Trong mặt phẳng Oxy cho điểm $M[x_M;y_M]$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình: $ax+by+c=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm $M[x_M;y_M]$ đến đường thẳng $\Delta$ được xác định bởi công thức:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ chính là đoạn MH với H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng $\Delta$.
Như vậy để tính được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ thì chúng ta cần phải xác định được 2 yếu tố:
- Tọa độ điểm M
- Phương trình của đường thẳng $\Delta$
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng a lần lượt có phương trình là: $2x+3y-1=0$ và $4x+3y-5=0$
a. Tính khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$
b. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$
Hướng dẫn:
a. Khoảng cách từ điểm $M[2;1]$ đến đường thẳng $\Delta$ là:
$d[M,\Delta]=\dfrac{|2.2+3.1-1|}{\sqrt{2^2+3^2}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6}{\sqrt{13}}$
=> $d[M,\Delta]=\dfrac{6\sqrt{13}}{13}$
b. Khoảng cách từ điểm $A[2;4]$ đến đường thẳng $a$ là:
$d[M,a]=\dfrac{|4.2+3.4-5|}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{\sqrt{4^2+3^2}}$
=> $d[M,a]=\dfrac{15}{5}=3$
Bài tập 2: Cho tam giác ABC biết $A[1;2]$; $B[2;3]$; $C[-1;2]$. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Hướng dẫn:
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC. Do đó ta cần viết được phương trình của đường thẳng BC.
Ta có: $\vec{BC}=[-3;-1]$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là: $\vec{n}_{BC}=[1;-3]$
Đường thẳng BC đi qua điểm $B[2;3]$ có phương trình là:
$1.[x-2]-3[y-3]=0$ $x-3y+7=0$
Khoảng cách từ điểm $A[1;2]$ đến đường thẳng BC là:
$d[A,BC]=\dfrac{|1-3.2+7|}{\sqrt{1^2+[-3]^2}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{2}{\sqrt{10}}$
=> $d[A,BC]=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Vậy độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A đến cạnh BC bằng: $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
Bài tập 3: Tìm tất cả những điểm nằm trên đường thẳng a có phương trình: $x+y-3=0$ và có khoảng cách đến đường thẳng b có phương trình $3x-4y+5=0$ bằng 3.
Hướng dẫn:
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Khi đó ta có tọa độ của điểm $M$ là: $M[x_M;-x_M+3]$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b là:
$d[M,b]=\dfrac{|3x_M-4[x_M+3]+5|}{\sqrt{3^2+[-4]^2}}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|-x_M-7|}{5}$
=> $ d[M,b] = \dfrac{|x_M+7|}{5}$
Theo bài ra khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng b bằng 3 nên ta có:
$ \dfrac{|x_M+7|}{5}=3$
$|x_M+7|=15$
$x_M+7=15$ hoặc $x_M+7=-15$
$x_M=8$ hoặc $x_M=-19$
Vậy có hai điểm M thuộc đường thẳng a và có khoảng cách đến đường thẳng b bằng 3 là hai điểm $M_1[8;-5]$ và $M_2[-22;-19]$
Bài tập rèn luyện tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Bài tập 1: trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng a và b lần lượt có phương trình là: $2x-3y+7=0$ và $4x+3y-11=0$.
a. Tính khoảng cách từ điểm $A[2;-3]$ tới đường thẳng a
b. Tính khoảng cách từ điểm $B[-4;3]$ tới đường thẳng b
Bài tập 2: Tính diện tích hình vuông có toạ độ một đỉnh là A[4;2] và phương trình một đường chéo là $x+2y+2=0$
Bài tập 3: Viết phương trình của đường thẳng a song song với đường thẳng b: 3x + 4y – 1 = 0 và cách đường thẳng b một đoạn bằng 2
Bài tập 4: Tìm bán kính của đường tròn tâm I[2, –3] và tiếp xúc với đường thẳng: 12x -5y +3 = 0
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ
20/08/2022 104
Đáp án chính xác
Chọn đáp án B
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ là:
dA;Δ=12.1+5.2+4122+52=2
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Biểu diễn miền nghiệm được cho bởi hình bên là miền nghiệm của bất phương trình nào ?
Xem đáp án » 20/08/2022 272
Cặp số [1; -1] là nghiệm của bất phương trình
Xem đáp án » 20/08/2022 262
Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng – x + 3y + 2 = 0?
Xem đáp án » 20/08/2022 92
Đường thẳng nào qua A[2;1] và song song với đường thẳng: 2x + 3y – 2 = 0?
Xem đáp án » 20/08/2022 89
Phương trình tham số của đường thẳng [d] đi qua M[–2;3] và có VTCP u→=[3;–4] là
Xem đáp án » 20/08/2022 87
Bất phương trình x+3+x+150.
Xem đáp án » 20/08/2022 85
Cho phương trình: x2−2[2−m]x+m2−2m=0, với m là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Xem đáp án » 20/08/2022 83
Cho bảng xét dấu:
Biểu thức hx=gxfx là biểu thức nào sau đây?
Xem đáp án » 20/08/2022 82
Nhị thức fx=−2x+4 nhận giá trị âm với mọi x thuộc tập hợp nào?
Xem đáp án » 20/08/2022 74
Tập nghiệm của bất phương trình 4−2x2x+6≥0
Xem đáp án » 20/08/2022 72
Tập nghiệm của bất phương trình x2+1>0
Xem đáp án » 20/08/2022 72
Xem đáp án » 20/08/2022 72
Tam thức y=−x2+2x. nhận giá trị dương khi chỉ khi:
Xem đáp án » 20/08/2022 71
Hệ bất phương trình 3−x≥0x+1≥0có tập nghiệm là :
Xem đáp án » 20/08/2022 70