Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10.
Lý thuyết Toán 10 giá trị lượng giác của một cung là một trong những kiến thức quan trọng mà các em cần nắm vững. Do đó, việc nắm vững những nội dung liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, hệ quả, công thức cơ bản,… và các dạng bài tập cơ bản là vô cùng quan trọng. Các em hãy cùng Team Marathon Education tìm hiểu chi tiết về kiến thức này Toán 10 giá trị lượng giác của một cung qua bài viết dưới đây.
>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức
Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung
Trên đường tròn lượng giác tâm O, cho điểm M[x; y] sao cho số đo cung AM = α thì:
\begin{aligned} &\bullet sinα=\overline{OQ}=y_0\\ &\bullet cosα=\overline{OP}=x_0\\ &\bullet tanα = \frac{sinα}{cosα}\ [cosα ≠ 0]\\ &\bullet cotα = \frac{cosα}{sinα} [sinα ≠ 0] \end{aligned}
Định nghĩa: Các giá trị sinα, cosα, tanα và cotα là các giá trị lượng giác của một cung. Các em có thể gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cosin.
Ví dụ: Tính cos [-240o]
Hướng dẫn:
Để tính được giá trị lượng giác của cung AM có số đo α bất kỳ, các em tiến hành thực hiện theo các bước sau:
- Biểu diễn cung AM trên đường tròn lượng giác tâm O.
- Xác định tọa độ điểm M, từ đó suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.
\begin{aligned} &\text{Ta có: } -240^\circ = 120^\circ - 360^\circ \\ &\text{Suy ra: }cos[-240^\circ]=cos120^\circ=-\frac{1}{2} \end{aligned}
\begin{aligned} &\small \text{1. Với sinα và cosα luôn xác định với mọi giá trị α ∈ R, ta có:}\\ &\small\ \ \ \bull sin [α+ 2kπ] = sinα\ [⩝k ∈ Z]\\ &\small\ \ \ \bull cos [α+ 2kπ] = cosα [⩝k ∈ Z]\\ &\small2. \ -1 < sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1\\ &\small3. ⩝m ∈ R \text{ và }-1 ≤ m ≤ 1 \text{ đều tồn tại giá trị α và β sao cho }sinα = m\text{ và }cosα = m.\\ &\small \text{4. tanα xác định }⩝α ≠ \frac{π}{2} + kπ\ [k ∈ Z]\\ &\small \text{5. cotα xác định }⩝α ≠ kπ [k ∈ Z] \end{aligned}
Một số giá trị lượng giác của các cung đặc biệt để thể hiện thông qua bảng sau:
Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục hoành, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin [-α] = -sinα\\ &\bull cos [-α] = cosα\\ &\bull tan [-α] = -tanα\\ &\bull cot [-α] = -cotα \end{aligned}
Cung bù nhau
Vì các điểm cuối của hai cung AM, AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin [\pi-α] = sinα\\ &\bull cos [\pi-α] = -cosα\\ &\bull tan [\pi-α] = -tanα\\ &\bull cot [\pi-α] = -cotα \end{aligned}
Cung phụ nhau
Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin \left[\frac{\pi}{2}-α\right] = cosα\\ &\bull cos \left[\frac{\pi}{2}-α\right] = sinα\\ &\bull tan \left[\frac{\pi}{2}-α\right] = cotα\\ &\bull cot \left[\frac{\pi}{2}-α\right] = tanα \end{aligned}
Cung hơn kém nhau π
Các điểm cuối của hai cung đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O, nên ta có:
\begin{aligned} &\bull sin [α+\pi] = -sinα\\ &\bull cos[α+\pi] = -cosα\\ &\bull tan[α+\pi]= tanα\\ &\bull cot [α+\pi] = cotα \end{aligned}
Chú ý: Để có thể ghi nhớ các công thức trên một cách dễ dàng, các em có thể học thuộc bí kíp sau “cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi”.
Số Phức Liên Hợp Là Gì? Các Tính Chất Và Cách Tìm Số Phức Liên Hợp
Các công thức lượng giác cơ bản
Một số công thức lượng giác cơ bản mà các em có thể tham khảo như:
\begin{aligned} &\bull sin^2α + cos^2α = 1\\ &\bull tanα.cotα = 1\\ &\bull 1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}\\ &\bull 1 + cot^2α = \frac{1}{sin^2α} \end{aligned}
Ý nghĩa hình học của tan và cotan
Ý nghĩa hình học của tanα
\begin{aligned} &\small \text{Tanα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác bởi độ dài đại số của vectơ } \overrightarrow{AT} \text{ trên trục t’At. }\\ &\small\text{Trục t’At được gọi là trục tan.} \end{aligned}
\begin{aligned} &\small \text{Cotα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác tâm O bởi độ dài đại số của vectơ }\overrightarrow{BS} \text{ trên trục s’Bs.}\\ &\small\text{Trục s’Bs được gọi là trục cot.}\\ \end{aligned}
Ví dụ 1:
\text{Cho }sinα = \frac{\sqrt3}{2}\ với\ 0 < α < \frac{π}{2}. \text{ Tính cosα}
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\ &cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\right]^2 = \frac{1}{4}\\ &\text{Vì } 0 < α < \frac{π}{2} \text{ nên }cosα > 0 ⟹ cosα = \frac12 \end{aligned}
Ví dụ 2:
\text{Cho }cosα = \frac{\sqrt{11}}{6} \text{ với } \frac{3π}{2}