TUYỂN TẬP 25 BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNGTRONG TAM GIÁC VUÔNGBài 1: Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vng để đo chiều cao một cây dừa, với các kích thước4,8mđo được như hình bên. Khoảng cách từ góc cây đến chân người thợ làvà từ vị trí chân đứng thẳng1,6mtrên mặt đất đến mắt của người nhắm là. Hỏi với các kích thước trên, người thợ đo được chiều caocủa cây đó là bao nhiêu? [làm trịn đến mét].Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Ta có, tứ giácXét∆ADCABDHvng tại⇒ BA = DH = 1, 6m; BD = AH = 4,8mlà hình chữ nhậtDcóBDBD 2 = BA.BC ⇒ BC =là đường cao:⇒ AC = AB + BC = 1, 6 + 14, 4 = 16m.Vậy chiều cao của cây dừa là16m.Trang 1BD 2 4,82== 14, 4mBA1, 6 ABBài 2: Muốn tính khoảng cách từ điểmđến điểm bên kia bờ sông, ông Việt vạch một đường vuôngAB.AC = 30m.CDgóc vớiTrên đường vng góc này lấy một đoạn thẳng, rồi vạchvng góc vớiAD = 20m,BCABDAphươngcắttại[xem hình vẽ]. Đotừ đó ông Việt tính được khoảng cách từđếnACB.BAB. Em hãy tính độ dàivà số đo gócLời giải:AC 2AB. AD = AC ⇒ AB == 45m.AD2XétXét∆BCD∆ABCvng tạivng tạiCAvàCAlà đường cao, ta có:tan ACB =, ta có:AB 45== 1,5 ⇒ ·ACB ≈ 56°18 '.AC 30AB = 45m, ·ACB = 56°18'.VậyBài 3: Một cây cao có chiều cao6m. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre8mđạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài[làm tròn đếnphút].Trang 2 Lời giải:Xét∆ABCsin B =vuông tạiAC 6 3= =BC 8 4A, ta có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]µ ≈ 48°35′⇒BVậy góc giữa thang tre với mặt đất là48035′Bài 4: Một máy bay đang bay ở độ caomột góc nghiêng so với mặt đất..12 km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạoTrang 3 a] Nếu cách sân bay320 kmmáy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu [làm trịn đến phút]?5°b] Nếu phi cơng muốn tạo góc nghiêngthì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạcánh [làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất]?Lời giải:a]Xét∆ABCsin B =vng tạiAAC 123==BC 320 80, ta có:[Tỉ số lượng giác của góc nhọn]µ ≈ 2°9′⇒BVậy góc nghiêng là2°9′.b]Trang 4 Xét∆ABCsin B =ACBC⇒ BC =vng tạiA, ta có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]AC12=≈ 137,7 kmsin B sin 5°.137, 7 kmVậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi máy bay cách sân bay.Bài 5: Hải đăng Kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăng đượctrung tâm sách kỷ luật Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà66 mđược xây dựng từ năm 1897-1899 và tồn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, caoso với mực40 km22nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xahải lý [tương đương].66 m,Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ caongười đó đứng trên mũithuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là25°.mTính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng [làm tròn đến ].Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Trang 5 Xét∆ABCtan C =ABAC⇒ AC =A,vng tạita có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]AB66=≈ 142 [ m ]tan C tan 25°142 m.Vậy khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng là6 m.Bài 6: Trường bạn An có một chiếc thang dàiCần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách65°bằng bao nhiêu để nó tạo với mặt đất một góc “an tồn” là[tức là đảm bảo thang khơng bị đổ khi sửdụng].Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Trang 6 Xét∆ABCcos B =ABBCA,vng tạita có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]⇒ AB = BC.cos B = 6.cos65° ≈ 2,5 [ m ]2,5 m.Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảngBài 7: Thang xếp chữ A gồm hai thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt đất mộtgóc khoảngbao nhiêu?75°. