- LG a
- LG b
LG a
Giải phương trình: \[\left[ {{z^2} + i} \right]\left[ {{z^2} - 2iz - 1} \right] = 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp giải phương trình tích
\[AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Nhận xét:
\[{\left[ {1 - i} \right]^2} = 1 - 2i - 1 = - 2i \] \[\Rightarrow \frac{{{{\left[ {1 - i} \right]}^2}}}{2} = - i \] \[\Rightarrow {\left[ {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right]^2} = - i\]
Suy ra \[i\] có căn bậc hai \[ \pm {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\]
Ta có \[\left[ {{z^2} + i} \right]\left[ {{z^2} - 2iz - 1} \right] = 0 \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} + i = 0 \hfill \cr {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\]
* \[{z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} = - i \] \[\Leftrightarrow z =\pm{\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}}\]
* \[{z^2} - 2iz - 1 = 0\] \[\Leftrightarrow {z^2} - 2iz + {i^2} = 0\] \[\Leftrightarrow {\left[ {z - i} \right]^2} = 0 \] \[ \Leftrightarrow z = i\]
Vậy \[S = \left\{ {i;\pm{\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} }\right\}\]
LG b
Tìm số phức B để phương trình bậc hai \[{z^2} + Bz + 3i = 0\]có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí Viet
\[\left\{ \begin{array}{l}
{z_1} + {z_2} = - \frac{B}{A}\\
{z_1}{z_2} = \frac{C}{A}
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Gọi \[{z_1},{z_2}\] là hai nghiệm của phương trình
Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \[{z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\]
Theo định lí Vi-et ta có:
\[\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \cr &\Leftrightarrow {\left[ {{z_1} + {z_2}} \right]^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr
& \Leftrightarrow {\left[ { - B} \right]^2} - 2.3i = 8 \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left[ {3 + i} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow B = \pm \left[ {3 + i} \right] \cr} \]