - 6 = (x - 1)(2x2 + 7x + 6) Khi đó: 2x3 + 5x2 - x - 6 = 0 ⇔ (x - 1)(2x2 + 7x + 6) = 0 ⇔ (x - 1)= 0 hoặc (2x2 + 7x + 6) = 0 Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1 Xét phương trình: 2x2 + 7x + 6 = 0 có ∆ = 72 - 4.2.6 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = (-7 + 1)/4 = -3/2; x2 = (-7 - 1)/4 = -2 Vây phương trình có 3 nghiệm là: x = 1; x = -2; x = -3/2; Tập nghiệm của phương trình S={-2;-3/2;1}. * Bài tập 4: Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 biết x = 1 là một nghiệm của phương trình. * Lời giải: Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình nên lấy đa thức (3x3 - 2x2 - 5x + 4) chia cho (x – 1). Ta sử dụng sơ đồ Hooc-ne để chia:
Vậy 3x3 - 2x2 - 5x + 4 = (x – 1).(3x2 - 2x - 5) Khi đó: x3 - 2x2 - 5x + 4 = 0 ⇔ (x – 1).(3x2 - 2x - 5) = 0 ⇔ x - 1 = 0 hoặc 3x2 - 2x - 5 = 0 Xét phương trình: x – 1 = 0 ⇔ x = 1 Xét phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có ∆ = (-2)2 - 4.3.(-5)= 64 nên phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1 và x2 = 5/3. (có thể thấy ngay phương trình: 3x2 - 2x - 5 = 0 có các hệ số a - b + c = 0 nên có 1 nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại x = -c/a = 5/3) Vây phương trình có 3 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 5/3. * Bài tập 5: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 2 nghiệm phân biệt: (x - 2)(x2 + mx + m2 – 3) = 0 (*) * Lời giải: - Phương trình (*)⇔ Phương trình (1) có 1 nghiệm x = 2 nên để phương trình (*) có đúng 2 nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2. +) TH1: phương trình (2) có nghiệm kép khác 2 ⇔ Phương trình (2) có: ∆ = 0 và x = 2 không là nghiệm của (2)
+) TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 2 Thay x = 2 vào phương trình (2) ta được: m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = -1 Với m = -1 thì phương trình (2) trở thành: x2 - x - 2 = 0 Phương trình này có a – b + c = 0 nên có 2 nghiệm: x1 = -1, x2 = -c/a = 2 Suy ra m = -1 (thỏa mãn) Vậy m = -1, m = 2, m = -2 thì phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt. * Bài tập 6: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: (x - 1)(x2 – 2(m + 1)x – 2) = 0 * Bài tập 7: Giải phương trình bậc 3 sau: 3x3 - 13x2 + 13x - 3 = 0 * Bài tập 8: Tìm m để phương trình bậc 3 sau có 3 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 3: (x + 1)(x2 + 2mx + 4) = 0 Hy vọng với bài viết về Cách giải phương trình bậc 3 và bài tập vận dụng toán lớp 9 ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại phần bình luận dưới bài viết để Hay-Học-Hỏi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. |