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dàiLời giải:Hình vẽ minh họa bài toán:Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến hay H là trung điểm của BC.Xét∆ABHvng tại H, ta có:Trang 7 sin B =⇒AHABAB =[tỉ số lượng giác của góc nhọn]AH2=≈ 2, 07msin B sin 75°2, 07mVậy thang đơn có chiều dàiBài 8: Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn20°dưới gócso với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đườngdài bao nhiêu mét?Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Theo đề bài, ta có:∠BCA = ∠CBx = 20°Xét∆ABCtan ACB =[ vì AC // Bx và hai góc ở vị trí so le trong]vng tại A, ta có:ABAC[tỉ số lượng giác của góc nhọn]Trang 8 ⇒AC =AB350=; 961, 6mtan ACB tan 20°961, 6mVậy muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng.5, 7 cmBài 9: Một khối u của một bệnh nhân cách mặt dađược chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh8,3 cmlàm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u [trên mặt da][xem hình vẽ]. Tính góc tạo bởichùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?Lời giải:Xét∆ABCtan B =vng tạiA, ta có:AC 5, 7=AB 8,3[tỉ số lượng giác của góc nhọn]µ ≈ 34° 28′⇒BTrang 9 Ta có:BC 2 = AB 2 + AC 2⇒ BC = AB 2 + AC 2 = [8,3]2 + [5, 7] 2 ≈ 10,1[ cm][định lý Pytago]Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da làđược khối u.34° 28′10,1 cmvà chùm tia phải đi một đoạn dài khoảngBài 10: Một ngurời quan sát đứng cách một cái tháp1 góc55°và10°10 m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lượt dướiso với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều cao của tháp.Lời giải:Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có:Xét∆AHBtan BAH =vng tạiBHAHHAH = BD = 10 m., ta có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]Trang 10đề đến ⇒ BH = AH ×tan BAH = 10 ×tan10° [m]Xét∆AHCtan CAH =vng tạiCHAHH, ta có:[tỉ số lượng giác của góc nhọn]⇒ CH = AH ×tan CAH = 10 ×tan 55° [ m]Ta có:BC = BH + CH = 10 ×tan10° + 10 ×tan 55° ≈ 16 mVậy chiều cao của tháp là16 m.Bài 11: Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là4008,1.Vậy muốn nâng một vật nặng lên2, 6caomét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là[ làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân ].Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Ta có:Trang 11mét, chiều cao của vậ là 1 mét AK = CH⇒ AD + DK = CH⇒ AD = CH − DK = 2,1 − 1 = 1,6 mMà:AB + AD = BD⇒ AB = BD − AD = 8,1 − 1, 6 = 6,5mXétVABCsinC =ABBC⇒ BC =vuông tạiA, ta có:[ tỷ số lượng giác của góc nhọn]AB6, 5=≈ 10,1msin C sin 400.Vậy cần cẩu phải dài 10,1 m.3, 5km / hBài 12: Một con thuyền qua khúc sông với vận tốcmất hết 6 phút. Do dòng nước chảy mạnh nênđã đẩy con thuyền đi qua con sông trên đường đi tạo với bờ một gócsơng?Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốnTrang 12250. Hãy tính chiều rộng của con =Chuyển đổi: 6 phút110giờ.Quãng đường con thuyền đi được là:AC = v.t = 3,5.1= 0,35km = 350m10VABocos A =XétABACVABCcos A =vng tại B ta có :ABAC[ tỷ số lượng giác của góc nhọn]⇒ AB = AC sin A = 350cos 250 ≈ 317, 21mVậy chiều rộng của con sông là 147,92m.Bài 13: Một tịa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 272m, cùng thời điểm đó một cột đèn cao 7m có bóngtrên mặt đất dài 14m. Em hãy cho biết tịa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3,4m?Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc C bằng góc C’tan C = tan C ' ⇔AB A ' B '=AC A ' C '[tỉ số lượng giác của góc nhọn]Trang 13 ⇒ A' B ' =AB. A ' C ' 7.272== 136mAC14136= 403, 4Vậy tịa nhà có:[tầng]Bài 14: Tịa nhà Bitexco Financial [hay Tháp Tài chính Bitexco] là một tịa nhà chọc trời được xây dựngtại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tịa nhà có 68 tầng [khơng tính 3 tầng hầm]. Biết rằng, khitồ nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột cờ [được cắm thẳng đứngtrên mặt đất] cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.a] Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất [đơn vị đo góc được làm trịn đến độ].b] Tính chiều cao của tồ nhà, [làm trịn đến hàng đơn vị].Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốna] Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’⇒ tan B = tan B ' =A 'C '15=A ' B ' 2, 64[tỉ số lượng giác của góc nhọn]⇒ B = B ' ≈ 80oVậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất làtan B =b] Ta có:80oACABTrang 14 ⇒ AC = AB.tanB = 47,3.15≈ 268,8m2, 64Vậy chiều cao của tịa nhà là 268,8mBài 15: Giơng bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt8, 5m30ođất một góc. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc tre là. Giả sử câytre mọc vng góc với mặt đất , hãy tính chiều cao của cây tre đó [làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai]Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Xét∆ADCvng tạiCtan DCA =, ta có:ADAC[tỉ số lượng giác của hai góc nhọn]⇒ AD = AC.tan DCA = 8,5.tan 30 o [ m]Trang 15 cos DCA =VàACDC⇒ DC =[tỉ số lượng giác của hai góc nhọn]⇒ AB = AD + DC = 8,5.tan 30o +AC8,5=[ m]cos DCA cos 30o8,5= 14,72 mcos 30oBài 16: Tính chiều cao của trụ cầu Cần Thơ so với mặt sông Hậu, cho biết tại hai điểm cách nhautrên mặt sơng người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt làLời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Xét∆ABDvng tạiA, ta cóTrang 1640ovà30o.89m tan ADB =⇒ AD =Xéttan ACB =Ta có:[tỉ số lượng giác của hai góc nhọn]ABAB=mtan ADB tan 40o∆ABC⇒ AC =ABADvng tạiABACA, ta có[tỉ số lượng giác của hai góc nhọn]ABAB=mtan ACB tan 30oAD + DC = AC[vìD⇔ABAB+ 89 =otan 40tan 30o⇔ABAB−= 89otan 30 tan 40 o⇔AB 11−o otan 30 tan 30 tan 40o⇔ AB =[ 1][ 2]thuộcAC]÷ = 898911−otan 30 tan 40o⇔ AB ≈ 164, 7 mBài 17: Hai người A và B đứng cùng bờ sơng nhìn ra một cồn nổi giữa sơng. Người A nhìn ra cồn với mộtgóc43°250m.so với bờ sơng, người B nhìn ra cồn với một góc28°so với bờ sơng. Hai người đứng cách nhauHỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng bao nhiêu m?Trang 17 Lời giải:Xét tam giác·tan CAH=vng tạiA, ta cóCHCHCH⇒ AH ==[ 1]·AHtan 43°tan CAHXét tam giác·tan CBH=AHCBHCvng tạiB, ta cóCHCHCH⇒ BH ==[ 2]·BHtan CbH tan 28°Từ [1] và [2] ta có1 1 1 1AB = AH + HB = CH ++÷ ⇔ 250 = CH ÷ tan 43° tan 28° tan 43° tan 28° CH ≈ 84, 66mSuy ra :84, 66mVậy cồn cách bờ sông hai người đang đứng làTrang 18 Bài 18: Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình dưới dây. Tính khoảng cách giữa chúng.[làm tròn đến met]Lời giải:Xét tam giáctan AKI =Ta cóvng tai I ta có:AI⇒ AI = IK .tan AKI = 380.tan 50 ≈ 453mIKXét tam giáctan BKI =AIKBIKvuông tai I ta có:BI⇒ BI = IK .tan AKI = 380.tan [ 15° + 50° ] ≈ 815mIKAB + AI = BI ⇒ AB = BI − AI = 815 − 453 = 362mVậy khoảng cách giữa chúng là362mBài 19: Lúc 6h sáng bạn An đi từ nhà [điểm A] đến trường [điểm B] phải leo lên và xuống dốc như hình vẽAˆ = 6°Bˆ = 4°dưới. Cho biết đoạn AB dài 762m, gócvàTrang 19 a] Tính chiều cao con dốc.b] Hỏi An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ lên dốc 4hm/h và tốc độ xuống dốc 19km/h.a] Xét∆AHC∆BHCtan CBH =vuông tại H ta có:CHCHCH⇒ AH ==° [ m]AHtan CAH tan 6tan CAH =XétLời giải:[1]vng tại H ta có:CHCHCH⇒ BH ==° [m]BHtan CBH tan 4[2]Từ [1] và [2], suy ra:AH + BH =⇒ CH =CHCH1 1 1 1+⇔ AB = CH +⇔ 672 = CH +°°°° ÷°° ÷tan 6 tan 4 tan 6 tan 4 tan 6 tan 4 6721 1+°° ÷ tan 6 tan 4 ≈ 32mVậy chiều cao của con dốc là 32m.b] Xét∆ACHsin CAH =vuông tại H ta có:CHCH32⇒ AC ==° [ m]ACsin CAH sin 6Trang 