Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho luôn tồn tại số nguyên thỏa mãn .
Lời giải :
Bổ đề 1 : Một số nguyên có dạng thì luôn tồn tại một ước số nguyên tố
Chứng minh bổ đề 1 :
Số nguyên dạng là một số lẻ nên nó không có ước nguyên tố .
Gỉa sử
Nếu , mâu thuẫn với giả thiết.
Do đó có ít nhất một ước nguyên tố
Bổ đề 2 : Nếu các số nguyên và số nguyên tố thỏa mãn thì .
Chứng minh bổ đề 2 :
Nếu hoặc thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Xét
Đặt
Theo định lí nhỏ :
Mặt khác
Từ suy ra , mâu thuẫn.
Trở lại bài toán :
Nếu thì hiển nhiên với mọi nguyên, bài toán đều được thỏa mãn.
Xét . Gọi là một ước nguyên tố lẻ của , khi đó nên có ít nhất một ước nguyên tố . Khi đó dễ dàng thấy rằng :
Khi đó theo bổ đề 2 ta có ,. Suy ra , điều này mâu thuẫn vì lẻ.
Như vậy không có ước nguyên tố lẻ, do đó .
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi thì luôn thỏa mãn đề bài.
Thật vậy,
Ta có
Xét hệ đồng dư tuyến tính :
Dễ thấy rằng vì chúng là các số .
Theo định lí phần dư Trung Hoa thì hệ này chắc chắn có nghiệm .
Ta suy ra
Khi đó với mọi thì luôn tồn tại số nguyên là nghiệm của hệ trên thỏa mãn đề bài.
Kết luận :