Chuyên đề Toán học lớp 7: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Bất đẳng thức tam giác được VnDoc sưu tầm và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán học lớp 7 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
Chuyên đề: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Bất đẳng thức tam giác
- A. Lý thuyết
- B. Trắc nghiệm & Tự luận
A. Lý thuyết
1. Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:
• AB + AC > BC hay b + c > a
• AB + BC > AC hay c + a > b
• AC + BC > AB hay b + a > c
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:
|AC - AB| < BC < AC + AB hay |b - c| < a < b + c
B. Trắc nghiệm & Tự luận
I. Câu hỏi trắc nghiệm
Bài 1: Cho ΔABC, chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đúng và D sai.
Chọn đáp án D.
Bài 2: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác:
A. 3cm, 5cm, 7cm
B. 4cm, 5cm, 6cm
C. 2cm, 5cm, 7cm
D. 3cm, 6cm, 5cm
- Xét bộ ba: 3cm, 5cm, 7cm . Ta có:
- Xét bộ ba: 4cm, 5cm, 6cm . Ta có:
- Xét bộ ba: 3cm, 6cm, 5cm . Ta có:
- Xét bộ ba: 2cm, 5cm, 7cm . Ta có: 2 + 5 = 7 [không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác] nên bộ ba 2cm, 5cm, 7cm không lập thành một tam giác nên chọn C.
Chọn đáp án C.
Bài 3: Cho ΔABC có cạnh AB = 1cm và BC = 4cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên:
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
Gọi độ dài cạnh AC là x [x > 0]. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
4 - 1 < x < 4 + 1 ⇔ 3 < x < 5 Vì x là số nguyên nên x = 4. Vậy độ dài cạnh AC = 4cm
Chọn đáp án D.
Bài 4: Cho tam giác ABC biết AB = 1cm, BC = 9cm và cạnh AC là một số nguyên. Chu vi tam giác ABC là:
A. 17cm B. 18cm C. 19cm D. 16cm
Gọi độ dài cạnh AC là x [x > 0]. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
9 - 1 < x < 9 + 1 ⇔ 8 < x < 10 Vì x là số nguyên nên x = 9. Vậy độ dài cạnh AC = 9cm
Chu vi tam giác là: AB + BC + AC = 1 + 9 + 9 = 19cm
Chọn đáp án C.
Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = 1cm, AC = 8cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên [cm]. Tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác vuông tại A
B. Tam giác cân tại A
C. Tam giác vuông cân tại A
D. Tam giác cân tại B
Gọi độ dài cạnh AB là x [x > 0]. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
8 - 1 < x < 8 + 1 ⇔ 7 < x < 9 Vì x là số nguyên nên x = 8. Vậy độ dài cạnh AB = 8cm
Tam giác ABC có AB = AC = 8cm nên tam giác ABC cân tại A.
Chọn đáp án B.
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Hãy tìm độ dài các cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất gấp rưỡi cạnh thứ hai, cạnh thứ hai gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm
Gọi độ dài cạnh thứ ba là x [cm]
Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là [3/2]x [cm]
Bài 2: Cho tam giác ABC có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn AE. Nối C với E.
a] So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.
b] Chứng minh:
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn lý thuyết môn Toán học 7: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác - Bất đẳng thức tam giác. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Chuyên đề Toán học 7, Giải bài tập Toán lớp 7, Giải VBT Toán lớp 7 mà VnDoc tổng hợp và giới thiệu tới các bạn đọc
QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.
BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC [PHẦN 1]
I/ Kiến thức cần nhớ
1. Bất đẳng thức tam giác
Định lý: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Chứng minh: Cho tam giác \[ABC.\] Chứng minh rằng: \[AB + AC > BC.\]
Kẻ \[AH \bot BC\,\,\left[ {H \in BC} \right]\]
\[ \Rightarrow AB > HB\,\,;\,\,AC > HC\] [quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu]
\[ \Rightarrow AB + AC > HB + HC\] hay \[AB + AC > BC.\] [đpcm].
