- LG a
- LG b
Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :
LG a
\[f\left[ x \right] = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số f là \[\mathbb R\] \\[\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\].
Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - {1 \over 2}} \right]\] và \[\left[ { - {1 \over 2}; + \infty } \right]\]
LG b
\[f\left[ x \right] = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \]
Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\[\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\]
Do đó tập xác định của hàm số f là \[\left[ { - \infty ;1} \right]\]
Với mọi \[{x_0} \in \left[ { - \infty ;1} \right]\] ,ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right] \] \[= \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left[ {{x_0}} \right]\]
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right].\]
Ngoài ra
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left[ {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right] \] \[= 1 = f\left[ 1 \right]\] nên hàm số liên tục trái tại x=1.
Do đó hàm số f liên tục trên \[\left[ { - \infty ;1} \right]\]