- LG a
- LG b
- LG c
Cho khối lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], điểm \[A'\] cách đều ba điểm \[A, B, C\], cạnh bên \[AA'\] tạo với mặt phẳng đáy một góc \[60^0\].
LG a
Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[O\] là tâm của tam giác đều \[ABC\].
Vì \[A\] cách đều ba đỉnh \[A, B, C\] nên \[A\] nằm trên trục của \[\Delta ABC\], do đó \[A'O \bot mp\left[ {ABC} \right]\]
\[AO\] là hình chiếu của \[AA\] trên mp \[[ABC]\]. Do đó \[\widehat {A'AO} = {60^0}\]
Trong tam giác vuông \[AOA\] ta có: \[\tan {60^0} = {{A'O} \over {AO}}\] \[ \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0} \] \[= {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2}.\sqrt 3 = a\]
Vậy thể tích khối lăng trụ là \[V = B.h = {S_{ABC}}.A'O \] \[= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.a = {{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}\]
LG b
Chứng minh rằng mặt bên \[BCCB'\] là một hình chữ nhật.
Lời giải chi tiết:
Vì \[BC \bot AO\] và \[BC\bot A'O\]
\[ \Rightarrow BC \bot \left[ {AOA'} \right] \] \[\Rightarrow BC \bot AA'\]hay \[BC \bot BB'\].
Vậy \[BCCB\] là hình chữ nhật.
LG c
Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] [tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình [hoặc khối] lăng trụ đã cho].
Lời giải chi tiết:
Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB\].
Ta có \[AB \bot \left[ {A'HO} \right] \Rightarrow A'H \bot AB\].
Trong tam giác vuông \[AOH\], ta có:
\[A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2} \] \[= {a^2} + {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right]^2} = {{13{a^2}} \over {12}} \]
\[\Rightarrow A'H = {{a\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Diện tích hình bình hành \[ABBA\] : \[{S_{AB B'A'}} = AB.AH = {a^2}{{\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Tương tự \[{S_{ACC'A'}} = {{{a^2}\sqrt {13} } \over {2\sqrt 3 }}\]
Diện tích hình chữ nhật \[BCCB\] là: \[{S_{BCC'B'}} = BB'.BC = AA'.BC \] \[= {{AO} \over {\cos {{60}^0}}}.a = {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\]
Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là:
\[{S_{xq}} = 2{S_{AA'B'B}} + {S_{BCC'B'}} \] \[= {{{a^2}\sqrt {13} } \over {\sqrt 3 }} + {{2{a^2}\sqrt 3 } \over 3} \] \[= {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\left[ {\sqrt {13} + 2} \right]\]