Nghiệm của phương trình sin2x + cos2x = 1 là

Ta có: cos 2x – sin 2x = 1

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 2x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 2x} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4}\,\,\cos 2x - \sin \frac{\pi }{4}\,\,\sin 2x} \right) = 1\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = 1\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\,\, = \cos \frac{\pi }{4}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\,x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,(k \in \mathbb{Z})\]

+) Với \(x = k\pi \) và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 < k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < k < 2\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k = 1\)

Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: x = π.

+) Với \[x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \] và \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\)

\( \Rightarrow 0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow 0 < k < \frac{9}{4}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow k = 1;\,\,2\).

Khi đó, phương trình có nghiệm thuộc (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4}\].

Do đó các nghiệm của phương trình trong khoảng (0; 2π) là: \[\frac{{3\pi }}{4};\,\,\frac{{7\pi }}{4};\,\,\pi \].

Vậy tổng các nghiệm này là: \[\frac{{3\pi }}{4} + \frac{{7\pi }}{4} + \pi  = \frac{{14\pi }}{4}\].

Đáp án B.

---

Page 2

Chọn D

ta có cos2x - √3sin2x= 1

⇔12cos 2x -  32.sin2x=  12⇔sin π6.cos2x - cosπ6. sin2x = 12⇔sin  π6−2x =  sinπ6⇔π6−2x=  π6+​k2ππ6−2x=  π−π6+​k2π⇔x=−kπx=  −π3−kπ⇔x=lπx=  −π3+​lπ​​      (l=−k  ∈Z)

Suy ra phương trình chỉ có một nghiệm thuộc(0;π) là x = 2π3

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Đáp án:

x=kπ, k thuộc Z

x=π/4+kπ, k thuộc Z

Giải thích các bước giải:

sin2x+cos2x=1

⇔1/√2*sin2x+1/√2*cos2x=1/√2

⇔cosπ/4sin2x+1/√2*sinπ/4cos2x=1/√2

⇔sin(2x+π/4)=1/√2

⇔sin(2x+π/4)=sinπ/4

⇔2x+π/4=π/4+2kπ ⇔ x=kπ

k thuộc Z hoặc 2x+π/4=π-π/4+2kπ

⇔2x=π/2+2kπ

⇔x=π/4+kπ, k thuộc Z

Vậy phương trình có 2 nghiệm là:

x=kπ, k thuộc Z

x=π/4+kπ, k thuộc Z