Đề bài
Viết phương trình đường thẳng đi qua \[A\left[ {1; - 1;1} \right]\]và cắt cả hai đường thẳng sau:
\[d:\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = t \hfill \cr
z = 3 - t \hfill \cr} \right.\] \[d':\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 1 - 2t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết
Lấy điểm \[M\left[ {1 + 2t,t,3 - 1} \right]\] nằm trên d và điểm \[M'\left[ {t', - 1 - 2t',2 + t'} \right]\]nằm trên d.
Rõ ràng \[A \notin d\] và \[A \notin d'\]. Ta tìm t và t sao cho A, M, M thẳng hàng, tức \[\overrightarrow {AM} \] và \[\overrightarrow {AM'} \]cùng phương.
Ta có \[\overrightarrow {AM} = \left[ {2t,1 + t,2 - t} \right];\] \[\overrightarrow {AM'} = \left[ { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right]\].
Do đó:
$$\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] \cr&= \left[ {\left| \matrix{
{1 + t}\,\,\,\,\,{2 - t} \hfill \cr
- 2t'\,\,\,\,\,\,{1 + t'} \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
{2 - t}\,\,\,\,\,\,\,\,\,2t \hfill \cr
{1 + t'}\,\, \,\,{- 1 + t' }\hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{1 + t} \hfill \cr
{- 1 + t'}\,\,\,\,{ - 2t'} \hfill \cr} \right|} \right] \cr
& = \left[ {1 + t + 5t' - tt'; - 2 - t + 2t' - 3tt';1 + t - t' - 5tt'} \right] \cr} $$
Hai vectơ\[\overrightarrow {AM} \] và\[\overrightarrow {AM'} \] cùng phương khi và chỉ khi \[\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \] hay:
\[\left\{ \matrix{
1 + t + 5t' - tt' = 0 \hfill \cr
- 2 - t + 2t' - 3tt' = 0 \hfill \cr
1 + t - t' - 5tt' = 0 \hfill \cr} \right.\]
Khử số hạng tt từ các phương trình trên, ta được hệ
\[\left\{ \matrix{
5 + 4t + 13t' = 0 \hfill \cr
4 + 4t + 26t' = 0 \hfill \cr} \right.\].
Suy ra \[t = - {3 \over 2};t' = {1 \over {13}}\]. Khi đó \[\overrightarrow {AM} = \left[ { - 3; - {1 \over 2};{7 \over 2}} \right]\].
Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua A và M, \[\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = 2\overrightarrow {AM} = \left[ { - 6; - 1;7} \right]\]nên có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 - 6t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 + 7t \hfill \cr} \right.\]
Cách khác:
Gọi Δ là đường thẳng cần tìm, ta có Δ =[P][Q], trong đó [P] chứa A và d và [Q] chứa A và d.
Đường thẳng d đi qua Mo[1,0,3] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2;1; - 1} \right]\] nên mp[P] đi qua A[1, -1, 1] và nhận \[\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{M_0}A} } \right] = \left[ { - 3;4; - 2} \right]\] là vectơ pháp tuyến.
Suy ra mp[P] có phương trình: -3x+4y-2z+9=0
Tương tự mp[Q] có phương trình: x+y+z-1=0
Vậy phương trình của Δ là \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 2z + 9 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 6t\\y = - 1 - t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\].