Tìm nghiệm tổng quát của phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN——————————————BÀI GIẢNGPHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNGTrần Văn BằngHà Nội, 05-01-2016Mục lụcChương 1. Giới thiệu về phương trình đạo hàm riêng . .51.1. Một số kí hiệu chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.1.1. Về Không gian Euclide Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.1.2. Không gan các hàm khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.1.3. Một số công thức tích phân cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . .101.3. Phân loại PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.4. Dạng chính tắc của PTĐHR tuyến tính cấp hai . . . . . . .191.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến vềdạng chính tắc trên một miền. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22311.6. Một số hiện tượng tự nhiên dẫn tới phương trình đạo hàmriêng tuyến tính cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6.1. Phương trình truyền nhiệt trong thanh một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134342MỤC LỤC1.6.2. Sự dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391.6.3. Sự khuếch tán trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411.7. Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán. . . . . . . .Chương 2. Phương trình Laplace-Poisson . . . . . . . . . . . . .2.1. Hàm điều hòa. Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4345462.1.1. Khái niệm hàm điều hòa. Nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.1.2. Biểu diễn Green của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.1.3. Các tính chất cơ bản của hàm điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.2. Bài toán biên đối với phương trình Laplace, Poisson . . .542.2.1. Các bài toán biên cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542.2.2. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .552.2.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace tronghình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582.2.4. Các định lý về sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.2.5. Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền bị chặn-Phương phápPerron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.3. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên đối vớiphương trình Laplace 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652.3.1. Giải bài toán biên trong miền chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652.3.2. Giải bài toán biên trong miền tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Chương 3. Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . .3.1.1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .757676MỤC LỤC33.1.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền sóng . . . . . . . . .78883.2.1. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .893.2.2. Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91Chương 4. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . .4.1. Biểu diễn Green của hàm nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1031044.1.1. Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1044.1.2. Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1054.1.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1054.1.4. Các nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1074.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt . . .1094.2.1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1104.2.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1114.3. Bài toán biên ban đầu đối với PT truyền nhiệt . . . . . . .1154.3.1. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán biên banđầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1164.3.2. