KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D -
Phần 3 . As - Co [1-10]
Lời nói đầu .
Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG " được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .
Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :
Phần 1 . //cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-1
Phần 2 . //cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-2.
Phần 3 . //cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3. Phiên bản mới nhất đăng trên//tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong
Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " , Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến [online] hoặc trình ứng dụng [ phần mềm offline ] . Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình . Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .Trần hồng Cơ
Ngày 28 /04/ 2014 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I . Vẽ đồ thị các đường cong từ As - Ca [ 1 - 5 ] bằng trình ứng dụng .
1.1. Astroid [1] .
A. Khái niệm . Astroid được hình thành bằng cách lăn một vòng tròn bán kính a / 4 [ hoặc 3a / 4 ] bên trong một vòng tròn có bán kính a. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a = 1 , phương trình tham số của astroid là $x = cos^3 t , y = sin^3 t$ từ đó $\ x^{2/3} + y^{2/3} = cos^2t+sin^2t = 1$ Mặt khác vì $sin^6t + cos^6t = 1 - 3.sin^2t.cos^2t$ nên $sin^6t + cos^6t - 1 = - 3.sin^2t.cos^2t$ Lũy thừa 3 cho hai vế $[sin^6t + cos^6t - 1]^3 = - 27.sin^6t.cos^6t$ Hay $[sin^6t + cos^6t - 1]^3 + 27.sin^6t.cos^6t = 0$ trả về x , y ta có $[x^2 + y^2 - 1]^3 + 27.x^2y^2 = 0$ Do đó astroid có bậc 6 , nó có 4 điểm kỳ dị tại 4 đỉnh trong mặt phẳng thực , hai điểm kỳ dị phức ở vô cực và 4 điểm đôi phức , tổng cộng là 10 điểm kỳ dị . Đổi sang tọa độ cực , phương trình đường cong astroid là $r=\left | sect \right |/[1+tan^{2/3}t]^{3/2} $ +Chiều dài cung $L[t]=3/2 . sin^2t [ 0< t < \pi/2]$ +Độ cong $C[t]=-2/3 |csc[2t]| $ +Chu vi $P=6a$ +Diện tích $S=3\pi a^2/8$ hay $S \approx 1.178 a^2 $
Xem //youtu.be/CZzazxrRURw
B. Phương trình . Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes : $\ x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ Nhập liệu : x^[2/3] + y^[2/3] = a^[2/3] Phương trình đường cong dạng tham số : $x = acos^3 t , y = asin^3 t$ Nhập liệu : x = a*cos[t]^3 , y = a*sin[t]^3 Chọn a = 3 . Khi đó : $x^{2/3} + y^{2/3} = 3^{2/3}$ Nhập liệu : x^[2/3] + y^[2/3] = 3^[2/3] hoặc $x = 3cos^3 t , y = 3sin^3 t$ Nhập liệu : x = 3*cos[t]^3 , y = 3*sin[t]^31.1.1 GP - GC - GX Astroid .
Nguồn : //youtu.be/tgzXWk3F4BA
1.1.2 wxM - MAPLE V Astroid .
Nguồn : //youtu.be/QB2Do4IjLWs
Nhận xét :
GP : Nhập liệu 2 dạng : ẩn [ implicit ] và tham số [parameter] . GC : Nhập liệu dạng tham số . GX : Nhập liệu dạng tham số . wxM : Nhập liệu dạng tham số . Maple V : Nhập liệu dạng ẩn [ chỉ vẽ phần đồ thị ở miền 1/4 thứ nhất ] hoặc dạng tham số .Lưu trữ : //yadi.sk/d/okf1hhx7P4rTt
1.2 Bicorn [đường mào gà] [2] .
A. Khái niệm . Đường mào gà bicorn được hình thành như sau : [ theo Charlotte Scott, 1896 ] Cho 2 đường tròn bằng nhau [C] và [C'] tiếp xúc ngoài . Điểm N chạy trên [C'] , dựng đường tròn [C"] có đường kính ON . Quỹ tích giao điểm M giữa trục đẳng phương của [C] và [C"] và đường thẳng kẻ từ N song song với OO' là đường bicorn . [ theo G. de Longchamps, 1897 ] Cho điểm A[a,0] và B[-a,0] và đường tròn [C] tâm C[0,b] có bán kính là c . Điềm P chạy trên [C] khi đó quỹ tích trực tâm H của tam giác ABP có dạng tham số
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $y^2.[a^2− x^2] = [x^2 + 2ay − a^2]^2$ Nhập liệu : y^2*[a^2− x^2] = [x^2 + 2*a*y − a^2]^2 Chọn a = 3 Khi đó : $y^2[9− x^2] = [x^2 + 6y − 9]^2$ Nhập liệu : y^2*[9− x^2] = [x^2 + 6*y − 3^2]^2 Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $x=a.sint , y = acos^2t .[ 2+cost]/[3+sin^2t]$1.2.1 GP - GC - GX Bicorn .
Nguồn : //youtu.be/NnYJV3bgjoA
1.2.2 wxM - MAPLE V Bicorn .
Nguồn : //youtu.be/yjBhQE4faTI
Nhận xét :
GP : Nhập liệu dạng ẩn . GC : Nhập liệu dạng hàm thông thường y = f[x] [ nhờ Maple V giải tìm y rồi nhập 2 lần ] . GX : Nhập liệu dạng ẩn . wxM : Nhập liệu dạng thông thường y = f[x] [ nhờ Maple V giải tìm y ] . Maple V : Nhập liệu dạng ẩn [ đồ thị này cần điều chỉnh ] hoặc dạng thông thường [nên nhập dạng này ] .
