Ở lớp 7, ta đã học căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x² = a.
Tức là, ví dụ căn bậc hai của 64 là √64 và −√64 hay là ±8.
Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết √0 = 0.
Số dương a có đúng 2 căn bậc hai là hai số đối nhau:
- Số dương kí hiệu là √a >>> gọi là CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
- Số âm kí hiệu là −√a.
Số âm không có căn bậc hai.
1.Định nghĩa Căn bậc hai số học
Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.
Để khai phương một số, ta có thể dùng máy tính bỏ túi.
Ví dụ: Căn bậc hai số học của 16 là √16 = 4.
Căn bậc hai số học của 6 là √6.
Chú ý: Với a ≥ 0, ta có:
Nếu x = √a thì x ≥ 0 và x² = a.
Nếu x ≥ 0 và x² = a thì x = √a.
Ta có thể viết như sau:
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
a] 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121
=> căn bậc hai của 121 là ±11
b] 1,21: căn bậc hai số học của 1,21 là 1,1 vì 1,1 ≥ 0 và 1,1² = 1,21.
=> căn bậc hai của 1,21 là ±1,1
2.So sánh các căn bậc hai số học
Nhắc lại với các em là:
Nếu a < b thì √a < √b với a, b không âm.
Nếu √a < √b thì a < b với a, b không âm.
Ta sẽ áp dụng định lí sau để so sánh các căn bậc hai số học.
Định lí:
Với hai số a và b không âm, ta có: a < b ⇔ √a < √b
Ví dụ: So sánh các căn bậc hai số học
a] 4 và √15
Đầu tiên ta viết 4 = √16 và so sánh √16 và √15.
Vì 16 > 15 nên √16 > √15. Vậy 4 > √15.
b] √11 và 3
Vì 11 > 9 nên √11 > √9. Vậy √11 > 3.
Tìm x không âm, biết:
a] √x > 2
Vì 2 = √4, nên √x > √4.
Vì x ≥ 0 nên √x > √4 ⇔ x > 4.
Vậy x > 4.
b] √x < 3
Ta biết 3 = √9 nên √x < √9.
Vì x ≥ 0 nên √x < √9 ⇔ x < 9.
Vậy 0 ≤ x < 9
c] √[2x] < 4
Ta có 4 = √16 nên √2x < √16.
Vì x ≥ 0 nên √2x < √16 ⇔ 2x < 16 ⇔ x < 8.
Vậy 0 ≤ x < 8.
Các dạng bài tập Căn bậc hai
Dạng 1: Tính căn bậc hai số học và căn bậc hai
Bài 1 SGK Toán 9 tập 1
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:
a] 121 : căn bậc hai số học của 121 là 11 vì 11 ≥ 0 và 11² = 121
=> căn bậc hai của 121 là ±11
b] 144 : căn bậc hai số học của 144 là 12 vì 12 ≥ 0 và 12² = 144
=> căn bậc hai của 144 là ±12
c] 169 : căn bậc hai số học của 169 là 13 vì 13 ≥ 0 và 13² = 169
=> căn bậc hai của 169 là ± 13
d] 225 : căn bậc hai số học của 225 là 15 vì 15 ≥ 0 và 15² = 225
=> căn bậc hai của 225 là ± 15
e] 256 : căn bậc hai số học của 256 là 16
=> căn bậc hai của 256 là ± 16
f] 324 : căn bậc hai số học của 324 là 18
=> căn bậc hai của 256 là ± 18
g] 361 : căn bậc hai số học của 361 là 19
=> căn bậc hai của 361 là ± 19
h] 400 : căn bậc hai số học của 400 là 20
=> căn bậc hai của 400 là ± 20.
Dạng 2: So sánh các căn bậc hai số học
Bài 2 SGK Toán 9 tập 1
So sánh:
a] 2 và √3
Đầu tiên ta viết 2 = √4 và so sánh √4 với √3.
