- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh rằng với mọi \[n 1\], ta có :
LG a
Nếu \[f\left[ x \right] = \frac{1}{x}\,\text{ thì }\,{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\]
Phương pháp giải:
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Lời giải chi tiết:
Cho \[f\left[ x \right] = \frac{1}{x}\left[ {x \ne 0} \right].\]Ta hãy chứng minh công thức :
\[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\left[ {\forall x \ge 1} \right]\,\,\left[ 1 \right]\]bằng phương pháp qui nạp.
+ Với \[n = 1\], ta có : \[{f^{\left[ n \right]}}\left[ x \right] = f'\left[ x \right] = - \frac{1}{{{x^2}}}\] \[\text{ và }\,\frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} = - \frac{1}{{{x^2}}}\]
Suy ra [1] đúng khi n = 1.
+ Giả sử [1] đúng cho trường hợp \[n = k [k 1]\], tức là : \[{f^{\left[ k \right]}}\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\],
Ta phải chứng minh [1] cũng đúng cho trường hợp \[n = k + 1\], tức là :
\[{f^{\left[ {k + 1} \right]}}\left[ x \right] = \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^{k + 1}}.\left[ {k + 1} \right]!}}{{{x^{k + 2}}}}\]
Thật vậy, ta có :
\[{f^{\left[ {k + 1} \right]}}\left[ x \right] = \left[ {{f^{\left[ k \right]}}\left[ x \right]} \right]' \]
\[ = \left[ {\frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}} \right]' \] \[= {\left[ { - 1} \right]^k}.k!\frac{{ - \left[ {{x^{k + 1}}} \right]'}}{{{{\left[ {{x^{k + 1}}} \right]}^2}}} \] \[= {\left[ { - 1} \right]^k}.k!.\frac{{\left[ { - 1} \right].\left[ {k + 1} \right]{x^k}}}{{{x^{2k + 2}}}} \] \[ = \frac{{{{\left[ { - 1} \right]}^{k + 1}}.\left[ {k + 1} \right]!}}{{{x^{k + 2}}}}\]
Vậy ta có đpcm.
LG b
Nếu \[f\left[ x \right] = \cos x\,\text{ thì }\,{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = \cos x.\]
Lời giải chi tiết:
Cho \[f[x] = \cos x\]. Ta hãy chứng minh công thức :
\[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = \cos x\left[ {\forall n \ge 1} \right]\,\,\left[ 2 \right]\]bằng phương pháp qui nạp.
Ta có: \[f'\left[ x \right] = - \sin x;f"\left[ x \right] = - \cos x;\]
\[f'''\left[ x \right] = \sin x;{f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = \cos x\]
+ Với n = 1 thì \[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = {f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = \cos x\]
Suy ra [2] đúng khi n = 1
+ Giả sử [2] đúng cho trường hợp \[n = k [k 1]\], tức là : \[{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = \cos x,\]
Ta phải chứng minh [2] cũng đúng cho trường hợp \[n = k + 1\], tức là phải chứng minh :
\[{f^{\left[ {4\left[ {k + 1} \right]} \right]}}\left[ x \right] = \cos x\] \[\left[ {hay\,{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = \cos x} \right]\]
Thật vậy, vì :
\[\begin{array}{l}
{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = \cos x \\ \text{ nên }\,{f^{\left[ {4k + 1} \right]}}\left[ x \right] = - \sin x\\
{f^{\left[ {4k + 2} \right]}}\left[ x \right] = - \cos x\\
{f^{\left[ {4k + 3} \right]}}\left[ x \right] = \sin x\\
{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = \cos x
\end{array}\]
Vậy ta có đpcm.
LG c
Nếu \[f\left[ x \right] = \sin ax\][a là hằng số] thì \[{f^{\left[ {4n} \right]}}\left[ x \right] = {a^{4n}}\sin ax.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
f'\left[ x \right] = a{\mathop{\rm cosax}\nolimits} \\
f"\left[ x \right] = - {a^2}\sin ax\\
{f^{\left[ 3 \right]}}\left[ x \right] = - {a^3}\cos ax\\
{f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = {a^4}\sin ax
\end{array}\]
Với \[n = 1\] ta có \[{f^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] = {a^4}\sin ax,\]đẳng thức đúng với \[n = 1\]
Giả sử đẳng thức đúng với \[n = k\] tức là : \[{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = {a^{4k}}\sin ax\]
Với \[n = k + 1\] ta có \[{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = {\left[ {{f^{\left[ {4k} \right]}}} \right]^{\left[ 4 \right]}}\left[ x \right] \] \[= {\left[ {{a^{4k}}\sin ax} \right]^{\left[ 4 \right]}}\]
Do \[{f^{\left[ {4k} \right]}}\left[ x \right] = {a^{4k}}\sin ax\]
\[\begin{array}{l}
{f^{\left[ {4k + 1} \right]}}\left[ x \right] = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{\left[ {4k + 2} \right]}}\left[ x \right] = - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{\left[ {4k + 3} \right]}}\left[ x \right] = - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{\left[ {4k + 4} \right]}}\left[ x \right] = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\]
Vậy đẳng thức đúng với \[n = k + 1\], do đó đẳng thức đúng với mọi n.