Chứng minh tương tự ta có: \[AB + BC > AC\,\,;\,\,AC + BC > AB.\]
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Chứng minh: Cho tam giác \[ABC.\] Chứng minh rằng: \[AB > BC - AC.\]
Ta có: \[AB + AC > BC\] [định lý của bất đẳng thức tam giác]
\[ \Rightarrow AB > BC - AC.\]
Tương tự ta có: \[AC > AB - BC\,\,;\,\,BC > AB - AC\,\,;\,\,\]
\[AB > AC - BC\,\,;\,\,AC > BC - AB\,\,;\,\,BC > AC - AB.\]
Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Ví dụ:
Trong \[\Delta ABC,\] ta có bất đẳng thức tam giác:
\[\left| {AC - AB} \right| < BC < AC + AB\] hay \[\left| {b - c} \right| < a < b + c.\]
II/ Bài tập vận dụng
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho tam giác \[ABC,\] chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
A. \[AB + BC > AC\]
B. \[BC - AB < AC\]
C. \[BC - AB < AC < BC + AB\]
D. \[AB - AC > BC\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác.
Lời giải:
Vì trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.
Chọn D.
Câu 2: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của tam giác.
A. \[3cm,\,\,5cm,\,\,7cm\] B. \[4cm,\,\,5cm,\,\,6cm\]
C. \[2cm,\,\,5cm,\,\,7cm\] D. \[3cm,\,\,6cm,\,\,5cm\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Lời giải:
Chọn C.
Câu 3: Cho \[\Delta ABC\] có cạnh \[AB = 1cm\,\,;\,\,BC = 4cm.\] Tính độ dài cạnh \[AC\] biết độ dài cạnh \[AC\] là một số nguyên.
A. \[1cm\] B. \[2cm\] C. \[3cm\] D. \[4cm\]
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác.
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh \[AC\] là \[x\,\,\left[ {cm} \right]\,\,\left[ {x > 0} \right].\]
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\[4 - 1 < x < 4 + 1 \Leftrightarrow 3 < x < 5.\]
Vì \[x\] là số nguyên nên \[x = 4.\]
Vậy độ dài cạnh \[AC = 4cm.\]
Chọn D.
Câu 4: Cho \[\Delta ABC\] biết \[AB = 1cm\,\,;\,\,BC = 9cm\,\,;\,\,AC\] có độ dài là một số nguyên. Chu vi của tam giác \[ABC\] là:
A. \[17cm\] B. \[18cm\] C. \[19cm\] D. \[16cm\]
Phương pháp giải:
+ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \[AC.\]
+ Từ đó tính chu vi tam giác \[ABC.\]
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh \[AC\] là \[x\,\,\left[ {cm} \right]\,\,\left[ {x > 0} \right].\]
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\[9 - 1 < x < 9 + 1 \Leftrightarrow 8 < x < 10.\]
Vì \[x\] là số nguyên nên \[x = 9.\]
Vậy độ dài cạnh \[AC = 9cm.\]
Chu vi tam giác \[ABC\] là: \[AB + AC + BC = 1 + 9 + 9 = 19cm.\]
Chọn C.
Câu 5: Cho \[\Delta ABC\] có \[BC = 1cm\,\,;\,\,AC = 8cm\,\,;\,\,AB\] có độ dài là một số nguyên. Tam giác \[ABC\] là tam giác gì?
A. Tam giác vuông tại \[A.\]
B. Tam giác cân tại \[A.\]
C. Tam giác vuông cân tại \[A.\]
D. Tam giác cân tại \[B.\]
Phương pháp giải:
+ Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác để tính cạnh \[AB.\]
+ Từ đó xác định tính chất của tam giác \[ABC.\]
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh \[AB\] là \[x\,\,\left[ {cm} \right]\,\,\left[ {x > 0} \right].\]
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
\[8 - 1 < x < 8 + 1 \Leftrightarrow 7 < x < 9.\]
Vì \[x\] là số nguyên nên \[x = 8.\]
Vậy độ dài cạnh \[AB = 8cm.\]
\[ \Rightarrow AB = AC\,\,\left[ { = 8cm} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta ABC\] cân tại \[A.\]
Chọn B.
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.