Lưu trữ : //yadi.sk/d/5KXgrBdTP4rug
A. Khái niệm .
Cardioid là quỹ tích của một điểm trên chu vi của đường tròn lăn không trượt trên chu vi của một đường tròn khác có cùng bán kính.
Dựa trên mô tả của đường tròn chuyển động , trong đó đường tròn cố định có tâm tại gốc tọa độ và cả hai có cùng bán kính , phương trình tham số của cardioid là
$x = a[2cost-cos2t]$
$y = a[2sint-sin2t]$
Trong mặt phẳng phức ta có
$z = a[2e^{it}-e^{2it}]$
Có thể kiểm tra dễ dàng rằng $[z\overline{z}-a^2]^2=4a^2[z-a][\overline{z}-a]$
hay
$[x^2+y^2-a^2]^2=4a^2[[x-a]^2+y^2]$
Đổi trục $X = x - a , Y = y$ và sau đó thay $X = x , Y =y $ ta thu được
$[x^2+y^2-2ax]^2=4a^2[x^2+y^2]$
+Chiều dài cung $L[\theta] = 8asin^2[t/4]$ +Độ cong $C[\theta]=\frac{3}{4a} csc[t /2] $ +Chu vi $P=8a$ +Diện tích $S=\frac{3}{2} \pi a^2$Các đường liên hợp
Xem //youtu.be/yd-q9FQ3qC4
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes $4a^2[x^2 + y^2] = [x^2 + y^2 - 2ax]^2$ Nhập liệu : 4*a^2*[x^2 + y^2] = [x^2 + y^2 - 2*a*x]^2 Phương trình đường cong trong tọa độ cực: $r = 2a[1 + cosθ]$ Nhập liệu : r = 2*a*[1 + cos[θ]] Chọn a = 3 Khi đó : $36[x^2 + y^2] = [x^2 + y^2 - 6x]^2$ Nhập liệu : 36*[x^2 + y^2] = [x^2 + y^2 - 6*x]^2 hoặc $r = 6[1 + cosθ]$ Nhập liệu : r = 6*[1 + cos[θ]]1.3.1 GP - GC - GX Cardioid .
Nguồn : //youtu.be/PnquQ2WzRcc
1.3.2 wxM - MAPLE V Cardioid .
Nguồn : //youtu.be/fFujCHvbDMs
Nhận xét :
GP : Nhập liệu dạng thường r = f[θ] . GC : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực r = f[θ] . GX : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực . wxM : Nhập liệu dạng thông thường y = f[x] [ nhờ Maple V giải tìm y ] . Maple V : Nhập liệu dạng ẩn [ đồ thị này cần điều chỉnh ] hoặc dạng thông thường [nên nhập dạng này ] .Lưu trữ : //yadi.sk/d/1ywU88FuP4sBm
1.4 Cartesian Oval [đường oval Descartes] [4] .
A. Khái niệm . Đường cong Cartesian bao gồm 2 đường oval lồng nhau, là quỹ tích của một điểm P có khoảng cách là s và t từ hai điểm cố định S và T thỏa mãn: s + mt = a .
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes: $[[1 - m^2][x^2 + y^2] + 2m^2cx + a^2 - m^2c^2]^2 = 4a^2[x^2 + y^2]$ Nhập liệu : [[1 - m^2]*[x^2 + y^2] + 2*m^2*c*x + a^2 - m^2*c^2]^2 = 4*a^2*[x^2 + y^2] chọn m=2 , a=2 , c=3
Khi đó : $[-3x^2-3y^2+24x-32]^2 = 16x^2+16y^2$
Nhập liệu : [-3*x^2-3*y^2+24*x-32]^2 = 16*x^2+16*y^2
1.4.1 GP - GC - GX Cartesian Oval .
Nguồn : //youtu.be/mokHE7fytZo
1.4.2 wxM - MAPLE V Cartesian Oval .
Nguồn : //youtu.be/QWjTh7sdhZA
Nhận xét :
GP : Nhập liệu dạng ẩn . GC : Nhập liệu dạng thông thường y = f[x] [ nhờ Maple V giải tìm y ] . GX : Nhập liệu dạng hàm ẩn . wxM : Nhập liệu dạng thông thường y = f[x] [ nhờ Maple V giải tìm y ] . Maple V : Nhập liệu dạng ẩn [ đồ thị này cần điều chỉnh ] hoặc dạng thông thường [nên nhập dạng này ] .
Lưu trữ : //yadi.sk/d/9Q0aKncWP4sNz
A. Khái niệm .
Cassinian Ovals là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến hai điểm cố định S và T [ trong trường hợp này điểm
Nếu c > a thì đường cong bao gồm hai vòng. Nếu c < a đường cong bao gồm một vòng đơn. Nếu c = a đường cong có dạng Lemniscate Bernoulli [là một trong tám đường cong kiểu mẫu giới thiệu bởi Jacob Bernoulli]. - Một dạng khác của phương trình đường cong Cassini trong hệ tọa độ Descartes $[x^2+y^2+a^2]^2=4a^2x^2+b^4$ Khi $a