Bước 1: Lập hệ phương trình- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và theo các đại lượng đã biết- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượngBước 2: Giải hệ phương trình nói trên
Bước 3: Kiểm tra các điều kiện rồi kết luận
II. Các dạng bài và phương pháp giải
1. Dạng Toán chuyển động
a. Chuyển động trên bờ
- Toán chuyển động có 3 đại lượng: Quãng đường [S], vận tốc [v] và thời gian [t]
$S=v.t;\,v=\frac{S}{t};\,t=\frac{S}{v}$
- Các đơn vị của 3 đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng km; vận tốc tính bằng km/h thì thời gian phải tính bằng giờ.
- Trong toán chuyển động ngược chiều thì tổng quãng đường hai xe đã đi đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa 2 xe.
Ví dụ: Một du khách đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640km. Hỏi vận tốc tàu hỏa và ô tô biết rằng tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô là 5km/h
Giải
Gọi vận tốc của ô tô là x [km/h, x > 0]Quãng đường ô tô đi được là 4x [km]Gọi vận tốc của tàu hỏa là y [km/h, y > x > 0]
Quãng đường tàu hỏa đi được là 7y [km]
Vì tàu hỏa đi nha hơn ô tô là 5 km/h nên ta có phương trình y - x = 5 [1]
Vì du khách đó đi được quãng đường là 640 km, nên ta có phương trình: 4x + 7y = 640 [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ:
$\begin{cases}y-x=5\\4x+7y=640\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}4y-4x=20\\4x+7y=640\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}4y-4x=20\\11y=660\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=55\\y=60\end{cases}$
Vậy vận tốc của ô tô là 55 [km/h], vận tốc tàu hỏa là 60 [km/h]
b. Chuyển động dòng nước
Ngoài các công thức trên, chuyển động dòng nước còn có các công thức sau:
- Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước
- Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng - vận tốc dòng nước
Ví dụ: Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc xuôi dòng ca nô từ A lớn hơn vận tốc ngược dòng ca nô từ B là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h [vận tốc thật của ca nô không đổi].
Giải:
Gọi vận tốc thật ca nô A, ca nô B lần lượt là x ,y [km/h] [x, y > 3]Vận tốc xuôi dòng của ca nô A là x + 3 [km/h], vận tốc ca nô B là y – 3 [km/h]
Vì vận tốc xuôi dòng của ca nô A lớn hơn vận tốc ngược dòng của ca nô B là 9 km/h nên ta có PT: x - y = 3 [1]
Sau 1 giờ 40 phút = $\frac{5}{3}$ giờ chúng gặp nhau nên ta có phương trình: $\frac{5}{3}[x+3]+\frac{5}{3}[y-3]=85\\\n\Leftrightarrow \frac{5}{3}x+\frac{5}{3}y=85$ [2]
Từ [1] và [2], ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} x- y = 3\\\frac{5}{3}x+\frac{5}{3}y=85\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=27\\y=24\end{cases}$
Vậy vận tốc ca nô A là 27km/h; vận tốc ca nô B là 24 km/h
2. Dạng toán chung - riêng công việc
a. Phương pháp giải
- Toán làm chung công việc có 3 đại lượng tham gia là toàn bộ công việc, phần việc trong 1 đơn vị thời gian; thời gian
- Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ công việc
- Xem toàn bộ công việc là 1
Ví dụ: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?
Giải:
Gọi thời gian đội A, đội B hoàn thành công việc một mình lần lượt là x, y [ngày] [x, y > 24]
Mỗi ngày, đội A làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội B làm được $\frac{1}{y}$ công việc
Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương trình $\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}$
Hai người làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được công việc nên ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}$
Do đó, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{3}{2}.\frac{1}{y}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{24}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{40}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{60}\end{cases}\\\n\Leftrightarrow\begin{cases}x=40\\y=60\end{cases}$
Vậy đội A làm một mình trong 40 ngày, đội B làm một mình trong 60 ngày
3. Toán liên quan đến chữ số
a. Phương pháp giải
Viết số dười dạng thập phân:
$\overline{ab}=10.a+b;\,\,\,\overline{abc}=100a+10b+c\\0< a \leq9;a \in N\\0\leq b;c \leq 9; b,c\in N$
b. Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới [có hai chữ số] bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Giải:
Gọi chữ số hàng chục là x; chữ số hàng đơn vị là y [x; y là số nguyên $0< x; y \leq 9$ ]
Giá trị của số cần tìm là $\overline{xy}=10x+y$
Giá trị của số viết theo thứ tự ngược lại là $\overline{yx}=10y+x$
Vì hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị nên ta có phương trình $2y-x=1\Leftrightarrow -x+2y=1$
Vì viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới [có hai chữ số] bé hơn số cũ 27 đơn vị nên ta có phương trình:
$[10x+y]-[10y+x]=27\Leftrightarrow x-y=3$
Khi đó, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}-x+2y=1\\x-y=3\end{cases}\\\n\Leftrightarrow \begin{cases} x-y=3\\y=4 \end{cases}\\\n\Leftrightarrow \begin{cases} x=7\\y=4\end{cases}$
Vậy số cần tìm là 74.