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu trong trường hợpmột chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1184MỤC LỤCChương 1Giới thiệu về phương trìnhđạo hàm riêngChương này nhằm giới thiệu cho người học các khái niệm chung vềphương trình đạo hàm riêng như: khái niệm phương trình đạo hàmriêng, một số cách phân loại; khái niệm nghiệm (cổ điển); một số hiệntượng dẫn tới phương trình đạo hàm riêng; các bài toán cơ bản đốivới phương trình đạo hàm riêng;...Đặc biệt là việc phân loại phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai; dạng chính tắc; phương phápđưa một phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chínhtắc;...56Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng1.1. Một số kí hiệu chung1.1.1. Về Không gian Euclide RnKí hiệu Rn là không gian Euclide thực n chiều với tích vô hướng vàchuẩn thông thường:x.y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ;|x| =x21 + x22 + · · · + x2n .Hình cầu (mở) tâm a ∈ Rn , bán kính r là tập hợp:Br (a) := {x ∈ Rn | |x − a| < r}.Để ý rằng, nếu ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn thì ta có thểtích của hình cầu bán kính r là ωn rn . Hơn nữa, diện tích mặt cầu đơnvị là nωn và do đó diện tích mặt cầu bán kính r sẽ là nωn rn−1 .1.1.2. Không gan các hàm khả viVới hàm u = u(x) đủ trơn, ta kí hiệu các đạo hàm riêng và gradientbởi∂u= uxj ;∂xjDu = (∂u ∂u∂u,,··· ,).∂x1 ∂x2∂xnĐể tiện cho việc kí hiệu các đạo hàm riêng cấp cao hơn, ta đưa vàokhái niệm đa chỉ số, đó là bộ n số tự nhiên α = (α1 , · · · , αn ), αi ∈ N.Với quy ướcn|α| =αi ;xα = xα1 1 xα2 2 · · · xαnn ;i=1∂ |α| uD u=.∂xα1 1 ∂xα2 2 · · · ∂xαnnαTrần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 27Khi biên ∂Ω trơn thì ta gọi ν là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vịtrên biên của Ω. Chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm theo véc tơ pháp tuyếnngoài đơn vị:∂u:= Du.ν.∂νCho Ω ⊂ Rn là một tập mở, với biên ∂Ω và bao đóng Ω. Kí hiệuC(Ω) = C 0 (Ω) là không gian tất cả các hàm liên tục trên Ω;C k (Ω), k = 1, 2, ... là không gian tất cả các hàm có các đạo hàmriêng đến cấp k thuộc C(Ω);onNếu A ⊂ R là tập không nhất thiết mở, với phần trong A thìo0C(A) = C (A) là không gian tất cả các hàm thuộc C(A) có thác triểnliên tục lên A;C k (A), k = 1, 2, · · · là không gian tất cả các hàm có các đạo hàmriêng đến cấp k thuộc C(A).oTa sẽ thường sử dụng chẳng hạn với A = Ω. Khi đó A = Ω.1.1.3. Một số công thức tích phân cơ bảnNói chung để giải các phương trình đạo hàm riêng, chúng ta sẽ phảitích phân các phương trình đó. Ta kí hiệu tích phân bội của hàm utrên Ω (nếu tồn tại) bởi:u(x)dx.ΩNgoài ra chúng ta cũng cần tới các tích phân mặt (loại một) trênbiên của Ω. Để tiện cho việc tiếp thu các kiến thức chúng tôi nhắc lạikhái niệm này. Giả sử Σ là một mặt cong n−1 chiều, trơn và có phương8Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngtrình tham số x = x(u) với tham số u = (u1 , · · · , un−1 ) ∈ D ⊂ Rn−1 .Khi đó, tại x ∈ Σ có n − 1 véc tơ độc lập tuyến tính tiếp xúc với biênlà∂x∂x1 ∂x2∂xn=(,,··· ,), j = 1, 2, · · · , n − 1.∂uj∂uj ∂uj∂ujDo đó tích có hướng của các véc tơ đó là véc tơ pháp tuyến với biêntại x :N=∂x∂x∂x×× ··· ×.∂u1 ∂u2∂un−1Hơn nữa ta có dS = |N |du là vi phân diện tích mặt trên Σ và tíchphân mặt (loại một) trên Σ của một hàm f (nếu tồn tại) được xácđịnh thông qua tích phân bội n − 1:f (x(u))|N |du.f (x)dS :=DΣLưu ý rằng, nếu Σ = ∂Ω thì véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên∂Ω cho bởi:ν=±N|N |,với dấu ± chọn thích hợp tùy theo miền Ω.Bây giờ giả sử ∂Ω đủ trơn. Cho u, v ∈ C 1 (Ω) và C 1 −trường véc tơF : Ω → Rn . Ta có một số công thức tích phân quan trọng sau đây:a, Công thức Ostrogradski:divFdx =ΩF.νdS.(1.1)∂Ωb, Công thức tích phân từng phần:∂uvdx =∂xiΩuvνi dS −∂ΩuΩ∂vdx.