- LG a
- LG b
- LG c
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số
\[d\left[ t \right] = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] + 12\] với \[t \in Z\] và \[0 < t \le 365.\]
a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?
b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
LG a
Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?
Lời giải chi tiết:
Ta giải phương trình \[d[t] = 12\] với \[t \in\mathbb Z\] và \[0 < t 365\]
Ta có \[d[t] = 12 \]
\[ \Leftrightarrow 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] + 12 = 12\]
\[\Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = k\pi \]
\[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k\]
\[ \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left[ {\,k \in\mathbb Z} \right]\]
Ta lại có
\[0 < 182k + 80 \le 365\]
\[\Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}}\]
\[\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\]
Vậy thành phố \[A\] có đúng \[12\] giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \[80\] [ứng với \[k = 0\]] và ngày thứ \[262\] [ứng với \[k = 1\]] trong năm.
LG b
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
Lời giải chi tiết:
Do\[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] \ge - 1\] \[ \Rightarrow d\left[ t \right] \le 3.\left[ { - 1} \right] + 12 = 9\]với mọi \[x\]
Vậy thành phố \[A\] có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :
\[\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = - 1\] \[\text{ với }\] \[\,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\]
Phương trình đó cho ta
\[{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = - {\pi \over 2} + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow t - 80 = 182\left[ { - \frac{1}{2} + 2k} \right]\]
\[ \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left[ {\,k \in\mathbb Z} \right]\]
Mặt khác,\[0 < 364k - 11 \le 365 \] \[\Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\] [do \[k\] nguyên]
Vậy thành phố \[A\] có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất [\[9\] giờ] khi \[t = 353\], tức là vào ngày thứ \[353\] trong năm.
LG c
Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?
Lời giải chi tiết:
Vì \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] \le 1 \] \[\Rightarrow d\left[ t \right] \le 3.1 + 12 = 15\] nên d[t] đạt GTLN khi\[\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 1 \]
Ta phải giải phương trình :
\[\eqalign{
& \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right]} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr
& \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left[ {t - 80} \right] = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr
& 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \]
Vậy thành phố \[A\] có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất [\[15\] giờ] vào ngày thứ \[171\] trong năm.