- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường thẳng d và mp[P] có phương trình:
\[d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ P \right]:x - 3y + z - 1 = 0\].
LG a
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d trên mp[P]
Phương pháp giải:
Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P] thì \[d' = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]\] là hình chiếu của d trên [P].
Lời giải chi tiết:
Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp[P] thì \[d' = \left[ P \right] \cap \left[ Q \right]\] là hình chiếu của d trên [P].
Đường thẳng d đi qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right]\].
Mp[P] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[P]}}} = \left[ {1; - 3;1} \right]\].
Mp[Q] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} \bot \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \].
Vì \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{[P]}}} } \right] = \left[ {4;0; - 4} \right]\] nên chọn \[\overrightarrow {{n_{[Q]}}} = \left[ {1;0; - 1} \right]\].
[Q] chứa d nên [Q] qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] do đó [Q] có phương trình \[x - {2 \over 3} - z = 0 \] \[\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\]
Ta có
\[d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Cho z = 0, ta có \[x = {2 \over 3},y = - {1 \over 9} \] \[\Rightarrow A\left[ {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right] \in d'\]và d có vectơ chỉ phương là
\[\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \] \[= \left[ {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] \] \[= \left[ {9;6;9} \right] = 3\left[ {3;2;3} \right].\]
Phương trình tham số của d là
\[\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\].
LG b
Viết phương trình đường thẳng \[{d_1}\] là hình chiếu song song của d trên mp[P] theo phương Oz.
Phương pháp giải:
Gọi [R] là mặt phẳng chứa d và song song với Oz [hoặc chứa Oz] thì \[{d_1} = \left[ P \right] \cap \left[ R \right]\].
Lời giải chi tiết:
Gọi [R] là mặt phẳng chứa d và song song với Oz [hoặc chứa Oz] thì \[{d_1} = \left[ P \right] \cap \left[ R \right]\].
Mp[R] đi qua \[{M_0}\left[ {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right]\] và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \[\overrightarrow u = \left[ {1;1;1} \right]\] và \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\] [vectơ chỉ phương Oz] nên \[\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left[ {1; - 1;0} \right]\].
Mp[R] có phương trình là \[1\left[ {x - {2 \over 3}} \right] - 1\left[ {y + {{11} \over 3}} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\]
Ta có
\[{d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\].
Cho y = 0, ta có \[x = {{13} \over 3},z = - {{10} \over 3}\] suy ra \[B\left[ {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right] \in {d_1}\].
\[{d_1}\] có vectơ chỉ phương
\[\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] \] \[= \left[ {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right] \] \[= \left[ {3;3;6} \right] = 3\left[ {1;1;2} \right].\]
Vậy\[{d_1}\] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\]
LG c
Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp[P].
Lời giải chi tiết:
Gọi [P] là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp[P] thì [P] có phương trình: x 3y + z = 0.
Giao điểm I của đường thẳng d và mp[P] có tọa độ thỏa mãn hệ:
\[\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr
z = t \hfill \cr
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow I\left[ {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right]\]
Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:
\[{x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}\] \[ \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\]