Vì 4 > 3 nên √4 > √3. Vậy 2 > √3.
b] 6 và √41
Ta có: 6 = √36. Vì 36 < 41 nên √36 < √41.
Vậy 6 < √41.
c] 7 và √47
Ta có 7 = √49. Vì 49 > 47 nên √49 > √47.
Vậy 7 > √47
Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc hai
Giải phương trình x² = a [với a ≥ 0].
Chú ý: Nếu a < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn:
Nghiệm của phương trình x² = a [với a ≥ 0] là các căn bậc hai của a, tức là
x² = a [với a ≥ 0] ⇔ x = √a hoặc −√a.
Bài 3 SGK Toán 9 tập 1
Dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của nghiệm mỗi phương trình sau [làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3]:
a] x² = 2
⇔ x = √2 hoặc −√2
⇔ x = 1,414 hoặc − 1,414
b] x² = 3
⇔ x = ±√3 = ±1,732
c] x² = 3,5
⇔ x = ±√3,5 = ±1,87
d] x² = 4,12
⇔ x = ±√4,12 = ±2.03
Bài 4. SGK Toán 9 tập 1
Tìm số x không âm, biết:
a] √x = 15
⇒ x = 15² = 225 √a ≥ 0.
Với a ≥ 0:
Số x là căn bậc hai số học của a tức là
x = √a ⇔ x ≥ 0 và x² = [√a]² = a.
Cuối cùng, ta phải nhớ định lí sau về căn bậc hai số học:
>>> Học Toán 9 online với giáo viên liên hệ 035 3150072.
Bài tập nâng cao về Căn bậc hai
Bài 1: Chứng minh căn bậc hai của một số là số vô tỉ
Để để chứng minh một số a là số vô tỉ, ta thường dùng phương pháp phản chứng: Giả sử a là số hữu tỉ thì dẫn đến mâu thuẫn.
Ta có thể chứng minh tổng quát rằng nếu số tự nhiên a không là số chính phương thì căn bậc hai của a là số vô tỉ.
Nhưng để dễ hiểu phương pháp làm, ta sẽ chứng minh √5 là số vô tỉ.
Giải:
Giả sử √5 là số hữu tỉ thì nó viết được dưới dạng:
√5 = m/n với m, n ∈ Z, n ≠ 0, ƯC [m, n] = 1. [m/n là phân số tối giản]
⇒ [√5]² = m²/n² hay 5n² = m² [1]
⇒ m² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.
Đặt m = 5k [k ∈ Z] ta có : m² = 25k² [2]
Từ [1] và [2] ta có: 5n² = 25k²
⇒ n² = 5k²
suy ra n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.
m và n cùng chia hết cho 5 nên m/n không phải là tối giản, như vậy trái giải thiết ƯC[m, n] = 1.
Vậy √5 không phải số hữu tỉ, do đó √5 là số vô tỉ. [đpcm]
Bài 2: So sánh các căn bậc hai số học
So sánh hai số:
a] 2√3 và 3√2
Ta có [2√3]² = 2². [√3]² = 4. 3 = 12.
[3√2]² = 3². [√2]² = 9.2 = 18.
Vì 12 < 18 nên [2√3]² < [3√2]² ⇒ 2√3 < 3√2.
b] √24 + √45 và 12
Ta so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:
Ta có 24 < 25 nên √24 < √25
45 < 49 nên √45 < √49
Vì vậy nên √24 + √45 < √25 + √49 = 5 + 7 = 12
c] √37 −√15 và 2
T a so sánh từng căn bậc hai của tổng đầu tiên:
Ta có 37 > 36 nên √37 > √36
15 < 16 nên √15 < √16 ⇒ −√15 > −√16
Nên √37 −√15 > √36 −√16 = 6 − 4 = 2.
Bài 3: Giải phương trình có chứa căn bậc hai
Điều kiện: x ≥ 1
Phương trình ⇒ x − 1 = 49