A. 10
B. 9
C. 8
D. 11
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
Phương trình
Đặt thì phương trình trở thành:
Do đó
Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.
Bài tập 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ [0; +∞]
B.
C.
D. m ∈ [–∞; 0]
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m + 1] log2 x – 2 < 0 [1]
Đặt t = log2 x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈
[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 0, ∀ m ∈ ℝ
f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được
Bài tập 3. Cho bất phương trình: 9x + [m – 1]․3x + m > 0 [1]. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình [1] nghiệm đúng ∀ x > 1 .A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn A
Đặt t = 3x
Vì x > 1 ⇒ t > 3 Bất phương trình đã cho thành: t2 + [m – 1]․t + m > 0 nghiệm đúng ∀ t ≥ 3
nghiệm đúng ∀ t > 3
Xét hàm số
Hàm số đồng biến trên [3; +∞] và
Yêu cầu bài toán tương
Bài tập 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 10] để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng [256; +∞]A. 7
B. 10
C. 8
D. 9
Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
Với điều kiện trên bất phương trình trở thành H95
Đặt t = log2 x thì t > 8 vì x ∈ [256; +∞]
Đặt
Yêu cầu bài toán
Xét hàm số trên khoảng [8; +∞]
Ta có
⇒ f[t] luôn nghịch biến trên khoảng [8; +∞]
Do đó
Mà m ∈ [0; 10] nên m ∈ {3; 4; …; 10}.
Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A m ≥ 6
B m > 6
C m ≤ 6
D m < 6
Lời giải
Chọn C.
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2.5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1+ log2 [5x – 1]] ≥ m [1]
Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]
Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞].
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6.
Bài tập 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D.
Điều kiện x2 – 3x + m ≥ 0 [*]
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].
Bài tập 7. Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.A. 7
B. 8
C. 9
D. 6
Lời giải
Chọn A
Điều kiện của bất phương trình là x > 0.
Khi đó:
Đặt t = log2 x. Ta có:
Trả lại ẩn ta có .
Kết hợp với điều kiện x > 0 ta có hoặc hoặc x > 2
Khi đó bất phương trình có 7 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 10.
Bài tập 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B.
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m[4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t [t > 0]. Khi đó .
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0.
Đặt
Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1
Bài tập 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ [–∞; 0]
B. m ∈ [0; +∞]
C. m ∈ [0; 1]
D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt 2x = t [t > 0]. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.
Bài tập 10. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .A. m ∈ [0; +∞]
B.
C.
D. m ∈ [–∞; 0]
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: x > 0
⇔ [1 + log2 x]2 – 2[m – 1] log2 x – 2 < 0 [1]
Đặt t = log2 x. Vì nên . Do đó t ∈
[1] thành [1 + t]2 – 2[m + 1] t – 2 < 0 ⇔ t2 – 2mt – 1 < 0 [2]
Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt [2] có nghiệm thuộc
Xét bất phương trình [2] có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ
f[t] = t2 – 2mt – 1 = 0 có ac < 0 nên [2] luôn có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 < t2
Khi đó cần
Cách 2: t2 – 2mt – 1 < 0
Khảo sát hàm số f[t] trong [0; +∞] ta được
Bài tập 11. Tìm giá trị gần đúng tổng các nghiệm của bất phương trình sau:A. 12,3
B. 12
C. 12,1
D. 12,2
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: 0 < x ≠ 1.
Ta có 24x6 – 2x5 + 27x4 – 2x3 + 1997x2 + 2016
= [x3 – x2]2 + [x3 – 1]2 + 22x6 + 26x4 +1997x2 + 2015 > 0, ∀x
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với
Đặt , ta có bất phương trình
Đặt . Ta có
Dấu bằng xảy ra khi
Bài tập 12. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 có nghiệm thực.A. m ≥ 2
B. m ≤ 3
C. m ≤ 5
D. m ≥ 1
Lời giải
Chọn D
Ta có 4x – m․2x+1 + 3 – 2m ≤ 0 ⇔ [2x]2 – 2m․2x + 3 – 2m ≤ 0
Đặt 2x = t [t > 0]
Ta có bất phương trình tương đương với
Xét trên [0; +∞]
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm thực thì m ≥ 1.