20 Xét∆BHCsin CBH =vng tại H ta có:4km / h =Đổi đơn vị:CHCHCH⇒ CB ==° [ m]CBsin CBH sin 41095m / s 19km / h = m / s918;°t ACSAC 32 / sin 6= AC ==[ s]VAC VAC14, 4Thời gian lên dốc AC là:°tCBSCB 32 / sin 4= CB ==[ s]VCB VCB68, 4Thời gian xuống dốc CB là:°t AB = t AC + tCB°32 / sin 6 32 / sin 4=+≈ 362, 44[ s ]14, 468, 4Thời gian đi từ A đến B là:´ˆ 362, 44s ≈ 6 ph u t 3 giayBài 20: Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặng xuống và di chuyển theo mộtđường thẳng tạo với mặt nước một góc21°.a] Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 250m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước [làmtròn đến đơn vị mét].b] Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9km/h thì sau bao lâu [tính từ lúc bắt đầu lặn] tàu ở độ sâu 200m[cách mặt nước biển 200m] làm tròn đến phút.Lời giải:Hình vẽ minh họaTrang 21 a] Xét∆ABCsin A =vng tại C ta có:CB⇒ CB = AB.sin A = 250.sin 210 ≈ 89, 6mABVậy tàu đi được 250m thì tàu ở độ sâu 89,6m.b] 9km/h=2,5m/sGọi t[s] là thời gian đi để tàu đạt được độ sâu 200m.Quảng đường tàu đi được trong thời gian t[s] là:AB = S AB = vAB .t AB = 2,5t [ m]Xét∆ABCsin A =vng tại C ta có:CB200200⇔ sin 210 =⇔t=≈ 223s ≈ 4 phútAB2,5t2,5.sin 210Vậy thời gian tàu đi là 4 phút.Bài 21: Một chiếc cầu trượt bao gồm phần cầu thang [ để bước lên] và phần ống trượt [ để trượt xuống] nốiliền với nhau. Biết rằng khi xây dựng phần ống trượt cần phải đặt phần ống trượt nghiêng với mặt đất một50ogóc. Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt nếu xem phần cầu thang như mộtđường thẳng dài 2,5m; ống trượt dài 3m.Lời giải:Hình minh họa bài tốnTrang 22 Tam giác CHB vuông tại H nên:HB = CB.cos 50° = 3.cos 50°HC = CB.sin 50° = 3.sin 50°Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ACH vuông tại H:AC 2 = CH 2 + AH 2⇔ AH 2 = AC 2 − CH 2 = 2,52 − [3.sin 50° ] 2AB = AH + HB = 2.52 − [3.sin 50° ] 2 + 3.cos 50° ≈ 2,91⇒ AH = 2,52 − [3.sin 50° ]2Do đó:Bài 22: Trong phịng khách sạn, bên cạnh bộ khóa cửa chính cịn có một phụ kiện hữu ích khác chính làdoor guard [ chốt trượt mở an tồn ]. Thiết bị này phịng trường hợp khi nghe tiếng gõ cửa mà khơng biếtchính xác đó là ai. Door guard là một dạng chốt nối, tạo một khoảng cỡ 12cm đủ để người bên trong nhậndiện người bên ngồi và nói chuyện với nhau. Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm. Hãy tính gócmở cánh cửa.Lời giải:Hình vẽ minh họa bài tốn:Ta có: AB = AC nên∆ABClà tam giác cân tại AGọi H là trung điểm BC. Khi đó AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.Trang 23 BH = HC = 6cm.Trong tam giác vuông ABH, ta có:sin BAH =AH6·=⇒ BAH≈ 3,8°AB 90·BAC≈ 7, 6°Do đó:Bài 23: Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phịng triển lãm như hình vẽ.20oThiết bị này có góc chiếu sáng làvà cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị chiếu sángnày sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãytính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.Lời giải:Xét∆ABC·tan BAC=BC2== 0,8·⇒ BAC≈ 38,7 oAB 2,5vng tại B, ta có:···BAD= BAC+ CAD= 38,7 o + 20o = 58,7 oTa có:Xét∆ABDBD = AB.tan BAD = 2,5.tan 58,7 o ≈ 4,1[ m ]vuông tại B, Ta có:⇒ CD = BD − BC = 4,1 − 2 = 2,1[ m ]Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1 [m].Trang 24 Bài 24: Trên nóc của một tịa nhà có một cột ăng – ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất,có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới gócchiều cao của tịa nhà.Lời giải:+ Dựa vào hình vẽ bài tốn, ta có:BC = 5mAD = EH = 7m··BAE= 50o ; CAE= 40 o··CEA= BEA= 90o+ Xét∆CAEvuông tại E, ta có:tan CAE =CEAE[Tỉ số lượng giác của góc nhọn]⇒ CE = AE.tan CAE = AE.tan 40o[ m][1]Trang 2550ovà40oso với phương nằm ngang. Tính