∂xi(1.2)Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 29Bài tậpBài 1.1 Cho hàm n biến u(x) = |x|, x = 0. Tính các đạo hàm riêngsau:a, uxib, uxi xj .Bài 1.2 Trong R2 , tìm véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại các điểmtrên biên ∂Ω (nếu có) biết:a, Ω = [0; 1] × [0; 2];b, Ω = Br (0).Bài 1.3 Trong R3 , tìm véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại các điểmtrên biên ∂Ω (nếu có) biết:a, Ω = [0; 1] × [0; 2] × [0; 3];b, Ω = Br (0);c, Ω = D × [0, T ], với D là hình tròn đơn vị, tâm 0 trong R2 .Bài 1.4 Với ξ ∈ Rn cố định, ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .ĐặtΓ(x − ξ) = Γ(|x − ξ|) :=Tínha, Dxi Γ(x − ξ);b, Dxi xj Γ(x − ξ);1|xn(2−n)ωn12π− ξ|2−n , nếu n > 2,ln |x − ξ|,nếu n = 2.10Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngc,∂Γ(x − ξ) trên biên hình cầu Bρ (ξ).∂νBài 1.5 Sử dụng công thức Ostrogradski (1.1), chứng minh công thứctích phân từng phần (1.2).Bài 1.6 Sử dụng công thức tích phân từng phần (1.2), chứng minhrằng với mọi u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) ta có:a, Công thức Green thứ nhất:v∆udx =Ωv∂udS −∂νDu.Dvdx.(1.3)Ω∂Ωb, Công thức Green thứ hai:[v∆u − u∆v]dx =Ωv∂v∂u−udS,∂ν∂ν(1.4)∂Ωtrong đó ∆ là toán tử Laplace xác định bởin∆u :=i=1∂ 2u.∂x2i1.2. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàmriêngĐịnh nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR) là mộtphương trình có chứa các đạo hàm riêng của ẩn hàm.Chẳng hạn, các phương trình sau là các PTĐHR đối với hàm haiTrần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 211biến u = u(x, t) hoặc u = u(x, y):ut + cux = 0(1.5)uxx + uyy = f (x, y)(1.6)α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2 uyy = 4ex(1.7)ux uxx + (uy )2 = 0(1.8)(uxx )2 + uyy + a(x, y)ux + b(x, y)u = 0.(1.9)Nói chung ta có thể viết một PTĐHR dưới dạngF (x1 , x2 , · · · , xn , u, ux1 , · · · , uxn , ux1 x1 , ...) = 0,x ∈ Ω ⊂ Rn (1.10)trong đó x = (x1 , · · · , xn ) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của cácbiến đó.Một nghiệm của (1.10) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đếncấp cần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộcΩ.Nói chung một PTĐHR thường có vô hạn nghiệm. Ví dụ, các hàmu(x, t) = ex−ct ,u(x, t) = cos(x − ct)là các nghiệm của (1.5). Hơn nữa, mọi hàm khả vi của x − ct đều lànghiệm của phương trình đó.Phương trình đạo hàm riêng thường được phân loại theo các tiêuchí sau:1, Theo cấp của phương trình (nói chung phương trình có cấp càngcao càng phức tạp)12Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng2, Theo mức độ phi tuyến, tuyến tính (phương trình tuyến tính nóichung đơn giản hơn phương trình phi tuyến, mức độ phi tuyến càngcao thì càng phức tạp)3, Theo sự phụ thuộc vào thời gian (phương trình biến đổi theothời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái lại thì được gọilà phương trình dừng). Trong tình huống này người ta thường kí hiệubiến thời gian là t, các biến còn lại là biến không gian.Cụ thể hơn ta có các khái niệm sau đây:Định nghĩa 1.2. Cấp của một PTĐHR là cấp cao nhất của đạo hàmriêng có mặt trong phương trình.Chẳng hạn, (1.5) là phương trình cấp 1, còn các phương trình (1.6)(1.9) là phương trình cấp hai.Định nghĩa 1.3. Một PTĐHR là tuyến tính nếu nó có dạngL[u] = f (x),(1.11)trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêngcủa u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x.Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.11) là thuần nhất,trái lại thì ta nói phương trình đó là không thuần nhất.Chẳng hạn, (1.5)-(1.7) là các phương trình tuyến tính, trong đó(1.5) là thuần nhất, (1.7) là không thuần nhất.Định nghĩa 1.4. Một PTĐHR không tuyến tính thì được gọi là phituyến.Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 213Nói chung các PTĐHR phức tạp hơn các phương trình vi phânthường vì với phương trình vi phân thường, để tìm một nghiệm riêngtừ nghiệm tổng quát ta chỉ phải tìm các giá trị của các hằng số tùy ý,trong khi đó với PTĐHR, việc chọn nghiệm riêng thỏa mãn các điềukiện bổ sung có khi còn khó hơn cả việc tìm nghiệm tổng quát. Đó làvì, nghiệm tổng quát của các PTĐHR phụ thuộc vào các hàm tùy ý(xem ví dụ sau đây) và nó có thể có vô hạn các nghiệm độc lập tuyếntính.Ví dụ 1.1. Giải PTĐHR tuyến tính cấp haiuξη (ξ, η) = 0.(1.12)Tích phân phương trình này theo η (giữ ξ cố định) ta cóuξ = f (ξ)(do ξ cố định nên hằng số tích phân có thể phụ thuộc ξ).Tích phân theo ξ (giữ η cố định) ta nhận đượcu(ξ, η) =f (ξ)dξ + G(η).Do tích phân ở trên là một hàm của ξ nên nghiệm của (1.12) làu(ξ, η) = F (ξ) + G(η),(1.13)trong đó F, G là hai hàm khả vi bất kỳ.Như vậy, để nhận được một nghiệm riêng thỏa mãn một số điềukiện nào đó ta sẽ phải xác định hai hàm F, G.14Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngBài tậpBài 1.7 Hãy cho biết cấp của các PTĐHR sau đây:a. uxx + uyy = 0b. uxxx + uxy + a(x)uy + ln u = f (x, y)c. uxxx + uxyyy + a(x)uxxy + u2 = f (x, y)d. uuxx + u2yy + eu = 0e. ux + cuy = d.Bài 1.8 Chứng minh rằng u(x, t) = cos(x − ct) là một nghiệm củaphương trìnhut + cux = 0.Bài 1.9 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là tuyếntính? phi tuyến? Trong trường hợp tuyến tính thì nó có thuần nhấthay không?a. uxx + uyy − 2u = x2f. ux (1 + uy ) = uxxb. uxy = ug. (sin ux )ux + uy = exc. uux + xuy = 0h. 2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0d. u2x + ln u = 2xyi. ux + ux uy − uxy = 0e. uxx − 2uxy + uyy = cos x.Bài 1.10 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình uxy + uy = 0.Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 215Gợi ý: Đặt v = uy .Bài 1.11 Chứng minh rằng với hai hàm F, G khả đến cấp hai bất kìtrên R ta cóyu = F (xy) + xG( )xlà nghiệm của phương trìnhx2 uxx − y 2 uyy = 0.1.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyếntính cấp haiTrong học phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về phương trình đạohàm riêng tuyến tính cấp hai. Loại phương trình này xuất hiện trongnhiều mô hình thực tế (xem Mục 1.5 sau đây). Chúng ta sẽ nghiêncứu ba lớp đặc biệt của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấphai là: phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic thông qua các đạidiện của chúng là phương trình Laplace, phương trình truyền sóng vàphương trình truyền nhiệt.Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát sauđối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , · · · , xn ):nnaij (x)uxi xj +i,j=1bj (x)uxj + c(x)u = d(x),x ∈ Ω,(1.14)j=1trong đó các hệ số aij = aij (x), bj = bj (x), c = c(x), d = d(x) là cáchàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji và các aij không đồng thời bằngkhông.16Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngViệc phân loại phương trình (1.14) chỉ phụ thuộc vào các hệ số aijcủa các đạo hàm riêng cấp hai và được định nghĩa tại từng điểm nhưsau. GọiA(x) = [aij (x)]là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai. Tạimỗi x ∈ Ω cố định, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) cóđúng n giá trị riêng thực. Ta nói:+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic tại x nếu A(x) có n giátrị riêng cùng dấu;+) phương trình (1.14) thuộc loại hyperbolic tại x nếu A(x) có 1giá trị riêng trái dấu với n − 1 giá trị riêng còn lại;+) phương trình (1.14) thuộc loại parabolic tại x nếu A(x) có 1 giátrị riêng bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu;+) phương trình (1.14) thuộc loại elliptic (hyperbolic, parabolic)trên miền Ω nếu nó thuộc loại đó tại mọi điểm x ∈ Ω.Ví dụ 1.2. a, Phương trình Laplacen∆u :=uxi xi = 0,x ∈ Rni=1là phương trình elliptic trên Rn ;b, Phương trình truyền nhiệtut − ∆u = 0,(x, t) ∈ Rn+1là phương trình parabolic trên Rn+1 ;c, Phương trình truyền sóngutt − ∆u = 0,(x, t) ∈ Rn+1Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 217là phương trình hyperbolic trên Rn+1 ;d, Phương trìnhx1 ux1 x1 + ux2 x2 + ux2 = 0,x = (x1 , x2 ) ∈ R2thuộc loại elliptic trên miền x1 > 0, thuộc loại hyperbolic trên miềnx1 < 0 và thuộc loại parabolic trên đường thẳng x1 = 0.Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (1.14)có dạnga(x, y)uxx +2b(x, y)uxy +c(x, y)uyy +d(x, y, u, ux , uy ) = 0,(x, y) ∈ R2 ,(1.15)trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến (x, y) đã cho,a, b, c không đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x, y) ma trận cáchệ số của các đạo hàm riêng cấp hai làA=a bb ccó các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc haidet(A − λI) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.(1.16)Dễ dàng kiểm tra được phương trình này có hai nghiệm thực và dấucủa các giá trị riêng có thể kết luận được nhờ định lý Viet thông quadấu của∆ = b2 − ac.Cụ thể+) Nếu ∆ < 0 thì (1.16) có hai nghiệm cùng dấu nên (1.15) thuộcloại elliptic;18Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng+) Nếu ∆ > 0 thì (1.16) có hai nghiệm trái dấu nên (1.15) thuộcloại hyperbolic;+) Nếu ∆ = 0 thì (1.16) có một nghiệm bằng không và một nghiệmkhác không nên (1.15) thuộc loại parabolic.Sử dụng dấu hiệu này, ta có thể dễ dàng kiểm chứng lại Ví dụ 1.2phần d.Bài tậpBài 1.12 Phân loại các phương trình sau:1. uxx + 2yuxy + xuyy − ux + u = 02. 2xyuxy + xuy + yux = 03. uxx + 4uxy + uyy + ux + uy + 2u − x2 y = 04. y 2m+1 uxx + uyy − ux = 0, m− là số nguyên không âm.Bài 1.13 Tìm miền elliptic, hyperbolic và parabolic của phương trìnhsau theo tham số λ :(λ + x)uxx + 2xyuxy − y 2 uyy = 0.Bài 1.14 Phân loại các phương trình sau:1. uxx + 2uyy + 6uzz + 2uxy − 2uxz = 02. 2uxx + 2uyy − 15uzz + 8uxy − 12uyz − 12uxz = 03. 3uxx + 2uyy + 3uzz + 2uxz = 0.Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 2194. 3uxx + 4uyy + 5uzz + 4uxy − 8uxz − 4uyz − u + yz 2 sinx = 0.5. uxy + uxz + uxt + uzt = 06. uxx + 2uxy − 2uxz − 4uyz + 2uyt + 2uzz = 01.4. Dạng chính tắc của phương trình elliptic, hyperbolic và parabolic1.4.1. Dạng chính tắc tại từng điểmXét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , · · · , xn ):naij (x)uxi xj + f (x, u, ux1 , · · · , uxn ) = 0,x ∈ Ω,(1.17)i,j=1trong đó các hệ số aij là các hàm liên tục đã cho trên Ω, aij = aji vàcác aij không đồng thời bằng không.Trước hết chúng ta xét tác động của phép đổi biến đối với (1.17).Giả sử ξ = ξ(x) là một phép đổi biến thuộc lớp C 2 và không suy biến,tức là JacobianD(ξ1 , ξ2 , · · · , ξn )= 0.D(x1 , x2 , · · · , xn )Khi đó ta cónu xj =uξrr=1nuxi xj∂ξr;∂xj∂ξr ∂ξs=uξr ξs+∂x∂xjir,s=1n∂ 2 ξruξr.∂x∂xijr=120Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngThay các đạo hàm này vào (1.17) ta nhận được phương trìnhna˜rs uξr ξs + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0,(1.18)r,s=1trong đóna˜r,s =aijij=1∂ξr ∂ξs=a˜s,r .∂xj ∂xi(1.19)Nếu ta kí hiệu˜A(ξ)= [˜ars (ξ)];A(x) = [aij (x)];J(x) = [bkl (x)], với bkl =∂ξl∂xkthì (1.19) có thể viết dưới dạng˜A(ξ)= J(x)t A(x)J(x).(1.20)˜ và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùngChứng tỏ A(ξ)chỉ số quán tính. Vậy nếu (1.17) thuộc loại elliptic (hay parabolic,hyperbolic) tại điểm x0 thì (1.18) cũng thuộc loại elliptic (tương ứng:parabolic, hyperbolic) tại điểm ξ0 = ξ(x0 ).Cố định x = x0 , ta có A(x0 ) là một ma trận hằng. Khi đó, tồn tạimột ma trận T = [αkl ] sao cho ma trận T t A(x0 )T có dạngλ1 0 · · · 0 0 0 λ20..  ..........000 ···0 λnTrần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 221trong đó λi ∈ {1, −1, 0}, i = 1, 2, · · · , n.Giả sử đã biết ma trận T. Lúc đó nếu ta thực hiện phép đổi biếntuyến tínhnξk =αik xi ,k = 1, 2, · · · , ni=1thì ta sẽ cóJ=∂ξk= [αki ] = T∂xi˜ 0 ) có dạng đường chéo như trên và phương trình (1.18) lúcdo đó A(ξđó được gọi là dạng chính tắc của phương trình (1.17) tại điểm x0 .Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phépđổi biến để đưa (1.17) về dạng chính tắc trong một miền nên ma trậncác hệ số của các đạo hàm cấp hai chỉ có dạng đường chéo như trêntại điểm ξ0 . Đặc biệt trong trường hợp aij không phụ thuộc x thì matrận các hệ số của các đạo hàm cấp hai có dạng đường chéo như trêntại mọi điểm nên (bằng cách đổi lại thứ tự biến nếu cần) ta có:+Nếu (1.17) thuộc loại elliptic thì dạng chính tắc của nó là:nuξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0;i=1+Nếu (1.17) thuộc loại parabolic thì dạng chính tắc của nó là:n−1uξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0;i=1+Nếu (1.17) thuộc loại hyperbolic thì dạng chính tắc của nó là:n−1uξn ξn −uξi ξi + g(ξ1 , · · · , ξn , u, uξ1 , · · · , uξn ) = 0.i=122Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng1.4.2. Đưa phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp haicủa hàm hai biến về dạng chính tắc trên một miềnRiêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phươngtrình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miềnmà dạng của phương trình đó không đổi. Thật vậy, xét phương trình:a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0.(1.21)Để biến đổi PTĐHR về dạng chính tắc, trước hết chúng ta chỉ raảnh hưởng của một phép đổi biến đối với PTĐHR (1.21). Giả sử ξ, ηlà hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :ξ = ξ(x, y),η = η(x, y).Giả thiết Jacobian của phép đổi biếnJ=ξx ηxξy ηy= 0.Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta tính đượcux = uξ ξx + uη ηx ;uy = uξ ξy + uη ηy ;uxy = uξξ ξx ξy + uξη (ξx ηy + ξy ηx ) + uηη ηx ηy + uξ ξxy + uη ηxy ;uxx = uξξ ξx2 + 2uξη ξx ηx + uηη ηx2 + uξ ξxx + uη ηxx ;uyy = uξξ ξy2 + 2uξη ξy ηy + uηη ηy2 + uξ ξyy + uη ηyy .Thay các đạo hàm này vào (1.21) ta nhận được phương trìnha∗ uξξ + 2b∗ uξη + c∗ uηη + d∗ (ξ, η, u, uξ , uη ) = 0,(1.22)Trần Văn Bằng: Khoa Toán-ĐHSP Hà Nội 223trong đó các hệ số là các hàm của ξ, η vàa∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 ;b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ;c∗ = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 ;Hơn nữa ta có∆∗ = (b∗ )2 − a∗ c∗ = J 2 ∆.Từ các công thức xác định hệ số trên đây, chúng ta đi tìm phép đổibiến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) sao cho một số trong các hệ số a∗ , b∗ , c∗trong (1.22) bằng không.Chú ý rằng a∗ , c∗ có dạng tương tự nhau và có thể viết chung bởiaζx2 + 2bζx ζy + cζy2(1.23)trong đó ζ thay cho ξ hoặc η. Giả sử chúng ta muốn chọn ξ, η sao choa∗ = c∗ = 0. Tất nhiên là điều này chỉ có thể xảy ra khi phương trìnhlà hyperbolic vì khi đó ∆∗ = (b∗ )2 > 0.a, Trường hợp phương trình hyperbolic trong một miềnĐể làm điều đó, chúng ta chọn ζ thỏa mãn (1.23). Khi đó, chia haivế cho ζy2 thì phương trình trên trở thànhaζxζy2+ 2bζx+ c = 0.ζyDọc theo đường congζ(x, y) = const,ta códζ = ζx dx + ζy dy = 0.(1.24)24Bài giảng Phương trình đạo hàm riêngDo vậy,ζxdy=−ζydxvà phương trình (1.24) trở thànhadydx2− 2bPhương trình bậc hai đối vớidy+ c = 0.dx(1.25)dydxnày có hai nghiệm√dyb± ∆=.dxado biệt thức ∆ = b2 − ac > 0 (vì phương trình là hyperbolic).Các phương trình này được gọi là các phương trình vi phân đặctrưng, chúng là các phương trình vi phân thường xác định các đườngcong trong mặt phẳng (x, y), dọc theo các đường cong đó hàm ζ =const. Các nghiệm của chúng được gọi là các đường cong đặc trưng.Tích phân các phương trình đặc trưng ta có hai đường cong đặc trưngphân biệt. Chọn một đường cong là ξ(x, y), đường cong còn lại làη(x, y.) Cụ thể, tích phân các PTVP thường ta cóΦ1 (x, y) = C1Φ2 (x, y) = C2 .Do vậy, phép đổi biếnξ = Φ1 (x, y)η = Φ2 (x, y)sẽ dẫn đến a∗ = c∗ = 0 và phương trình (1.22) lúc này là2b∗ uξη = −d∗ .