Bài tập 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ [1; 64].A. m ≤ 0
B. m ≥ 0
C. m < 0
D. m > 0
Lời giải
Chọn B
Ta có
Đặt log2 x = t, khi x ∈ [1; 64] thì t ∈ [0; 6]
Khi đó, ta có t2 + t + m ≥ 0 ⇔ m ≥ –t2 –t [*]
Xét hàm số f[t] = –t2 –t với t ∈ [0; 6]
Ta có f’[t] = –2t – 1 < 0, ∀ t ∈ [0; 6]
Ta có bảng biến thiên:
Bất phương trình đã cho đúng với mọi x ∈ [1; 64] khi và chỉ khi bất phương trình [*] đúng với mọi t ∈ [0; 6] ⇔ m ≥ 0.
Bài tập 14. Có bao nhiêu giá trị dương của tham số thực m để bất phương trình có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞]?A. 2
B. 1
C. 3
D. 0
Lời giải
Chọn D
Điều kiện xác định
Hàm số xác định trên [32; +∞]
Đặt t = log2 x. Khi x ≥ 32, ta có miền giá trị của t là [5; +∞].
Bất phương trình có dạng:
Xét hàm số trên [5; +∞] có nên hàm số nghịch biến trên [5; +∞]
Do và f [5] = 3 nên ta có 1 < f[t] ≤ 3
Do với mỗi t có duy nhất một giá trị x nên để bất phương trình đãcho có nghiệm duy nhất thuộc [32; +∞] khi và chỉ bất phương trình có nghiệm duy nhất trên [5; +∞]
Khi đó: . Do đó không có số nguyên dương m thỏa mãn.
Bài tập 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?A. 6
B. 4
C. 9
D. 1
Lời giải
Chọn D
Điều kiện: x2 + 3x + m ≥ 0 [*]
Do m nguyên dương nên m = 1 thỏa mãn [*].
Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m có nghiệm với mọi x ≥ 1.A. m ≥ 6
B. m > 6
C. m ≤ 6
D. m < 6
Lời giải
Chọn C
Điều kiện của bất phương trình: x > 0
Ta có log2 [5x – 1]․log2 [2․5x – 2] ≥ m ⇔ log2 [5x – 1]․[1 + log2 [5x – 1]] ≥ m [1]
Đặt t = log2 [5x – 1], với x ≥ 1 ta có t ≥ 2. Khi đó [1] trở thành m ≤ t2 + t [2]
Xét hàm số f[t] = t2 + t trên [2; +∞] ta có f’[t] = 2t + 1 > 0, ∀ t ∈ [2; +∞]
Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm với mọi t ≥ 2 thì hay m ≤ 6
Bài tập 17. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m․4x + [m – 1]․2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ?A. m ≤ 3
B. m ≥ 1
C. –1 ≤ m ≤ 4
D. m ≥ 0
Lời giải
Chọn B
Bất phương trình ⇔ m․4x + 4[m – 1]․2x + m – 1 > 0 ⇔ m [4x + 4․2x + 1] > 1 + 4․2x
⇔
Đặt 2x = t [Điều kiện t > 0 ].
Khi đó
Để bất phương trình ban đầu nghiệm đúng ∀ x ∈ ℝ thì bất phương trình nghiệm đúng ∀ t > 0
Đặt
Hàm số nghịch biến trên [0; +∞]. Khi đó , ∀ t > 0 khi và chỉ khi m ≥ f [0] = 1
Bài tập 18. Tìm tất cả các giá trị của tham số m bất phương trình 4x–1 – m[2x + 1] > 0 có nghiệm ∀ x ∈ ℝA. m ∈ [–∞; 0]
B. m ∈ [0; +∞]
C. m ∈ [0; 1]
D. m ∈ [–∞; 0] ∪ [1; +∞]
Lời giải
Chọn A
Ta có:
Đặt t = 2x, t > 0. Yêu cầu bài toán tương đương với , ∀ t ∈ [0; +∞]
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên có m ≤ 0.